Электрмен  қамтамасыз  ету  жүйесінің  технико-экономикалық

 

26

 

 

таңдаудысы болып табылатын ол оның экономикалық лайықтылығы.  

 

Технико – экономикалық есептерді жүргізу үшін еңбекті көп қажетсінетін 

есеп  жұмыстарын  жүргізу  қажет,  оларды  автоматизацияландыру  кезінде 

сандық  ЭЕМ  табысты  қолданылады.  Сандық  ЭЕМ  құрылғаннан  бастап 

зерттеулер мен жобалау кезіндегі әртүрлі тапсырмаларды шешу үшін есептеу 

әдісі  басты  амал  болып  табылады,  себебі  машиналар  максималды  сан-түрлі 

кездесетін  факторларды  ескере  отырып,  қыин  есептерді  жүргізеді.  Есептеу 

техникасы  ақпаратты  өңдеу  жылдамдығы  адамның  мүмкіндігінен  қарағанда 

он  есе  болмаса  жүз  есе  ұлғайлы.  Соңғы  кезде  сандық  ЭЕМ  халық 

шаруашылығы көптеген салаларында, ғылымда, техникада қолданыста.   

 

Сандық  ЭЕМ  күрделі  маңызы  энергетика  саласында. 

Мысалы,  әр  түрлі 

саладағы өнеркәсіп нысандарын электр жүйелерін жобалау кезінде, оның даму 

келешегін,  электр  қондырғысын  дұрыс  таңдау  және  тағы  басқа  да  көптеген 

мәселелерін  ескере  отырып,  сол,  болмаса  басқа  да  өнеркәсіп  аймағындағы 

басты  төмендеткіш,  басты  бөлу  және  цехтік  подстанцияларды  дұрыс 

орналастыру мәселелерін шешу үшін қажет.     

 

Айта  кету  керек,  аталып  өткен  барлық  жағдайларда  өнеркәсіп 

кәсіпорындар электр жүйелерін жобалау кезінде қолданылатын ЭЕМ адамды 

ауыстыра алмайды, бірақ анағұрлым мүмкіндігін кеңейтеді.  

 

 

6.2 Функцияларды жақындату амалдары 

 

 

Жалпы  функция  көптеген  амалдармен  белгіленуі  мүмкін,  олардың 

бастысы келесілері болып табылады:   

 

a)  аналитикалық  формуласы  (арифметикалық,  алгебралық  және  т.б.) 

көмегімен ақырғы саны бар басты операцияларды қамтитын  анық түрі;   

 

б) F (x, y) = 0 аналитикалық формуласы көмегімен ақырғы саны бар басты 

операцияларды қамтитын анық емес түрі; 

 

в)  толық  көпмүше  жүйесі  көмегімен,  олардың  әрқайсысы  белгілі  бір 

ортада  тәуелсіз  айнымалы  өзгеру  функциясына  жақын;  бұл  тапсырма  амалы 

көпмүшелерді аппроксимирациялық амал деп аталады; 

 

г) мағыналы функция кестесі көмегімен. 

 

Көрсетіліп  кеткен  әр  бір  функция  амал  тапсырмалары  осы  функцияның 

мағына  есебін  белгілі  бір  амалын  қарастырған.  Технико-экономикалық 

зерттеулердің  біршама  мақсаттарын  шешу  үшін  функцияны  кестелі 

өзгешелігімен  бағыттау  керек.  Мұндау  функцияны  белгілі  бір  дәлдік 

амалымен, 

жағындастырылған 

функциямен 

ауыстыруға 

болады, 

математикалық өңдеуге қолайлысымен.       

 

Бұл  кезекте,  көп  тапсырмаларды  математикалық  дәлдікпен  шешу, 

принципиалды  қыиншылықтармен  байланысты.  Жақындастырылған  бір 

амалды қолдана отырып тапсырманы шешу кезінде, негізінен басқа тапсырма 

шешімі табылып жатады, яғни «аппроксимирациялық» тапсырма. Сондықтан, 

практикалық  есептеу  кезінде  функциялардың  жақындастыру  мәселелері  аса 

маңызды 

болып 

есептеледі. 

Функциялардың 

аппроксимациясы 

 

27

 

 

математикалық есептеуі басты бір амалы болып қарастырылады.   

 

Кейбір  тапсырмалардың  жақындастыру  есептерінің  дәлдік  талаптары  өте 

жоғары  болып  жатады.  Сондықтан  да

,  маңызы  белгіленген  тәсіл,  бір  схема 

бойынша келесі бір жуықтау тәсіліне көшу жолымен еріксіз жоғары дәлдікпен 

іргелі проблемаларды шешу амалдарын табуға мүмкіндік береді. 

