Математикалық маятник қозғалысы

сурет). Ілінген жіптің ұзын болуы арқасында денені материялық нүкте деп, ал тепе-теңдік 
күйден ауытқу қашықтығы 
х
жіп ұзындығы 
l
-ден анағұрлым кіші болғандықтан, ауытқу 
бұрышы 

-ны кішкентай деп санауға болады. Олай болса, кішкентай бұрыштар үшін 
tgα
α; sinα α


қатыстарын қолдану мүмкіншілігі бар. Маятник шеңбер доғасы 
бойымен қозғалатыны айқын. Маятник денесінің траекториядағы кез келген жағдайын 
таңдап алайық. Дененің лездік орнында трaекторияға жүргізілген жанама бойымен 
х
осі 
бағытталсын (14.1.3-сурет). Ал координаталар жүйесінің бастама нүктесін дененің тепе-
теңдік жағдайымен біріктірейік. Міне, осындай шарттарға сәйкес маятникке әрекет еткен 
күштер проекцияларының алгебралық қосындысын есептесек,
sinα
x
F
mg
=
, мұнда
sin

 
= - x
/
l
болғандықтан, 
𝐹
𝑥
= − 𝑚𝑔
𝑥
𝑙
= −𝑘𝑥.
(14.1.3) 
Соңғы өрнектегі 
mg l
– тұрақты шама. Бұл формуланы (14.1.1) және (14.1.2) 
формулалармен салыстырсақ, тербелістегі жүйелердің ішкі күштерінің қозғалыс 
бағытымен біріккен оське проекцияларының қосындысы тепе-теңдік орыннан теріс 
таңбамен алынған 
х
ауытқу қашықтығына пропорционал екенін байқаймыз.
Сонымен, қарастырылған үш мысалда да дененің қозғалысы квазисерпімді күш әрекетінен 
жүреді. Осы қозғалысты зерттеу үшін Ньютонның екінші заңын қолданайық: 
2
2
.
x
d x
F
m
dt
=
Алдындағы (14.1.3)-өрнектен 
x
F
-тің мәнін қойсақ, 
2
2
0.
d x
m
kx
dt
+
=
Ары қарай түрлендіріп,
2
2
0,
d x
k
x
dt
m
+
=
2
0
k
ω
m
=
, (14.1.4) 
белгі енгізейік: 
2
2
0
2
0.
d x
ω x
dt
+
=
(14.1.5) 
Алынған теңдеу 
гармоникалық тербелістер теңдеуі
деп, ал осындай кішкентай тербелістер 
тудыратын жүйені 
сызықтық,
немесе 
гармоникалық, осциллятор
деп атайды. Жоғарыда 
қарастырылған жүйелер осындай гармоникалық осцилляторға мысал болады. 
Нүктенің қозғалысын зерттеу үшін (14.1.5) теңдеуді қанағаттандыратын уақытқа 
тәуелді 
( )
x t
функциясын іздеу керек екені белгілі. Ол үшін гармоникалық тербелістердің 
геометриялық моделін қарастырайық (14.1.4 -сурет). Материялық 
В
нүкте шеңбер
14.1.3 - 
сурет
x

m

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: