түзудiң параметрлiк теңдеулерi деп аталынады. Ендi (2) теңдеулерiн былай түрлендiрсек, (3), түзудiң канондық теңдеуiн шығарамыз. Егер (3)-тiң бiр бөлiмi 0-ге тең болса, онда оның сәйкес алымында нөлге теңеймiз.
Мысалы: болса, онда яғни . Сондықтан, түзудiң канондық теңдеуi болады.
Кеңiстiктегi түзу екi жазықтықтың қилысу сызығы ретiнде анықталынады.
(4)
–нормаль векторлар. Егер (4) берiлсе, онда түзудiң канондық теңдеуiн табу үшiн кезкелген Мо(xo,yo,zo) нүктесiн аламыз, координаталарының бiреуiне бiр мән берiп, (4) жүйеден қалған екеуiнiң мәндерiн табамыз. Сонда табылған Мо нүктесiнiң координаталары (4) теңдеулер жүйесiн қанағаттандырады. Бағыттауышы вектор ретiнде векторларын аламыз, үйткенi, . Сонымен
. Осыдан .
(4) түзудiң iзделiндi канонды теңдеуi болады.
Екi түзудiң арасындағы бұрыш осы түзулердiң бағыттауыш векторларының арасындағы бұрышқа тең немесе оны 180о дейiн толтырады. (5)
Мұндағы бағыттауыш векторлар арасындағы бұрыш. теңдiгi екi түзудiң перпендикулярлық белгiсiн анықтайды. – түзудiң параллелдiк белгiсi болады. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш осы түзу мен оның жазықтықтағы ортогональ проекциясы арасындағы бұрышқа тең.
түзу мен жазықтықтың параллельдiк белгiсi.
Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
Төмендегi жағдайларда берiлген түзудiң параметiрлiк теңдеулерiн шығарыңыздар:
2)
2. Төмендегi берiлген теңдеулердiң канондық түрлерiн шығарыңыздар: 1) 2)
3.Мына түзулердiң жалпы теңдеулерiн канондық түрге келтiрiңiздер
1).
2).
4.Төмендегi жағдайларда берiлген екi түзудiң арасындағы бұрыш қандай болады:
1).
2).
3).
5.А(4;0;-1) нүктесiнен өтетiн және түзулерiмен қиылысатын түзудiң теңдеулерiн жазыңыздар.
Сұрақтар:
Түзудің әртүрлі теңдеулері.
Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы және олардың арасындағы бұрыш.
Екі түзудің арасындағы бұрыш.
1
№10дәріс
Шеңбердің канондық және параметрлік теңдеулері.Екiншi реттi сызықтардыңжекелей сипаттамалары.
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Эллипс.
2.Гипербола.
3. Парабола.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Эллипс. Фокустар деп аталатын жазықтықтағы екi нүктелерден ара қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердiң жиынын эллипс деп атаймыз.
Эллипстi канондық теңдеуiн қорытып шығарайық. F1 және F2 деп фокустарды белгiлейiк. Олардың ара қашықтығы 2с болсын.
Тiк бұрышты декарттық жазықтықтағы Оху координата жүйесiн алсақ, онда фокустарды былай орналастырып,олардың координаталарын F1(-c,0), F2(c,0) алайық. , М(х,у) эллипстiң кез келген нүктесi делiк. Онда болса, онда 2а>2с, a>c болады.
Сонымен (1) теңдеуiн эллипстiң кез келген нүктесiнiң координатасы қанағаттандырады.
(1) теңдеуiн түрлендiрейiк.
;
;
;
, a>c болғандықтан немесе
Осыдан теңдеуi шығады. Оны эллипстiң канондық теңдеуi деймiз. (2) теңдеуi арқылы эллипстiң түрiн зерттейiк.
1. х және у жұп дәрежеде болғандықтан мына нүктелер эллипске тиiстi. Сондықтан эллипс Ох, Оу өстерiне және О(0,0) қарағанда симметриялы орналасқан. О(0,0) – нүктесiн эллипстiң центрi дейдi.
2. нүктелер эллипсте орналасқан, оларды эллипстiң төбелерi деймiз.
кесiндiлерi эллипстiң үлкен және кiшi өстерi делiнедi. а және в сандарын эллипстiң жарты өстерi дейдi.
3. (2) теңдеуден мына теңсiздiктер болатыны көрiнiп тұр.