 

Функцияларды  жақындастырудың  бірнеше  әдістері  белгілі.  Бастыларына 

келесілер жатады: 

1)

 

Интерполирация; 

2)

 

Төртбұрышты жақындастыру; 

3)

 

Орта деңгейлі жақындастыру; 

4)

 

Бірқалыпты (ең қолайлы) жақындастыру. 

 

Интерполирация  теориясының  негізгі  принципі,  ізделіп  отырған  P

n

(x) 

шамасы  белгілі  бір  деңгейлерде  f(x)  функциясы  секілді  мағыналарды 

қабылдау  қажет,  яғни  ізделіп  отырған  шаманың  және  осы  функцияларының 

белгілі бір деңгейдегі теңдігі нөл санына айналуы тиіс.     

 

 

                                                 

( )

( )

0

n

P x

f x





 

 

 

 

,                                                  

(6.1) 

 

 

Функциялардың жақындастыру шамалдық интеграл түрі 

 

                                                 

( )

( )

( (0),

s

n

P x

f x

dx s





                                      

(6.2) 

 

негізгі  шеңберге  өрістетілгені,  маңызы  бірқалыпты  жақындастырылу 

кезеңімен  бірдей  болуы  керек,  қанша  болса  да  нөл  санынан  аспауы  тиіс. 

Әсіресе  s=2  (төртбұрышты  жақындастырылу)  жағдайы  маңызды.  Орта 

деңгейлі  жақындастырулары  төртбұрыштылардың  қосындысы  болып 

табылады  және  белгілі  бір  мезетте  олардың  жағдайы  –  Чебышевтің  ең 

қолайлы жақындастырылуы болып табылады. 

 

Өнеркәсіп  кәсіпорындарын  электрмен  қамтамасыз  ету  кезіндегі  жобалау 

және  пайдалану  практикасында  интерполирация  және  аппроксимирация 

функцияларды жақындастыру амалдары қолданысқа ие болды. 

 

 

28

 

 

 

6.1 сурет 

 

Экономикалық есептер қорытындысы негізінде табылған шамалар, әдетте 

координаттық  жүйесінде  орналасқаны  (  6.1  суреті)  соншалықты,  тіпті  осы 

нүктелер арқылы у= қисық сызығын өткізу мүмкін емес. 

Бұл математикалық 

өрнектер қарастырылған тәуелділіктердің сипаттамасын қиындатады, ал кейде 

аналитикалық  шешімін  жояды.  Математикалық  әдістерді  қолдана  отырып  , 

жоғарыда  көрсетілген  әдістерін  қолдана  отырып  осы  экономикалық  қарым-

қатынастардың  сипатын  анықтайды.  Ол  әбден  мүмкін,  себебі  координаттар 

түрінде алынған x

1

, y

1

, x

2

, y

2

, x

3

, y

3

, x

4

, y

4

, x

5

, y

5

, x

6

, y

6

, x

7

, y

7

 

осы экономикалық 

есептеулерге  тегіс  қисық  ауытқу  себептерімен  экономикалық  есептеулер 

ескерілмеу  керек.  Мысалы,  бір  габариттен  басқаға  ауысу  кезінде 

трансформаторлар  бағаларының  шұғыл  ауытқу  кезінде;  осы  тәріздес 

сызбалардағы аппараттардың түрлерінің өзгеру кезінде және т.б. Осы жағдай 

кезінде  аппроксимация  экономикалық  есептеу  кезінде  ең  дұрыс  тәуелдік 

сипаттама береді.  

 

Айта кету керек, интерполяция және аппроксимация амалдары тіптен көп 

кездеседі.  Жиі  қолданыстағыларын  қарап,  және  х  белдігіндегі  дәлелді 

өзгерістері  бар  әр  түрлі  шама  интервалдары  барын  ескере  отырып  (мысалы, 

сымдардың қимасы пен талшықтары: 10, 16, 25, 35, 50, 70, 95, 120 мм2 және 

т.б.;  кернеулері:  6,  10,  20,  35,  110,  220  кВ  және  т.б.),  мүмкіндігінше 

аппроксимация болмаса интерполяция өткізуге болады. 

