Түзулердің арасындағы бұрыш. Екі түзудің параллель және перпендикуляр болу шарттары. Қиылысатын және түзулер екі пар вертикаль бұрыштарды анықтайды (2.5-сурет), Анықтама: Қиылысатын екі түзудің арасындағы бұрыш деп олар анықтайтын бұрыштардың шама жағынан кішісін айтады. l1және түзулері арасындағы бұрышты былай белгілейді (, )=, мұндағы 0900. Егер мен түзулері арасындағы бұрыш 900-қа тең болса, оларды өзара перпендикуляр деп айтады да, былай белгілейді. Түзулер әр түрлі тәсілмен берілген жағдайда олардың арасындағы бұрышты қалай есептейтіндігін қарастырайық. а) мен түзулері сәйкесінше жалпы түрдегі теңдеулермен берілсін А1х+В1у+С1=0,А2х+В2у+С2=0. (14/) Бұл түзулердің бағыттаушы векторлары =(-В2,А2) арасындағы бұрышы мына формула бойыншa
(15)
табылатындығы белгілі.
.6-сурет.
Ал, бұрышы (=(, )) не бұрышына тең болады(2.6 а-сурет) не оны 1800-қа толықтырады (2.6 б-сурет). Олай болса, сүйір болғанда, доғал болғанда:
Бұдан
. (16)
(16) және (15) формулалардан
cos=(17)
жалпы түрдегі (14) теңдеулермен берілген түзулер арасындағы бұрышты есептеу үшін формула шығады.
l1мен түзулерінің параллельдігі олардың бағыттаушы 1 мен 2 векторларының коллинеар болатындығымен пара-пар, яғни
112(18)
Сонымен, (18) қатыс екі түзудің параллельдік шарты болып табылады.
Ескрте кетейік, егер параллель 1 және түзулерінің кем дегендей бір ортақ М0(х0,у0 ) нүктесі болса, яғни
(19)
теңдіктері орындалатындай, х0, у0 сандары бар болса ондай түзулер беттесетін болады.(18) қатыс мәнін деп белгілеп, А1= А2, В1= В2 теңдіктерін шығарып аламыз.Енді (19) системаның екіншісін алдымен
-ға көбейтіп алып, оны бірінші теңдіктен шегеріп, С1=С2 табамыз, яғни мына қатыс шығады:
Керісінше де, осы шарт орындалғанда мен түзулері беттесе түседі.Сонымен, 1=(20)
қатысы түзулердің беттесу шарты болып табылады.
1 мен түзулерінің өзара перпендикулярлығы олардың бағыттаушы 1 мен 2 векторларының ортогональ болатындығымен пара-пар. Сондықтан
1121х2=0А1А2+В1В2=0 (21)
қатысы берілген түзулердің перпендикулярлық шарты болып табылады.
б) және түзулері канондық теңдеулермен берілсін. және, (22)
мұндағы 1 =( m1,n1), 2= (m2,n2)- берілген 1 және түзулерінің бағыттаушы векторлары.Жоғарыдағы сияқты, , мұндағы =(1,2). Олай болса,
(23)
112(24)
1121m1m2+n1n2=0 (25)
в) мен түзулерінің бұрыштық коэффицентпен берілген теңдеулері сәйкесінше y= k1x+b1 және y= k2x +b2 (26) 1 мен түзулерінің бағыттаушы векторлары 1 =(1,k1) және 2 = (1,k2) болмақ. Сондықтан (27)
112k1=k2(28)
1121+k1k2=0 (29)
Қарастырылып отырған жағдайда әдетте есептеу формуласын tg үшін жазады.Ол үшін sin 2+cos2=0 теңбе-теңдігін (27) формуламен бірге қарастырып, мынаны табамыз tg =(30) Түзудің нормаль түрдегі теңдеуі. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық Егер түзуі жалпы түрдегі Ах+Ву+С=0 теңдеуімен берілсе (А2+В20), онда вектор =(А,В) болатындығы белгілі. Айталық, түзуіне нормаль 0 векторы бірлік вектор болсын, сонда оның бағыттаушы косинустары координаттар болып табылады, яғни 0(32) ал түзудің теңдеуі мына түрде жазылады (33)
(33) теңдеу түзудің нормаль түрдегі теңдеуі делінеді, мұндағы р0 деуге болады (өйтпегенде 0 векторын қарама-қарсы векторға ауыстырар едік). Теорема: М0 (х0,у0 )нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық осы түзудің нормаль түрдегі (33) теңдеудің сол жақ бөлігінде М0 нүктесінің координаттарын қойғанда шығатын нәтиженің модульна тең болады, яғни (37) Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
А(4;6), В(-4;0), және С(-1;-4) үшбұрыштын төбелеріберілген.
үш қабырғасының;
С-төбесінен жүргізілген медиананың;
В бұрышының биссектрисасының;
А төбесінен ВС қабырғасына жүргізілген биіктіктің теңдеулерін құрындар;
Төбелерінің координаттары (2;-1), (4;5) және (-3;2) болатын АВС үшбұрышының ауырлық центрі мен координаттар басын қосатын түзудің теңдеуін жазыңдар. АВDС-төртбұрыштың ауданы 14 кв. бір тең болатындай А(0;5), В(2;2), С(4;6) үшбұрышының АМ медианасы бойынан D нүктесін табыңдар.
А(-1;2), В(3;-1) және С(0;4) үшбұрыштар төбелері берілген. Әр бір нүктеден қарама-қарсы қабырғаға параллель болатын түзуді салыңдар.
А(3;1), В(5;4), С(1;3) үшбұрыштың ВН биіктігінің бойында, оны =-3 қатынаста бөлетін Р нүктесін табыңдар және АВСР төртбұрыштың ауданын есептеңдер.
