Чтобы обосновать возможность расчета четырехсекундного нагрева в приближении адиабатичности поверхности токоведущей системы, решим ряд вспомогательных задач, показывающих, что за время порядка единиц секунд поток тепла, уходящий с поверхности металлического проводника за счет теплопередачи в слой изоляции, а также излучения и конвекции практически не изменяет его температуру. Рассмотрим следующую задачу. Цилиндрический медный проводник, находящийся в открытом воздушном пространстве (рис. 3.1) равномерно нагрет до температуры . Оценим, насколько изменится его температура в течение 4с за счет теплового потока с его боковой поверхности, вызванного двумя факторами: излучением и конвекцией. Размеры проводника выберем характерными для элементов токоведущей системы коммутационного аппарата: h=100мм, R=15мм. Толщину проводника будем варьировать в пределах от d=0.1мм до d=R. Рис. 3.1. Геометрическая модель.
Предполагаем, что тепло уходит только с боковой поверхности, а теплообменом между внутренней поверхностью и торцами цилиндра с воздухом можно пренебречь. Тогда тепловой поток определяется как
, (3.1)
где - средний коэффициент конвекции, - площадь боковой поверхности, - температура цилиндра, - температура окружающей среды. Для вертикально расположенного цилиндра, высота которого больше радиуса, коэффициент конвекции описывается следующим выражением [17]
(3.2) где и - числа Грасгофа и Прандтля соответственно, K - безразмерная корректирующая функция, С - константа, L - высота цилиндра, D - диаметр цилиндра, - коэффициент теплопроводности жидкости:
(3.3)
где g - ускорение свободного падения, - температурный коэффициент объемного расширения газа, - плотность жидкости, - динамическая вязкость жидкости,
(3.4)
Для оценки количества тепла, отводимого за счет излучения, будем использовать закон Стефана-Больцмана. Поток тепла определяется по формуле
(3.5)
где - коэффициент серости, - постоянная Стефана-Больцмана, - температура тела, - температура окружающей среды. Коэффициент серости различных элементов конструкции коммутационного аппарата лежит в диапазоне от 0.2 (алюминий) до 0.95 (окрашенная поверхность). Нас будет интересовать максимально возможное изменение температуры, поэтому положим =0.95. При перегреве тела относительно окружающей среды на величину
, где - начальная температура, - температура окружающей среды, запасенное телом количество тепла определяется по формуле
(3.6)
где - удельная теплоемкость, - масса тела. Тогда изменение температуры цилиндра за секунд при учете конвекции и излучения составит
(3.7)
Изменение температуры будет зависеть от соотношения массы проводника и площади его поверхности или в нашем случае от отношения толщины стенки цилиндра к его радиусу