 

 

6.3  Технико-экономикалық  есептеулердегі  интерполяция  амалдарын 

қолдану  

 

 

y=

)

(x

f

 

интерполирация  функциясы  белгілі  бір  бөлігінде 

)

(x

f

 

жақындастырылған  ауыстыру  функциясынан  белгілі  бір  бөлігінде 

 

x

P

n

  бір 

функциясынан  тұрады, 

 

x

P

n

  функциясы 

n

x

x

x

x

.........,

,

,

,

2

1

0

  нүктелерінде 

)

(x

f

 

тәрізді  мағынаға  пайда  болады. 

n

x

x

x

x

.........,

,

,

,

2

1

0

 

аталған  нүктелері 

интерполяция  түйіндері  деп,  ал 

 

x

P

n

-  интерполирация  функциясы  деп 

аталады.

 

 

29

 

 

 

Бұл  кезекте   

 

x

P

n

  сыныбы  үшін  байсалды  көпмүшелер  сыныбы  алған 

жағдайда интерполяция параболды деп аталады. Параболды интерполяция өте 

ыңғайлы:  көпмүшелер  түрлері  қарапайым,  оңай  есептеледі,  оларды 

дифференциялау  және    интеграциялау  қолайлы.  Сондықтан  параболды 

интерполяция амалы көп кездесетін болып табылады. 

 

Экономикалық есептеулер кезінде, егер дәлел үш-төрт нүктеден аспайтын 

болса,  нүктелі  интерполяция  қолданылады,  яғни  көпмүшелігі  анықталады, 

олардың  функция  мәндері  интерполяция  түйіндерімен  дәлме-дәл  болады. 

Сондай тәуелдік 2.2 суретінде белгіленген.  

 

 

6.2 сурет 

 

 

Интерполяция міндетін жасау үшін, сондай-ақ белгілі бір мінездеме үшін, 

полином дәрежесі интерполяция нүкте сандарынан бір бірлікке аз болуы тиіс.  

 

)

(x

f

функциясы  кестелі  түрде  белгіленсін, 

n

x

x

x

x

.........,

,

,

,

2

1

0

 

  интерполяция 

түйіндерінде 

n

y

y

y

y

.........,

,

,

,

2

1

0

  мәндері  белгіленген.  Осы  эмпирикалық 

функциясының  экстремум  нүктесін  табу  керек. 

)

(x

f

  кесте  функциясы 

байсалды  қисын  деп  жобалайық,  яғни 

)

(x

f

  жанамасы  қисық  сызығы  барлық 

интерполяция  түйінделерінде  арасында  Ох  белдігіне  бұрышты  көлбейген 

деңгейі  аз  болмаса  көп  болуы  тиіс,  бірақ  π/2  жақын  болмағаны  дұрыс. 

Сондықтан  экстремум  нүктесі  бар  Ох  белдігіндегі  бөлігін  интерполяция 

түйінділеріндегі функциялардың мағынасын табуға болады. 

 

Бірінші  кезекте  қажетті  дәлдікті  есептеу  үшін  кубалық  интерполяция 

жеткілікті  амалын  қарап  көрейік. 

3

x

  ізденістегі  экстремум  нүктесі 

0

x

  және 

3

x

белгілемері  арасында  орналасқан 

3

,

2

1

0

.........,

,

,

x

x

x

x

  төрт  түйіндісі  бар 

кесіндісін  таңдайық. 

 

x

P

n

  Лагранжа  интерполяциялық  полиномын  табайық, 

яғни 

1

x

, 

2

x

,   

3

x

  интерполяция  түйіндемелері 

)

(x

f

  сәйкес  полиномдар  болуы 

тиіс. 

 

Келесі полиномды қарап көрейік  

 

30

 

 

 

                                       

 

3

2

2

1

3

0

C

x

C

x

C

x

C

x

P

n









,                                          

(6.4) 

 

 

бұл жерде  

 

 

 

i

i

n

x

f

x

P



, где i = 0, 1, 2, 3. 

 

 

(6.4) ережелері геометрикалық тұрғыда 

 

x

P

n

 полином кестесі 

0

M

, 

1

M

, 

2

M

, 

3

M

 (6.2 сүрет) нүктелер арқылы өтуі тиіс. 

 

Полином  қанағаттандыру  бойынша  (6.4)  ережелерін  пайдалана  отырып, 

келесі алгебралық теңдемелер жүйесін жазуға болады: 

 

                                               

3

2

0 0

1 0

2 0

3

0

3

2

0 1

1 1

2 1

3

1

3

2

0

2

1 2

2

2

3

2

3

2

0 3

1 3

2 3

3

2

С x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y































 













 

 

,                                  

(6.5) 

 

 

Бұл теңдеме жүйесінде белгісіз болып 

3

2

1

0

,

,

,

C

C

C

C

 коэффиценттері болып 

табылады.  