Сондықтан болады, яғни эллипс түзулерiмен шектелген тiк төртбұрыштың iшiнде орналасқан.
Егеркөбейсе, ондаазаядыжәнекерiсiншедеболады. Соныменэллипстiңформасымынадайболады.
Егер а=в болса, онда эллипс шеңберге айналады: . эллипстiң эксцентриситетi дейдi. 0кесiндiлерiнэллипстiңМнүктесiнiңфокальдықрадиусыдеймiз.
формулалары орындалады.
түзуi эллипстiң директрисасы делiнедi. Егер a2. Гипербола. Фокустар деп аталатын, жазықтықтағы берiлген екi нүктелерден ара қашықтықтарының айырымы әрқашанда түрақты болатын жазықтықтағы нүктелердiң жиынын гипербола деймiз.
. Белгiлi теорема бойынша 2с>2a; c>a.
Екi нүктенiң ара қашықтығының формуласы бойынша
Жоғарыдағыдай түрлендiрiп мына гиперболаның канондық теңдеуiн табамыз. мұндағы х,у –гиперболадағы кез келген нүктенiң координаталары, ағымдық координаталар, а- гиперболаның нақты жарты өсi, b- жорамал жарты өсi.
Гиперболаның түрiн оның канондық теңдеуi бойынша зерттейiк. (3) теңдеуден шығады.
Егер х=a болса, онда y=0 болады. Сонда - абсциса өсiндегi гиперболаның нүктелерi. Егер x=0, , яғни гипербола Оу өсiн қиып өтпейдi.
х, у (3) формуласында жұп дәрежеде болғандықтан, гипербола Ох, Оу өстерi арқылы симметриялы болады.
3) (4) теңдеуiне қарағанда х-тың модулi өскен сайын у-тың модулi өсiп отырады.
Жоғарыдағы айтылғандарға сүйене отырып, гиперболаның графигiн саламыз. - нақты өсь, - жорамал өс. Осы өстер арқылы тiк төртбұрышты салып, гиперболаны сыза аламыз.
түзулерi гиперболаның асимптоталары делiнедi. Гипербола оны кесiп өтпейдi және оған х-тiң модулi өскен сайын жақындай бередi. - гиперболаның эксцентриситетi. Егер a=b болса, онда шығады, бұл жағдайдағы гиперболаны тең бүйiрлi гипербола деймiз. Мына түзулер: гиперболаның директрисалары болады.
қисығы да гипербола. Мұнда 2b-нақты өсь - Оу өсiнде, ал 2а жарты өсь – Ох өсiнде жатады. Бұл гипербола (сызба 5) пунктирлi қисық.
және гиперболалары бiр-бiрiне түйiндесдеймiз.
3. Парабола.
Фокус деп аталатын берiлген нүктеден және директриса деп аталатын берiлген түзуден ара қашықтығы бiрдей болатын жазықтықтағы нүктелер жиынын парабола деймiз.
Сызба 6-да Сондықтан .
Осыдан
. Яғни шығады. Бұл теңдеудi параболаның канондық теңдеуi деймiз.
1. у (5) формулада жұп дәрежеде болғандықтан, парабола Ох өсiне симметриялы.
2. p>0 болғандықтан болады, яғни парабола Оу өсiнiң оң жағында орналасады.
Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
Мына жағдайларға шеңбердiң теңдеуiн жазыңыздар (С- шеңбердiң центрi, R- радиусы, М, М, М2, М3 –шеңбердiң нүктелерi).
С(2,-3), R=7
М(2,6), С(-1,2)
3)М1(3,2), М1(-1,6) шеңбердiңдиаметiрiнiңшектi нүктелерi.
4)С(1,-1), 5х-12у+9=0 шеңберге жанама.
5)М1(3,1), М2(-1,3), С€L: 3х-у-2=0
6)М1(-1,3), М2(0,2), М3(1,-1)
2. х2+у2-4х+6у-3=0 –шеңбердiң теңдеуiн канондық түрге келтiрiңiздер.
3. Абциссасы 3 – ке тең болатын эллипсінің нүктлерін тап.
4. 4х – 3у – 16 = 0 түзуі мен гиперболаның қиылысу нүктелерін тап.
5. Фокалдық радиусы 13 – ке тең болатын у2 = 16х параболасының нүктелерін тап.
Фокустың ара қашықтығы мен эллипстің кез келген жанамасының көбейтіндісі кіші жарты осьтің квадратына тең болатынын дәлелде.
