-ДӘРІС. Гиперболалық теңдеулер

1. 
   Бір өлшемді тасымалданудың теңдеуіне аралас Коши есебі.
   
2. 
   Есептің дұрыс қойылуы үшін характеристиканың маңызы.
   
3. 
   Айқындалдалмаған айырымдық схемалар.
   
4. 
   Олардың аппроксимациясы мен орнықтылығын зерттеу.
   
5. 
   Компьютерде сандық шешімін табу алгоритмі.
   
6. 
   Бір өлшемді толқын теңдеуі үшін аралас Коши есебіне сәйкес келетін айырымдық схемалар.
   
7. 
   Аппроксимациясы және орнықтылығы.
   
8. 
   Сандық шешімін табу алгоритмі.
   

1. 
   Шекаралық есептер
   

Шекаралық есептерді шешу Коши есептеріне қарағанда әлдеқайда күрделі мәселе. Себебі соңғы есептедің шешімдері сандық әдістер арқылы рекурентті формулалармен анықталатын болса, ал шекаралық есептерге қолданылатын сандық әдістер алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге алып келеді. Сонымен қатар есеп өлшемінің, яғни айнымалылар санының өсуі қосымша қиындықтар туғызады.

Мұнда біз негізінен 2-ретті дифференциалдық теңдеулерге қойылатын шекаралық есептерді қарастырамыз. Оларды сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне келтіру және оны шешу жолдарын зерттейміз.

Алдымен эллипстік теңдеулерге қандай шекаралық есептер қоюға болатынын анықтап алайық. Жоғарыда айтылғандай біздің негізгі қарастыратынымыз

түріндегі дифференциалдық теңдеулерге қойылатын есептер.Мұндағы a,b,c,d,e және f жалпы жағдайда x және y тәуелсіз айнымалыларының функциялары. Сондай-ақ олар шекарасы Г болған G(x,y) облысында анықталған және үзіліссіз функциялар деп есептеледі. (5) теңдеуі

эллипстік түрдегі теңдеу болуы үшін G=G+Г-да a>0 және b>0 шарттарының орындалуын талап етеміз.Сондай-ақ G-да l0 деп қабылдаймыз.

48

Дифференциалдық теңдеулер теориясында шекаралық шарттарға байланысты (5)-теңдеуіне үш түрлі есеп қойылады.

Алдағы зерттеулерде шектелген облыс, ал оның шекарасы құрақты тегіс қисықтардан тұрады деп есептейміз.

Мұнда қойылған есептерді шешудің екі түрі келтіріледі:торлық және вариациялық әдістер. Осы әдістердің құру жолдарын, олардың қасиеттері мен айырымдық теңдеулерді шешу тәсілдерін зерттейік. Аталған әдістердің алгоритмдерін жете түсіну және меңгеру мақсатымен, көбінесе Пуассон теңдеуіне қойылған Дирихле есебін қарастырамыз.
1.2 Торлар әдісі
Айталық

(6)

теңдеуінің облысында анықталған және оның шекарасында

Алдағы зерттеулерді жеңілдету үшін және - тұрақты сандар деп есептейміз.

Торлар әдісін қолдануды облысында

айырымдық тор енгізуден бастаймыз. Мұндағы және шамалары және осьтері бойынша алынған тор қадамдары.

1-сурет.

2-сурет.
Содан кейін облысында –торлық функцияларын енгіземіз. Ары қарай облысының ішкі тораптарында 2-суретте көрсетілген үлгіге сәйкес, (6) теңдеудегі туындыларды келесі айырымдық операторлармен жуықтаймыз

Мұндағы:

50

жуықтау қаталіктері. Содан кейін (6) теңдеуіне жоғарыдағы туындылардың мәндерін қоямыз:

деп белгіленген. Берілген (6) теңдеуінің шешімі облысында анықталған және үзіліссіз дифференциалданатын және туындылары бар функция деп жориық та, келесі белгілеулерді енгізейік:

Сонда (7) теңдеуінің жуықтау қателігі былайша бағаланады:

Енді және торлық функцияларының нормаларын келесі түрде алайық:

Олай болса

яғни айырымдық операторы дифференциалдық операторын дәлдікпен жуықтайды.

(8) тұжырымына сәйкес (9) айырымдық теңдеуінің жуықтау дәлдігі .

Сандық әдістер теориясында (9) теңдеуінің шешімі дәл шешімінің торабындағы жуық мәні деп қабылданады.
1.2.2. Шекаралық шарттарды жуықтау

Егер тіктөртбұрыш немесе квадрат болса, онда айырымдық

Егер шекаралық тораптар түгелімен -да жататын болса , онда бұл мәселе оңай шешіледі. Мәселен, бұл жағдайда

болатыны анық. Ал керісінше, яғни болса, онда мәнін жуық шамамен анықтауға тура келеді. Бұл мәселе сандық әдістер теориясында әр түрлі жолдармен шешіледі. Біз солардың ішіндегі есептеу алгоритмдері жеңілдеу болатын екі түрін ғана қарастырамыз.

1. 
   Көшіру әдісі. Бұл әдіс бойынша шекаралық нүктеде
   

деп қабылданады. Мұндағы нүктесі –ге ең жақын нүкте (1-сурет). Мұндай әдіс әдетте жай көшіру әдісі деп аталады. Ал оның жуықтау дәлдігі шамамен немесе . Мұны дәлелдеу үшін мына формуланы (3-сурет) пайдаланамыз:

52

3-сурет.

Егер

бағалауы орындалады.

2. 
   2-ретті жуықтау. Мұнда мәні немесе осьтері бойынша 2-ретті жуықтау арқылы анықталады. Мәселен, шекаралық нүкте горизонталь сызығының бойында жататын болса (3-сурет) , онда
   

53

.

Егер қадамы мейлінше аз шама, ал жеткілікті дәрежеде үзіліссіз дифференциалданатын функция деп есептеп, соңғы өрнектен шамасын алып тастасақ, онда (12) формуласы келіп шығады:

Бұл әдісті, әдетте, Коллатц әдісі деп атайды. Енді

шекаралық шартын жуықтату мәселесін қарастырайық.

Жоруымыз сәйкес және -шекаралық торапқа ең жақын нүктелер. Олай болса және нүктелерінің ара қашықтығы шамамен немесе. Бұл жағдайда нүктесіндегі нормалының бағыты шекаралық торабында да сақталады, яғни

Мұндағы жуық теңдіктің қателігі немесе шамаларымен бағаланады.

4-сурет.
Енді (17) теңдігін пайдаланып, (12) шекаралық шартын торабында төмендегі формула арқылы жуықтаймыз:

54

және қадамдарын мейлінше аз, шамалар деп есептеп соңғы өрнектен мынадай айырымдық теңдік аламыз:

Айырымды шекаралық есептерді басқа да жолдармен, мәселен, анықталмаған коэффициенттер әдісімен де алуға болады. Сондай-ақ облысына байланысты тіктөртбұрышты тор орнына басқаша торлар алынуы мүмкін. Сонымен жуықтатулар нәтижесінде шекаралық есептер сызықтық алгебралық жүйелермен алмастырылады. Егер осы жүйелердің шешімдері бар болса, онда олар берілен шекаралық есептердің жуық шешімдері болып қабылдананады.

1. 
   Жуықтаулар нәтижесінде алынған айырымдық есептердің шешімдері бар ма?
   
2. 
   Бар болса, олар қалай анықталады?
   
3. 
   Жуық шешімдердің орнықтылығы туралы не айта аламыз?
   
4. 
   Жуық шешімдер берілген шекаралық есептердің дәл шешімдеріне қаншалықты жақын болады Дәлірек айтқанда, айырымдық тордың қадамдары жағдайдажуық шешімі, дәл шешімге жинақтала ма, яғни әрбір торабында
   

шегі орындала ма?

Есептеу әдістерәнің алгоритмдері ықшамды болуы үшін екінші мәселені талқылағанда –ны тіктөртбұрыш немесе квадрат деп аламыз.

3. 
   Айырымдық есептер шешімдерінің бар болуы.
   

Алдымен Дирихле есебін жуықтайтын айырымдық есепті қарастырайық:

55

(20)

Бұл жерде параметрлерінде өзгеру шекаралары анықталмаған. Олар облысына және сонда енгізілген айырымдық торға байланысты өзгереді. Пуассон теңдеуін қарастырғанымызда, бұл мәселе өзінің нақты шешімін табады.

(19)-(20) айырымдық есебін басқаша түрде жазайық:

Мұнда

белгілеулері енгізілген.

Шекаралық есептің бастапқы берілген кезінде деп ұйғарылған болатын. Ендеше, және қадамдары мейлінше аз шамалар болғанда, (23) өрнегінен

(24)

теңсіздіктерінің келіп шығатыны анық. Алдағы зерттеулерде (24) шарттары орындалады деп есептейміз де, келесі теореманы дәлелдейміз.

өрнегінде барлық және шамаларын санымен алмастырайық. Сонда теореманың шартына сәйкес

теңсіздігін аламыз. Алайда,. Ендеше (25) теңсіздігінен деген тұжырымға келеміз. Ал шекаралық есептің шарты бойынша . Бүл қарама-қайшылық жоғарыдағы ұйғарымның дүрыс еместігін көрсетеді. Теорема дәлелденді.

56

Бұл екі теоремадан мынадай маңызды қорытынды шығарамыз: (19)-(20) айырымды шекаралық есебінің шешімі өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне тек қана шекаралық тораптарда ғана ие бола алады.

Дәл осыған ұқсас жолдармен Нейман және Ньютон есептерін жуықтайтын айырымдық схемалардың да бір ғана шешімдері бар болатындығы дәлелденеді.