 

(6.5) жүйе айырғышы Вандермонд айырғышы болып табылады. 

 

                                               

1

1

1

1

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

1

0

2

0

3

0

























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

W



 

 

,                                             

(6.6) 

 

 

Оның үлкендігі келесі шамамен көрсетіледі 

 

 

 





 







 







 



0

1

1

1

0

1

1

1

2

2

0

2

1

1

0

n

n

n

n

n

n

n

n

W

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x































































                    (6.7) 

 

Жоғарғы  алгебра  курсынан  белгілі,  егер 

0

)

(





xp

xq

  ,  осы  жерде 

n

q

p







0

, онда W ≠ 0. Басқа сөзбен атқанда, 

0

x

, 

1

x

, 

2

x

,  

3

x

 сандар арасында 

сарындылары болмаған жағдайда, онда Вандермон айырғышы нөлден өзгеше. 

 

(6.5)  жүйесі  сызықты  алгебралық  теңдемерінің  әртекті  жүйесі  болып 

табылады. Анықтауышы нөлден өзгеше кезінде және тап осы кезінде ғана бұл 

 

31

 

 

жүйенің жалғыз ғана шешімі екені белгілі. (6.5) жүйесінде анықтауышы W ≠ 

0, яғни бұл жүйенің жалғыз шешімі. 

 

 

x

P

n

 Интерполяциялық полиномның аналитикалық шешімін шығару үшін 

(6.5) жүйесіне 

 

3

2

2

1

3

0

C

x

C

x

C

x

C

x

P

n









 теңдемесін қосайық. 

 

(6.5) жүйе теңдемелерін келесі түрде жазып алайық: 

 

          

3

2

0

0

1 0

2

0

3

0

3

2

0 1

1 1

2 1

3

1

3

2

0

2

1 2

2

2

3

2

3

2

0 3

1 3

2 3

3

2

3

2

0

1

2

3

0

0

0

0

( )

0

n

С x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x

C

y

C x

C x

C x C

P x

































































 

,   

 

         (6.8) 

 

(6.8)  жүйесін  әртекті  сызықты  теңдеме  ретінде  қарау  үшін,  олардың 

0

C

, 

,

1

C

,

2

C

3

C

  және  –  1  сандарының  қосындысын  белгісіз  деп  тану  керек.  Осы 

жағдайда (6.8) жүйесі біртетікті және нөлдік шешімі бар есебі деп білу керек. 

Анықтауышы  тепе-тең  нөлге  тең  кезінде  және  тап  осы  кезінде  ғана  бұл 

жүйенің жалғыз ғана шешімі екені белгілі. 

 

 

                            

3

2

0

0

0

0

3

2

1

1

1

1

3

2

2

2

2

2

3

2

3

3

3

3

3

2

1

1

1

0

1

1

( )

n

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

P x



 ,                                             (6.9) 

 

 

Осы жерде  

 

                                  

0

1

1

1

( )

0

0

1

( , ,

,

,

,

,

,

)

( , ,

,

)

n

n

m

m

m

n

m

P x

m

n

W x x

x

x

x

x

y

W x x

x





 



                               (6.10) 

 

 

болмаса  

 

0

1

1

( )

0

0

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

1)(

1)

(

)

n

n

m

m

n

m

P x

m

m

m

m

m

m

v

n

W x

x

x

x

x

x

x

x

y

W x

x

x

x

x

x

x

x





 























                            

(6.10a) 

 

 

Интерполициялық Лагранжа полиномы деп білеміз.  y= функциясы келесі 

мағыналарымен белгіленген: 

n

x

x

x

x

x

x









3

,

2

1

0

.....

,  

0

1

2,

3

.....

n

y

y

y

y

y

y

, 

 

осы  функция  үшін  Лагранжа  интерполяциялық  көпмүшені  келесі  түрде 

жазуға болады: 

 

32

 

 

1

1

2

0

1

1

0

1

0

1

0

2

0

0

1

0

2

0

0

1

1

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

P x

y

y

y

x

x x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x













































, (6.11)  

 

Бұл  формуларда  х  –  ағымды  дәлел  белгісі.  Мысалы, 

,

1

0

x

x

x

a





 

есебіндегі P

n

 табу үшін, Лагранжа интерполяциялық полиномында x орнына x

a

 

қою қажет. 