Канондық теңдеумен берілген гипербола төбелеріндегі жанамалар оу осіне параллель болатынын дәлелде.
Екiншi реттi сызықтың жалпы теңдеуін түрлендірулер арқылы канондық теңдеуге келтіру.
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі.
2. Екiншi реттi сызықтың жалпы теңдеуін түрлендірулер
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі мынадай түрде жазылады:
а11х2+2а12ху+ а22у2+2а13х+2а23у+а33=0, (1) мұндағы а11, а12, а13, а22, а23– теңдеудің коэффициенттері, а33 – бос мүше, 11, 12, 13, 22, 23, 33 – коэффициенттердің индекстері. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі алты мүшеден, яғни екінші дәрежелі үш мүшеден, бірінші дәрежелі екі мүшеден және бос мүшеден құралған.
Мұндай жалпы теңде қандай жағдайда эллипс, гипербола немесе порабола болады?
Ол коэффициенттердің мәндеріне байланысты. Мәселен,
1)Егер , , ,, болса, онда екінші ретті сызық – эллипс;
2)Егер , , , болса, онда екінші ретті – гипербола;
3)Егер , , болса, онда – порабола болады;
Коэффициенттердің кейбір мәндерінде екінші ретті сызық басқа геометриялық бейнелерге де ауысуы мүмкін. Мысалы,
4)Егер , , болса, онда , , , – екі түзудің теңдеуі;
5)Егер , , , болса, онда 8х+4у+5=0 бір түзу шығады
Сонымен, (1) теңдеу коэффициенттерінің мәндеріне байланысты эллипсті, гиперболаны, параболаны немесе басқа геометриялық бейнені (мысалы, түзуді) көрсетуі мүмкін. Сондықтан бұл теңдеудің координаталар системасындағы геометриялық мағынасын зерттеу үшін оның коэффициенттеріне байланысты қандай болатындығын тексеру керек. Бір тік бұрышты координаталар системасынан екінші тік бұрышты координаталар системасына көшкенде теңдеудің коэффициенттері өзгеріледі. Ал әрбір теңдеу сызықтың координаталар системасында қалай орналасатындығын анықтаумен қатар, оның координаталар системасы тәуелсіз ішкі қасиетін анықтауы да мүмкін. Ендеше, кез келген тік бұрышты координаталар системасында мәндері өзгерілмей отыратын коэффициенттердің функциялары болу керек. Ал бір тік бұрышты координаталар системасына көшкенде мәндері сақталатын коэффициенттердің функцияларын инварианттар деп атайды. Басқаша айтқанда, бір системадан екінші системаға көшкенде (1) жалпы теңдеудің коэффициенттерінің мәндері өзгерілмесе (немесе кейбір коэффициенттерінің қосындысы не көбейтіндісі сақталса), онда бұл коэффициенттер инварианттар деп аталады.
Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
Эллипстің берілген теңдеуі бойынша жартылай осін тап:
25 х2 + 9 у2= 1
Гипербола мен 2 х – у – 10 = 0 түзуінің қиылысу нүктелерін тап.
Параболаға у2= 8х қатысты және 2 х + 2 у – 3 = 0 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жаз.
гиперболасы және қандай да бір жанама берілсін; Р – ОХ осімен жанаманың қиылысу нүктесі, Q – жанасу нүктесінің осы оське проекциясы. екенін дәлелде.
Жалпы декарттық координата жүйесінде у2 = 2 рх теңдеуімен берілген қисықтың парабола болатынын дәлелде.
Эллипстің берілген теңдеуі бойынша жартылай осін тап:
9 х2 + у2 = 1
Гиперболаның фокусы мен эллипстінің фокусы сәйкес келеді.
Эксцентриситеті , гиперболаның теңдеуін құр.
х2=4у парабола мен х + у – 3 = 0 түзуінің қиылысу нүктелерін тап.
Кез келген екі гиперболаның аффинді эквивалентті екенін дәлелде.
Егер екі эллипстің эксцентриситеті тең болса, онда бұл эллипстердің тең болатындығын дәлелде.
Сұрақтар:
Екінші ретті сызықтың директрисалары.
Асимптоталық бағыттар, центр, диаметрлер, бас бағыттар.
1
№12дәріс
Айналу беттері (цилиндрлік, конустық).
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Айналу беттері.
2.Цилиндiрлiк беттер.
3.Конустiк беттер.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
