Әдістемелік жинақ

есебі берілсін. Бұл есептің шешімін келесі түрде іздейміз:

Мұндағы z(x) функциясы - шекаралық шарттары біртекті болатын біртекті емес теңдеудің шешімі:

Ал z₁(x) функциясы – шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті теңдеудің шешімі:

Ал z₂(x) функциясы – шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті теңдеудің шешімі болады:

(7.50)-(7.52)- есептерді шешіп, (7.49)-формула мен (7.48)-шекаралық шарттарды қолданып с₁ және с₂ коэффициенттерін анықтайтын жүйені құруға болады.

(7.53)-жүйені шығару арқылы у(х) белгісізін тауып, оны (7.47)-(7.48)-есепке қою арқылы шектік есепті шешеміз.

Шешуі:

2.Біртексіз шекаралық шартты біртекті теңдеу құрамыз:

42

3.Біртексіз шекаралық шартты біртекті теңдеу құрамыз:

4. (7.55)-(7.57)-есептерді 1-ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебіне келтіреміз:

T(x)=z(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда

(7.58)

T₁(x)=z₁(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда

T₂(x)=z₂(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда

есептері құрылады. Бұл есептердегі Т(х), T₁(x), T₂(x) функциялары (7.55-(7.57)-есептердің шешіимдері болады, ал функциялары осы шешімдердің туындылары болады.

5. Т(х), T₁(x), T₂(x) функциялары табылған соң (7.53)-формула бойынша с коэффициенттерін табуға арналған жүйе құрамыз:

екенін ескерсек, болады.

43

Галеркин әдісі.

Вариациялық, ақырлы-айырымдық әдістерді қолдану барысында шектік есептің шешімі кесте лық мәндер түрінде алынады. Ал Галеркин әдісі аналитикалық әдіске жатады.

y ^// +p(x) y ^/ + q(x) y = f(x) (7.61)

мұндағы p(x), q(x), f(x) – функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз функциялар, ал ₀,₁,₀,₁, A,B –берілген тұрақтылар және ₀+₁0, ₀₁0 шектік есебі берілсін.

Белгілеу енгізейік:

L[y]=y ^// +p(x) y ^/ + q(x) y (7.63)

[a,b] аралығында базистік функциялар жүйесі берілсін

және олар келесі шарттарды қанағаттандырсын:

1. 
   (7.65)-жүйе ортогональды болсын, яғни
   

2. 
   (7.65)-жүйе толық жүйе болсын, яғни барлық функцияларына ортогональ нөлден өзгеше басқа бір де бір функция жоқ болсын.
   
3. 
   ақырлы базистік функциялар жүйесі төмендегі біртексіз (7.67)-шарттарды қанағаттандыратындай болып, ал функциялары төмендегі біртекті (7.68)-шарттарды қанағаттандыратындай болып таңдалынып алынуы керек:
   

(7.61)-(7.62)-шектік есептің шешімін

түрінде іздейміз. (7.67), (7.68)-шарттардан бұл функцияның (7.62)-шартты қанағаттандыратыны көрінеді.

Байныспаушылық (невязка) өрнегін қарастырамыз:

(7.70)

с_i коэффициенттерін байналыспаушылықтың квадратының интегралының мәні

өте аз шама болатындай етіп таңдап алу керек. Бұл тек қана байланыспаушылық базистік функциялардың барлығына ортогональды болса ғана орындалатыны дәлелденген ([2], [13], [18] қараңыз).

44

Ортогональдылық шарты:

немесе

(7.72)-ден сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз, оны с_i-ға қатысты шешу керек болады. Мұндай жүйені шешудің сандық әдістерін жоғарыда келтіргенбіз.

Галеркин әдісін қолданып

у(0)=у(1)=0 (7.74)

шектік есептің шешімін табу.

U_i базистік функциялар жүйесін таңдап аламыз:

Бұл функциялар сызықты тәуелсіз және нөлдік шекаралық шарттарды қанағаттандырады. Жуық шешімін мына түрде іздейміз:

Бұл теңдеуді (7.73)-теңдеудің сол жағына қою арқылы байланыспаушылықты аламыз:

R функциясының u₁(x) және u₂(x) функцияларына ортогональдылығын ескерсек:

Бұл жүйеге (7.77) – шешімді қойсақ және интегралды есептесек, келесі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл жүйені шешсек . Бұл мәндерді (7.76)-ға қойсақ:

Бұл есептің дәл шешімі . Берілген аралықты 0,25 қадаммен бірнеше бөлікке бөліп әр нүктедегі функция мәндерін алып салыстырсақ, төмендегі 22-кестеден қателігінің қаншалықты екенін анықтауға болады.

22-кесте. (7.73-7.74)-есептің мәндер кестесi.

xi	0.25	0.50	0.75
yi	0.044	0.069	0.060
Y	0.044	0.070	0.050

45

Егер (7.61)-теңдеудің коэффициенттерін есептеу қиынға соғатын болса бұл әдістен гөрі ақырлы-айырымдық немесе қуалау әдістерінің бірін қолдануға болады.