Пайда  болған  формуланы  қолайлы  пайдалану  үшін  кейбір  өзгерістер 

жасайық. (6.8) жүйе айырғышын басқа түрде қайта жазайық: 

 

                        

0

0

)

(

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

2

2

3

2

1

1

2

1

3

1

0

0

2

0

3

0























































x

P

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

n

, 

                            (6.12) 

 

 

Пайда болған айырғышты екі айырғыштың сомасына бөліп жатқызайық: 

 













































)

(

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

1

0

2

0

3

0

x

P

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

0

0

1

1

1

1

1

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

2

2

3

2

1

1

2

1

3

1

0

0

2

0

3

0













































x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

,                   (6.13) 

 

 

Бірінші  айырғышы 

W

x

P

n

)

(

тең  болса  екіншісін  D  арқылы  көрсете 

отырайық. Сонда мынадай шешімге келеміз: 

 

,

0

)

(





D

W

x

P

n

 

ол жерден  

D

W

x

P

n







1

)

(

 

 

Сонымен, интерполяциялық полиномның айырғыш түрінде аналитикалық   

сипаттамасы аламыз 

0

0

1

1

1

1

1

1

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

2

2

3

2

1

1

2

1

3

1

0

0

2

0

3

0

)

(

















































x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

W

P

x

n

,                                    (6.14) 

 

бұл жерде W – Вандермонд айырғышы. 

 

33

 

 

 

D айырғышын соңғы сызба элементерімен көрсетейік: 

 

 







































3

3

3

2

3

3

2

2

2

2

3

2

1

1

1

2

3

1

0

0

0

2

3

0

3

3

2

3

3

2

2

2

3

2

1

1

2

3

1

0

0

2

3

0

3

3

3

3

2

2

3

2

1

1

3

1

0

0

3

0

2

3

3

2

3

2

2

2

2

1

1

2

1

0

0

2

0

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

W

x

P

,    (6.15) 

 

 

Жазбаның қарапайым болу үшін келесі белгілемелерді енгізейік: 

 

3

3

2

3

2

2

2

2

1

1

2

1

0

0

2

0

1

1

1

1

1

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

D



























 

,                                                    

(6.16) 

 

                                         

3

3

3

3

2

2

3

2

1

1

3

1

0

0

3

0

2

1

1

1

1

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

D



























 

,                                                    

(6.17) 

 

                                        

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

1

0

2

0

3

0

3

1

1

1

1

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

D



























,                                          

(6.18) 

 

                                         

3

3

2

3

3

3

2

2

2

2

3

2

1

1

2

1

3

1

0

0

2

0

3

0

4

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

D



























,                                     (6.19) 

 

 

Жаңа белгілемелерде интерполициялық полином келесі түрде болады: 

 

0

)

(

1

)

(

4

3

2

2

3

1













D

x

D

x

D

x

D

W

x

P

n

 

 

 

Хэ  экстремум  нүктесінің  абсциссасын  табу  үшін  бірінші  туынды 

 

34

 

 

)

(x

P

n

интерполициялық полиномды тауып, оны нөлге теңестіреміз: 

0

)

2

3

(

1

)

(

3

2

2

1











D

x

D

x

D

W

x

P

n

 

 

 

W(0) Вандермонд айырғышы болғандықтан  

 

2

1

2

3

3

2

0

Э

Э

D x

D x

D







. 

 

 

Осы  теңдіктен  кестелі  түрдегі,  экстремум  нүктесінің  абсциссасын  табуға 

арналған формуланы шығарамы 

1

2

1

2

2

2

3

3

D

D

D

D

D

x

ý







,

                                               (6.20)

 

 

 

Осы  формула  арқылы  пайда  болған  екі  х  мағынасының 

0

x

3

x

кесіндісіне 

тиістісін алу қажет. 

 

6.3  суретінде  көрсетілгендей,  жаңа  координат  жүйесі 

0

x

,

0

y

  нүктесімен 

бір-біріне  келу  үшін, 

y

x

0

  координат  жүйесін  сол  мезетте  ауыстырып, 

анықтауыш есептерді жеңілдетеміз. 

 Жаңа  координат  интерполяция  тораптарын  –

0

a

  =0, 

1

a

, 

2

a

, 

3

a

деп 

көрсетеміз,  ал  белгілі  мағыналы  функцияларды  – 

0

b

  =  0, 

1

b

, 

2

b

, 

3

b

.  Осы 

жағдайларда 

10

D

, 

20

D

 

30

D

айырғыштарын есептейміз.  

