Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

а) 10e^{− x}
ə) 3e^2x

б) 2sin x
в) 2x³ − 30
г)2e^x cos
д) x − e^−2x +1
е) e^x (3 − 4x)
ж) 3x + 5sin 2x
з) 2e^x − e^−2x
и) sinxsin2x
к) shx

Жауаптары: y = C₁ e^x + C₂ e ^{2 x} + y* , мұнда y* тең:

а) e^−x
ə) 3xe^2x
б)
в)
г) -8/5 +e^x(cosx/2 +2sinx/2)
д)

е) e^x (2x² + x)

ж) (9+3cos2x- sin2x )
з) -2xe^x-e^-2x
и)
к) -e^-x-xe^x

9) 2y"+5y′ = f (x) , егер f (x) тең:

а) 5x² − 2x −1
ə) e^x
б) 29cos x
в) cos² x
г) 0,1e^−2,5x − 25sin 2,5x
д) 29xsin x
е) 100x ⋅ e^{− x} ⋅ cos x
ж) 3 сhx
Жауабы: y = C₁ + C₂ e^{- 5/2 x} + y* , мұнда y* тең:

а)
ə) e^x

б)5sin x − 2cos x
в)
г)cos2,5x+sin2,5x−0,02xe^−2,5x
д)
е)e^−x[(10x +18)sinx − (20x +1)cosx]
ж)
3.6 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес
теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі

Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін практикада Лагранж әдісі (тұрақтыны вариациялау әдісі) қолдану ыңғайлы.

Алдымен берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Алдында қарастырылғандай ол мына түрде жазылады:

Содан соң, C_i коэффициенттерін х-тің функциялары деп есептеп, біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу керек:



C_i(x) функцияларын табу үшін келесі жүйені шешу керек:

Мысалы:  теңдеуін шешу керек.
Шешуі: 1) Әуелі біртекті теңдеуді шешеміз.



2) Біртекті емес теңдеудің шешімі келесі түрде болады:

Теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Жүйені шешейік:

  өрнегінен А(х) функциясын табамыз.


Енді В(х) функциясын табайық.

Табылған мәндерді біртекті емес теңдеудің шешімінің формуласына қоямыз:

Жауабы: 
Сөйтіп, біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін дара шешімін таппастан жаздық.
Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

1) y"'-4y"+5y'-2y=2x+3 Жауабы: y=(c₁+c₂x)e^x+c₃e^2x-x-4.

2) y"'-3y'+2y=e^-x(4x²+4x-10) Жауабы: y=(c₁+c₂x)e^x+c₃e^-2x+(x²+x-1)e^-x

3) y^IV+8y"+16y=cos x Жауабы:y=(c₁+c₂x)cos2x+(c₃+c₄x)sin2x+1/9cos x

4) y^IV+2α ²y "+α ⁴y=cos αx Жауабы: y=(c₁+c₂x)cosαx+(c₃+c₄x)sinαx-x²cos αx/ 8α²

5) y^V+y"'=x² –1 Жауабы: y=1/60x⁵–1/2 x³+c₁ x²+c₂ x+c₃+c₄cos x+c₅sin x

6) y^IV-y=xe^x + cos x Жауабы: y=c₁e^x+c₂e^-x+c₃sinx+c₄cos x+x²-3x/8*e^x-1/4 xsin x

Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

7) y^IV-2y"+y=8(e^x + e^-x)+4(sinx+cosx) Жауабы: y=(c₁ +c₂ x+x²)e^x +(c₃+c₄x+x²)e^-x+ +sin x +cos x

8) y"'+2y"+y'+2e^-2x =0; y|_x=0=2, y'|_x=0=1,y"|_x=0=1 Жауабы: y=4-3e^-x +e^-2x

9) y"'-y'=3(2-x); y|_x=0=y'|_x=0=y"|_x=0=1 Жауабы: y=e^x +x³

10) Эйлер теңдеуін шеш: x³y"'+xy'-y=0 Жауабы: y=x(c₁+c₂ln|x| +c₃ln²|x|)

Тест сұрақтары

$$$1Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу?
A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;

$$$2Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E);

$$$3 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;

$$$4Диф.теңдеудің жалпы шешімі?

A) ;
B) ;
C) ;
D) ;

жүктеу/скачать 1,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: