Әдістемелік жинақ
жүктеу/скачать 2,2 Mb.
|
| 1.3.3. Жуық шешімнің жинақтылығы және оның қателігін бағалау
Егер шекаралық тораптары шекарада жатса немесе (28) шекаралық шарты Коллатц әдісі арқылы жуықтатылса, онда (30)-(31) айырымдық есебінің жалпы жуықтау дәлдігі шамасында, ал басқа жағдайларда болады. Сонымен қатар (30)-(31) орнықты схема. Демек, Лакс теоремасы бойынша шегі орындалады, яғни әрбір нүктесінде жуық шешім дәл шешімге жинақталады. Енді осы жинақтылықтың жинақталу жылдамдығын бағалайық. Алдымен (30)-(31) схемасын мына түрде жазайық: (43) (44) (45) (46) Мұндағы жуықтау қателігі: Содан кейін (43)-(44) теңдіктеріне сәйкес (45)-(46) теңдіктерін шегереміз, сонда немесе
(47) (48) Демек, қателігі (47)-(48) айырымдық есебінің шешімі. Осы шешімін қосынды түрінде қарастырайық. Мұндағы және торлық функцияларын 60 (49)-(50) және
(51)-(52) айырымдық есептерінің шешімдері деп аламыз. Бірінші пункте дәлелденген 1 және 2 теоремаларына сәйкес (51)-(52) есебінің шешімі өзінің ең үлкен мәніне шекарада ие болады, яғни Ары қарай екінші пунктте баяндалған жолмен 3 теореманы пайдаланып, (49)-(50)есебінің шешімін былайша бағалаймыз: Демек,
(53) Ал егер (29) шекаралық шарты Коллатц әдісі арқылы жуықтатылса, онда (54) бағалауы орындалады. Мұндағы Жоғарыда алынған (53) және (54) бағалаулары есептеу тәжірибесінде сирек қолданылады, өйткені олар шешімінің туындыларын білуді қажет етеді. Ал ол болса қосымша қиыншылықтар туғызады. Торлар әдісін қолдану арқылы анықталған жуық шешім қателігінің реті –ге тең болсын, яғни Мұндағы –қа тәуелсіз тұрақты сан. Сондай-ақ және айырымды шекаралық есептің тор қадамдары және болған кезде анықталған жуық шешімдері деп қарастырайық. Онда
деп жазуға болады. Жоруымызға сәйкес Олай болса Бұдан
61 Егер шекаралық шартты Коллатц әдісімен жуықтатсақ, онда болады. Бұл жағдайда жуық шешімінің қателігі жуық теңдігімен бағаланады. Осы баяндалған әдісті, әдетте Рунге ережесі деп атайды. 1.4. Пуассон теңдеуіне қойылатын Дирхле есебін тіктөртбұрышта шешу Эллипстік теңдеулерге қойылған шекаралық жүйелерді әр түрлі әдістермен шешуге болады. Егер шекарасы құрақты тегіс қисықтардан тұратын болса, онда алгебралық жүйенің матрица құрамында қандайда бір заңдылықтың бары байқалмайды. Алайда, тіктөртбұрыш немесе квадрат болғанда, матрицаның элементтері белгілі бір тәртіппен орналасады. Мәселен, ол көбінесе үшдиагоналды клеткалы матрица болып келеді. Мұндай жағдайда алгебралық жүйені шешу үшін белгілі қуалау әдісін қолдану қолайлы болатыны белгілі жай. Сондай-ақ бұл жерде итерациялық әдістерді де пайдалану едәуір жеңілдейді. Айталық, тіктөртбұрышында төмендегі Пуассон теңдеуіне қойылған Дирихле есебі берілсін (55) (56) Сондай-ақ (55)-(56) Дирихле есебінің шешімі және үзіліссіз дифференциалданатын дербес туындылары бар функция болсын. Осы Дирихле есебін торлар әдісімен шешу мәселесіне тоқталып өтейік. тіктөртбұрышында айырымдық торын енгіземіз. Сонда облысы тор облысымен алмастырылады. Мұндағы , -ішкі тораптар, ал --шекаралық тораптар жиыны. Содан кейін облысының әрбір торабында (55) Пуассон теңдеуін мынадай айырымдық теңдеумен жуықтатамыз: (57) 62
(58) яғни . Демек (56) шекаралық шарттары дәл жуықталады. Ендеше (57)-(58)айырымдық Дирихле есебінің жалпы жуықтау дәлдігі шамасында бағаланады. Ал мұндай дәлдікке (57)-(58)есебі және үзіліссіз дифференциалданатын туындылары бар шешімдер жиынында ие болады. Сонымен бірге (57)-(58)-орнықты схема. Осы айырымдық схеманың шешімін анықтау жолдарын қарастырайық. Алдымен (57)-(58) есебін мынадай түрде жазайық (59) (60) Мұндағы және операторлары және мағынадағы және осьтері бойынша алынған айырымдық операторлар. Олар біріншіден, әрбір бекітілген нүктесінде және дербес туындыларына жуықталады. Сондықтан және операторларының негізгі қасиеттері және айырымдық операторлары үшін де сақталады. Мәселен, және –теріс анықталған және өзіне түйіндес операторлар. Ендеше және –те теріс анықталған және өзіне түйіндес операторлар. Екіншіден, егер және айырымдық операторларын (57)-(58) есебіне байланыстырмай, өз алдына дербес түрде қарастыратын болсақ, онда шекті өлшемді Евклид кеңістігінде оларға және
сияқты симметриялы квадрат матрицалар сәйкес келеді. Соңғы матрицалар теріс анықталған матрицалар және олардың меншікті сандары түрінде анықталады. Сол себепті де (59)-(60) –сызықтық алгебралық жүйе. Әдетте мұндай жүйелерді шешу үшін дәл немесе итерациялық әдістер қолданылады (59)-(60) айырымдық есебін алгебралық жүйеге келтірмей-ақ, оған тікелей қолдануға болатын және алгоритмдері есептеуге жеңіл үш түрлі итерациялық әдіске қысқаша тоқталамыз. Алдымен (59) теңдеуінің екі жағын да (-1)-ге көбейтеміз, Сонда
- (61) яғни
Мұндағы және –оң анықталған операторлар және Сондай-ақ Мұндағы –оң анықталған симметриялы оператор және . Итерациялық әдістердің жинақтылығын зерттеуді жеңілдету мақсатымен және деп есептейміз.
64
(62) (63) Содан кейін қандай да бір (мәселен, ) бастапқы жуықтауын таңдап алып, келесі итерациялық әдісті құрамыз (64) Бұл әдіс сандық әдістер теориясында жай итерациялық деп аталады. Оның есептеу алгоритмі оңай жүзеге асырылады, тек әрбір итерациялық қадамында шекаралық шарты ескертілуі тиіс. Енді (64)әдісінің жинақтылығын зерттейміз. Олүшін (64) өрнегін мынадай түрге келтіреміз:
яғни
Соңғы әдіс –белгілі жай итерациялық әдіс болып табылады. Жалпы теория бойынша ол жинақты болуы үшін оң анықталған оператор және болуы тиіс. Қарастырылып отырған жағдайда аталған талаптар орындалады, өйткені жоғарыда айтылғандай және –оң анықталған операторлар, демек, -та оң анықталған оператор. Сондай-ақ Олай болса ,яғни . Сонымен қатар (65) –тиімді итерациялық әдіс, себебі параметрінің тиімді мәні
Ендеше (65) –жинақты итерациялық әдіс. Ал ол жинақталатын болас, онда оның шегі (57)-(58) айырымдық есебінің шешімін беретіні анық. Айталық, (55)-(56) Дирихле есебінің жуық шешімін дәлдікпен анықтау керек болсын. Онда дәлдігі сол –ге тең жуық шешімді табу үшін (64) әдісінде итерация жасау керек екендігі белгілі. Мұндағы ал . Қарастырылып отырған жағдайда , . Ендеше яғни берілген дәлдікпен жуық шешімді табу үшін шамасындай итерация жасалуы тиіс. 65
жүктеу/скачать 2,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|