 

                                             

2

1

1

1

2

1

1

1

2

10

2

2

2

1

22

3

23

2

2

21

3

23

1

3

21

2

22

1

2

2

2

2

2

3

3

3

2

3

3

3

0 ....0 ..1 0

1

(

)

(

)

(

)

1

1

a

a

b

a

a

b

D

a

a

b

b

a

a

a

a

b a

a

a

a

b a

a

a

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b





 

 





 

 

 



,   (6.21)  

 

3

1

1

1

3

1

1

1

3

20

2

2

2

1

32

3

33

2

2

31

3

33

1

3

31

2

32

1

3

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

0 ....0 ..1 0

1

(

)

(

)

(

)

1

1

a

a

b

a

a

b

D

a

a

b

b

a

a

a

a

b a

a

a

a

b a

a

a

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b





 

 





 

 

 



,    

(6.22)  

 

3

2

1

1

1

3

2

1

1

1

3

2

30

2

2

2

1

32

22

33

22

2

31

23

32

21

3

31

22

32

1

3

2

2

2

2

3

2

3

3

3

3

2

3

3

3

0 ....0 ..1 0

1

(

)

(

)

(

2 )

1

1

a

a

b

a

a

b

D

a

a

b

b a

a

a

a

b a

a

a

a

b a

a

a

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b





 

  



  



  

,

      

(6.23) 

 

35

 

 

 

 

Белдіктер  координаттарын  паралелді  ауыстыру  кезінде,  Кестелі  түрдегі, 

экстремум  нүктесінің  абсциссасын  табуға  арналған  формула  келесі  түрде 

пайда болады:  

 

 

2

20

20

10

30

0

10

3

3

э

D

D

D D

x

x

D









,        

                        (6.24) 

 

 

Бұл формула экстремум нүктелерінің абсциссасын табуға арналған негізгі 

формула болып табылады  

 

 

Байсалды полином түрі 

 

0

1

2 2

( )

n

x

m m

P x

a

a

a x

a x







 

, 

 

 

     (6.25) 

 

санды интерполирацияда кеңінен қолданылады. 

 

Жиі қолданылатын түрі мен мағынасымен ерекшеленетін Ньютон, Гаусс, 

Лагранжа, Бессель және басқа да интерполяциялық формулалар бір полиномға 

әкеліп  соғады.  Сондықтан  да  деңгейлі  полином  арқылы  интерполирация 

жалпы түрде және кемшілік сараптама деңгейінде жиі кездесетін зерттеу әдісі 

болып есептеледі. 

 

Интерполирацияның  дәлдігін  жоғарылату  кезінде,  интерполирация 

функциясы  белгілі  бір  параметр  сандарымен  толық  кезде  (полином 

параметрлері  дейтініміз  ол  оның  коэффиценттері,  яғни,  егер  жақындастыру 

кезінде  n  деңгейлі  алгебралық  полиномды  қолданса,  онда  параметрлері  n+1 

коэффицентті полином болады), олардың  өзгерулеріне байланысты бастапқы 

функциясы  көрсетілген  мәндерді  белгілі  бір  сандарға  жауапты  етіп 

мәжбүрлеуге  болады.  Басқа  жағынан  қарағанда,  есептеуді  жеңілдету  үшін 

 

x

P

n

 полином деңгейін кемтуге тырысады. 

 

 

6.3 сурет 

 

 

Бір  интерполирациялық  функциясы  үшін  және  бірінғай  мәліметтер 

бойынша  бірнеше  интерполирациялық  функцияларды  құруға  болады,  олар 

 

36

 

 

белгіленген бір тораптарда бір-бірімен бастапқы функциялар бойынша сәйкес 

келіп  жатады,  ал  белгіленген  аралық  дәлелдер  үшін  интерполирациялық 

функциялар  әр  түрлі  деңгейдегі  дәлдікпен  бастапқы  функциясын 

жақындастырылған түрінде ұдайтады.     

 

Интерполирация  белгілі  бір  аралықта  бастапқы  дәлдік  тапсырысты 

негізінен  үнемі  түрде  шешімі  табыла  бермейді,  себебі  f  (x)  функциясы 

 

x

P

n

полинмен  бастапқы  нүктеде  сәйкестігі  осы  нүктелер  аралықта  шама 

аздығын  кепілдік  етпейді  Сондықтан  да  алгебралық  полиномдар  негізінен 

функцияны  үлкен  емес  учаскесінде  жақындастыру  жағдайларында  ғана 

қолданылады. 