А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) және D(3;1)төрт нүктелері трапецияның төбелері болатынын тексеріндержәне трапецияның орта сызығы мен диаганальдарын
табыңдар.
6. Бұрыштық коэффициентті анықтамай түзулер арасындағы бұрышты табыңдар:
1) 2х + у – 5 = 0 және 6х – 2у + 7 = 0, бұрышы ,
2) 4х – 5у + 7 = 0 және 9х + 4у – 11 = 0, бұрышы ,
3) х – 2у + 5 = 0 және 3х – 8 = 0, бұрышы ,
4) 4х + 3у – 13 = 0 және 22х + (19 – 7)у + 15 = 0, бұрышы
7. Келесі үш түзулер бір нүктелер бір нүктеден өтетінін тексеріңдер:
1) 3х – у – 1 = 0, 2) х + 3у – 1 = 0,
2х – у + 3 = 0, 5х + у – 10 = 0,
х – у + 7 = 0; 3х – 5у – 8 = 0;
3) 3х – у + 6 = 0, 4) 5х – 3х – 15 = 0,
4х – 3у – 5 = 0, х + 5у – 3 = 0,
2х – у + 5 = 0, 3х + у + 5 = 0.
8. ах + ву + 1 = 0, 2х – 3у + 5 = 0 және х – 1 = 0 түзулері бір нүктеде қиылысу үшін а және в коэффициентері қандай шартты қанағаттандыру керек?
9. АВС үшбұрышының АВ: 4х + у – 12 = 0 қабырғасының теңдеуі, ВН: 5х – 4у – 15 = 0 және АН: 2х + 2у – 9 = 0 биіктіктерінің теңдеулері берілген. Басқа екі қабырғасының және үшінші биіктігінің теңдеулерін табыңдар. Бұрыш
Сұрақтар:
Екі түзудің өзара орналасуы.
Түзулердің арасындағы бұрыш.
Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.
Түзудің нормал теңдеуі.
1
№8дәріс
Жазықтықтың теңдеулері. Екі жазықтық арасындағы бұрыш. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Жазықтықтың теңдеулері.
2.Екі жазықтық арасындағы бұрыш.
3.Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.Векторлардың векторлық көбейтіндісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Кеңiстiкте кезкелген жазықтығы берiлсiн, оның теңдеуi Аx+By+Cz+D=0 (1) x, y, z – ке қарағанда бiрiншi дәрежелi теңдеу болатынын көрсетейiк. Мұнда А2+В2+С20, яғни белгiсiздердiң коэффциенттерi бiрдей 0-ге тең емес. М0(x0 y0 z0) болсын.
Нөль емес жазықтыққаперпендикуляр вектор алайық.Берiлген жазықтықтың кезкелген М(x,y,z) нүктесiн алсақ, онда болған жағдайда ғана М нүктесi жазықтығындажатады.
векторы кординаталары (x-x0,y-y0,z-z0). Сондықтан шартын немесе А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 деп жазамыз. Осыдан Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0 немесе Ax+By+Cz+D=0 болады.
Керiсiнше,кеңiстiктегi тiкбұрышты декарт жүйесiнде берiлген кезкелген x,y,z арқылы бiрiншi дәрежелi теңдеу әрқашанда жазықтықтың теңдеуi болады, векторын жазықтықтың нормаль векторы деймiз. теңдеуiн былайша жазайық , мұнда: сәйкес М,М0 нүктелерiнiң радиус векторлары. Бұл теңдеудi түрлендiрейiк: , немесе (2), (2) жазықтықтың векторлық теңдеуi дейдi.
Егер Д=0 болса, Ax+By+Cz=0 жазықтығы координаттар басынан өтедi. Егер С=0 болса Ax+By+Cz=0 жазықтығы Oz осiне параллель болады, т.с.с.
координаталар осьтерiнен сәйкес а,в,с кесiндiлер қиятын жазықтықтың теңдеуi.
–жазықтықтың нормаль теңдеуi. Берiлген нүктесiнен жазықтыққа дейiнгi қашықтық болады.
Өзара қиылысатын жазықтықтары берiлсiн. Олардың нормаль векторлары . Осы екi қиылысатын жазықтықтар арасында бұрыш деп, олар жасайтын екi жақты бұрышты атайды. 1 және 2 векторларының арасындағы бұрыш немесе 1800- болады. Сондықтан немесе .
Осыдан екi жазықтықтың перпендикуляр белгiсi шығады, ал параллельдiк белгiсi болады.
Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
M(1;-1;2) нүктесiнен векторына перпендикуляр болып өтетiн жазықтықтың теңдеуiн табыңыздар.
Тетраэдрдің A(2;1;0), B(1;3;5), C(6,3,4), D(0;-7;8) төбелерi берiлген. AB қырынан және CD қырының қақ ортасынан өтетiн жазықтықтың теңдеуiн табыңыздар.
Төмендегi жағдайларда берiлген 4 нүктеден бiр жазықтық жүргiзуге болама:
Кеңістіктегі түзу. Екі түзудің арасындағы бұрыш, түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
Кеңістіктегі түзу.
Екі түзудің арасындағы бұрыш, түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Кеңiстiкте бiр түзу берiлсiн. Осы түзуге коллинеар (параллель), нөл емес векторды бағыттауыш векторы деп атаймыз. Түзуде Мо(xo,yo,zo)
нүктесiн және кезкелген М(x,y,z) нүктенi алайық(Сызба 3). Онда және коллениар болады, яғни
, векторларын қарастырсақ, онда . Сонымен, немесе (1).
теңдеудi түзудiң векторлық теңдеуi деймiз. ескерiп, (1) теңдеудi былай жазамыз:
