Әдістемелік жинақ
-ДӘРІС. Эллиптикалық теңдеу
жүктеу/скачать 2,2 Mb.
|
| 13-ДӘРІС. Эллиптикалық теңдеу.
Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебіне сәйкес келетін айырымдық есеп, оған максимум принципі. Ыдырату әдісінің негізінде қуалау әдісін пайдаланып итерацияны жүзеге асыру алгоритмі Пуассон теңдеуі қойылған Дирихле есебі. Пуассон теңдеуі-эллипстік теңдеулердің ішіндегі жан-жақты зерттелген теңдеулерінің бірі. Оған үш түрлі шекаралық есептер қоюға болады. Солардың негізгісі-Дирихле есебі болып табылады. Дирихле есебін жуықтату Дифференциалдық теңдеулер теориясында мынадай теңдеу (28) Пуассон теңдеуі деп аталады. Дирихле есебі бойынша (28)теңдеуінің (-ішкі облыс,-шекаралық облыс) облысында әрі анықталған, әрі үзіліссіз, ал Г-да (29) берілген мәнін қабылдайтын шешімі ізделеді.Мұндай есеп математикалық физика теңдеулер теориясында кеңінен зерттелген. Оның әр түрлі координаттар жүйесіндегі шешімдері және олардың есептеу формулалары да анықталған. Алайда бұл формулалар есептеуге өте қолайсыз. Сондықтан да Дирихле есебін шешу үшін көбінесе есептеу алгоритмдері жеңіл болатын торлар әдісі қолданылады. (28)-(29) есебін мына айырымдық есебімен жуықтатамыз 57
(30) (31) (30)- айырымдық теңдеуінің жуықтау дәлдігі төмендегі бағалаудан анықталады , Ал (31) айырымды шекаралық шарттың жуықтау дәлдігі оны қандай әдіспен жуықтатуына байланысты болады. Мәселен, көшіру әдісі қолданылса,онда Ал енді шекаралық шартты Коллатц әдісін қолданып жуықтатсақ, онда болатыны белгілі. Айырымдық Дирихле есебінің орнықтылығы Мүнда (30)-(31) айырымдық есебінің орнықты схема болатынын көрсетеміз. Ол үшін мына теореманы дәлелдейік. 3-Теорема. Егер облысында анықталған қандай да бір және екі торлық функциялары үшін ішкі тораптарда
ал шекаралық тораптарда ()-да (33) теңсіздіктері орындалса, онда –да (34) бағалауы орындалады. Дәлелдеуі. Теореманың шартында берілген (32)-(33) теңсіздіктерін біріктіріп мына түрде жазуға болады . (-да), (-да). Демек, 2-теоремаға сәйкес функциялары –да теріс минимум мәндеріне ие бола алмайды.Алайда,-да: және .Ендеше -да және , яғни -да және .Демек, . Теорема дәлелденді. Енді (30)-(31) айырымдық есебінің шешімін (35) 58 түрінде іздейміз. Мұндағы және функцияларын төмендегі шекаралық есептердің шешімдері ретінде аламыз (36)-(37) және
(38)-(39) Дәлелденген 2 және 3 теоремалары кез-келген және функциялары үшін орындалады. Сондықтан да (6.2.9)-(6.2.10) есебінің шешімі ең үлкен мәнге тек –да ие болады, яғни (40) Демек,
(41) Енді функциясының нормасын бағалаймыз. Ол үшін 3-теоремадағыдай –ды жоғарыдан шектейтін функцияны құрамыз. Айталық, тіктөртбұрышы облысын қамтитын ең кіші тіктөртбұрыш болсын (1-сурет). Осы –да функциясын енгіземіз, мұндағы . Енді мына теңдеуді зерттейік: Бұл-ортасы , ал радиусы болатын шеңбердің теңдеуі. Егер болса, онда .Сонымен қатар болғанда ғана болады. Алайда, нүктесі облысында жатпайды. Сондықтан , яғни оң мәнді функция. Біз болатынын көрсетеміз. Жоғарыда енгізілген функциясы үшін теңдігі орындалады. Себебі . Демек, Ал –да (40) шартына сәйкес Сонымен және торлық функциялары үшін -да, -да Ендеше 3-теоремасы бойынша 59
Бұл жәрде нормаға өтсек, онда (42) бағалауын аламыз. Енді (41) және (42) бағалауларын пайдаланып, (36)теңдігін бағалаймыз Демек, (30)-(31) айырымдық Дирихле есебі орнықты схема. жүктеу/скачать 2,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|