Өнеркәсіп 

кәсіпорындарының 

электроқамсыздандыру 

жүйелерінің 

технико-экономикалық 

есептер 

кезінде 

қолданылатын 

интерполирациясы осы жағдаймен дәлел, себебі   

3

( )

f x



интерполирациялық 

функциясы байсалды қисық, интерполирация кезінде үлкен қателіктер беретін 

кенет  шығарылуы  жоқ  болып  есептеледі.  Интерполирация  олқылдығын 

интерполирация  тораптарын  белгілейтін  бастапқы  мәліметтер  кезіндегі 

олқылдықтарға жатқызуға болады. Ол үшін боламалды олқылдық мақсатында, 

интерполирация  процессін  бақылауда  ұстау  керек.  Деңгейлі  полиномдар 

күшімен,  интерполирацияға  бағытталған  олқылдықты  бағалау  әдістері  үнемі 

жақсы  құрылған.  Интерполирация  процессі  бір  түрді:  әр  есептеу  кезінде 

барлық  операциялар  белгілі  тәртіп  бойынша  қайталанады  –  бұл  процесстің 

желілі  алгоритімі  бар.  Сондықтан  да  интерполирация  сандық  есептеуші 

машиналарында табысты түрде қолдана алады. 

 

Келесі жағдайларды қанағаттандыратын, әр бір f (x) функциясына жалғыз 

түрдегі 

 

x

P

n

 көпмүшені табу расталған: 

 



























n

n

n

n

n

n

y

x

f

x

P

y

x

f

x

P

y

x

f

x

P

)

(

)

(

........

..........

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

0

0

0



 

,                                                      

(6.26) 

 

 

 

x

P

n

  интерполирациялық  көпмүшенің  жазу  үлгісі  әр  түрлі  болып 

кездеседі. Әр бір үлгі өзінің есептеу ерекшеліктері бар. 

 

Осы  ретте,  Ньютон  интерполирациялық  әдістемесін  қолдансақ,  онда 

қисық  тәуелділігі  теңдеуін  жазуға  болады,  мысалы,  келесі  түрде 

)

(

3

x

f



желісінің сымдар қимасының жылдық шығынын есептеп көрейік:  

 

1

1

1

1

1

2

1

1

2

3

(

)

(

)(

)

(

)(

)(

)

З З

A s s

B s s s s

C s s s s s s

   















,                  (6.27) 

 

 

Экстремумды табу үшін осы теңдікті продифференциялап көрейік, бірінші 

туындыны  нөлге  теңестіріп, 

1

s

  , 

2

s

  және 

3

s

  желі  сымдарының  үш  қима 

негізінде біршама математикалық амалдар жасайық, сонда алатынымыз 

 

37

 

 

 

бұл жерде 

 

2

1

1

2

1

З

s

a

З

s















 

 

;

1

2

1

s

s

s







2

1

2

;

s

s

s

  

;

1

3

1

s

s

s







 

 

1

2

1

;

З

З

З

 



2

3

2

;

З

З

З

 



 

 

1

2

1

,

;

З З иЗ

 - пайда болған шығындар, 

1

2

3

,

;

s s иs

сым қималарына сәйкес;  Sэ.ж. – 

экономикалық жөнділік қимасы. 

 

1

s

, 

2

s

 

3

s

  және 

4

s

 төрт қима есептеу кезінде, шешімі квадраттық теңдеуге 

келеді 

 

'

2

.

.

0

a s э ц

sэ ц







 

 

 

бұл  жерде  α',  β  және 



  -  коэффициенттер, 

1

s

, 

2

s

 

3

s

, 

4

s

және 

5

s

  шамалар 

негізінде құралады: 

 

'

3

1 2

1

.

.

.

0

a s э ц

s э ц

sэ ц











 

 

 

Осы  теңдіктерді  есепте  келе  экономикалық  жөнділік  қимасын  аламыз, 

яғни  минималды  шығындарға  сәкес  болатын  қималар.  Шығындар 

салыстырмалы  бағаларға  сәйкестірілген. 



14



  Қайта  жөндеу  болмаса  қайта 

құру нұсқасын қарау мүмкіндігі болғанда, күрделі шығын есебіне, жабдықтың 

тозу  көрсеткішін  ескере  отырып  оны  сату  кезінде  қайта  оралатын  қаражат 

көзін ескеру керек. Осы және басқа да шамалар К күрделі шығынды және Сэ 

пайдалану  шығындарды  өзгерту  мүмкін,  шығынды  есептеу  формуласы 

түріндегі жалпы заңы сақталынады.   

 

Теңдеулі  тораптар  кезінде  Ньютон  формуласын  қолданған  әлде  қайда 

қолайлы,  себебі  жақындастыруды  жақсарту  мақсатында  жаңа  торапты  қосу 

бастапқы  мәліметтерді  өзгертпейді,  өткені  ол  кезде  артық  бір  ғана  мүшені 

есептеуге  мәжбүр,  ал  Лагранжа  полиномы  арқылы  әр  кезде  басынан  бастап 

есептеу  керек.  Алайда  бірдей  емес  аралықтағы  интерполирация  кезінде 

Ньютон  формуласы  әр  түрлі  ережелерді  даралы  айырымдарды  есептеуді 

қажет етеді, ол міндетті түрде есептерді қыиндата түседі, сол кезде Лагранжа 

интерполирациялық  полиномы  ондай  есептерді  мүлдем  шығартады.  Алайда 

бірінғай  фунция  үшін  бұл  екі  полином  да  сәйкес,  сырттай  олар  ұқсамайды, 

себебі мүшелері әр түрлі деңгейде біріктірілген.    

 

Өнеркәсіп 

кәсіпорындарының 

электроқамсыздандыру 

жүйелерінің 

технико-экономикалық  есептер  кезінде  теңдеулі  тораптар  орын  алып 

жататынын ескерсек (қолданылатын кернеу шәкілі: 6, 10, 20, 35, 110, 220кВ; 

қолданылатын сым қималары мен шоғырсым талшығының шәкілі: 10, 16, 25, 

35,  50,  70,  95,  120  мм

2

),  Лагранжа  формуласын  қолданған  жөн  болады.  Осы 

кезекте, есептеуді оңайлату үшін сандық ЭЕМ қолданған лазым. 

 

Лагранжа интерполирациялық полиномды сөз ете келгенде, лагранжалық 

коэффиценттерін  басты  қабілетін  айту  керек:  айнымалы  х  сызықтықтың 

ауысқан  кезде  (мысал  ретінде  қолданыстағы  кернеулер,  қималар  және  т.б. 

қаралуы мүмкін) лагранжалық коэффициенттер түрі өзгермейді.  

 

Қорытындылай  келе  интерполяциялық  формулардың  олқылдығына  назар 

 

38

 

 

аудару  керек. 

)

(x

f

  функциясын  кесіндінің  бір  бөлігінде  интерполирациялау 

кезінде ол функция n+1 кесіндісінде нүктелері сәйкес келетін 

 

x

P

n

 полиномға 

өзгереді.    Басқа  кесінді  нүктелерінде  осы  айырылым 

 

( )

( )

n

R x

P x

f x





нөлден 

өзгеше  және  нақты  олқылық  әдісі  болып  есептеледі. 

)

(x

R

  қалдықты 

интерполирациялық  мүше  деп  аталады.  Интерполяциялық  полиномды  құру 

кезінде  тораб  интерполициядағы  интерполирациялық  функцияның  дәлдік 

мағынасы емес, оның жақындастырылуы белгілі. Осы себептерге байланысты 

жойылмайтын олқылықтар пайда болады. 

 

Өнеркәсіп 

кәсіпорындарының 

электроқамсыздандыру 

жүйелерінің 

технико-экономикалық  есептер  кезіндегі  интерполирациялық  функция  кесте 

түренде  көрсетілген  және  аналитикалық  маңызы  белгісіз.  Сондықтан 

интерполяциялық полином олқылығын бағалау мүмкін емес.  

 

Алайда, интерполирациялық функциялардың табиғаты соншалықты, тіпті 

олардың графикасы байсалды қисық түрінде көрсетілген. Жоғарғы әрі соңғы 

тәртіпті мағыналары бойынша олардың интерполирациялық полиномдарының 

олқылдықтарын жобалап көруге болады 



15



. 

 

Белгілі  тораптар  төрттен  аз  кезде  экономикалық  есептеулерге  кезінде 

нүктелі интерполиция ұсынылады, ал белгілі тораптар төрттен көп болғанда – 

нүктелі  аппроксимация  жағдайлары  ұсынылатыны  бекер  емес.  Себебі 

байсалды  көпмүшелерді  қолдана  отырып  белгілі  интерполирация  тораптар 

сандарын  ұлғайту  кезінде  интерполициялық  көпмүшелік  ұлғая  түседі.  Бұл 

жағдай  қаралып  жатқан  кесіндідегі  функцияның  жақындатуын  жақсарта 

бермейді.Бұл  кезде  функцияны  жақындастыру  бойынша  басқа  амал  қарап 

көрген жөн, мысалы ортаквадратталған жақындастыру амалы.  

 

 

жүктеу/скачать 2,62 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: