Ќазаќстан Республикасы білім жєне ѓылым министрлігі
Салдар (бірінің ішінде бірі орналасқан кесінділер принципі )
жүктеу/скачать 5,24 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Тізбектің ақырлы шегінің бар болуы туралы Коши критерийі. Теорема.
- Дәлелдеуі. Қажеттілік.
- Жеткіліктілік.
| Салдар (бірінің ішінде бірі орналасқан кесінділер принципі ).
кесінділер жүйесі берілсін, және п артқан сайын кесінді ұзындығы 0– ге ұмтылатын болсын. ( яғни ) . Сонда бұл жүйенің барлық кесінділеріне тиісті болатын бр және тек бір ғана с нүктесі табылады. Дәлелдеуі: бірінің ішінде бірі орналасқан және ұзындықтары 0- ге ұмтылатын кесінділер жүйесі болғандықтан, олардың сол жақ ұштары құратын тізбек кемімейтін тізбек болады да, ал оң жақ ұштары құратын тізбек өспейтін тізбек болады. Бұлардың екуі де шенделген тізбектер (өйткені оларды кесіндісі қамтиды). 3- теорема бойынша бұл тізбектердің әрқайсысының бір ғана шегі болады. Ал болғандықтан, Бұл шекті с арқылы белгілейік. болғандықтан ( 1- теорема) , барлық үшін теңсіздігі орындалады. Мұнымен бірге болғандықтан (2- теорема) , барлық үшін теңсіздігі орындалады. Демек, барлық үшін , . Тізбектің ақырлы шегінің бар болуы туралы Коши критерийі. Теорема. тізбегі берілсін. Осы тізбектің ұмтылғанда ақырлы шегі бар болуы үшін санына тізбектің , қанағаттандыратын нөмірлері үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажеттілік. жинақталатын тізбек және болсын. Жинақталатын тізбектің анықтамасы бойынша кез – келген санын сәйкес натурал саны табылып, барлық үшін теңсіздігі және осыған ұқсас түрде үшін теңсіздігі орындалады. Осы теңсіздіктерге сүйеніп және қосынды модулінің қасиетін пайдаланып барлық және үшін былай жазамыз: Яғни негізгі тізбек болады. Жеткіліктілік. тізбегі негізгі тізбек болсын. деп алып, оған сәйкес табайық. Сонда барлық , үшін теңсіздігі орындалады. дейік. Сонда . нөмірін бекітіп алып, айырым модулінің қасиетін пайдаланып, алдыңғы теңсіздікті былай жазамыз: . Сонда барлық үшін теңсіздігі орындалады, яғни шенделген тізбек балады. ( яғни тізбегінің барлық мүшесін қамтитын сан түзуінің кесіндісін табуға болады) . нөмірлі барлық мүшелерін қамтитын ең кіші кесіндіні арқылы белгілейік. Ол үшін , Деп алу жеткілікті, яғни жиынының дәл жоғарғы және дәл төменгі шенін мен деп алу керек. Енді , кесінділері бірінің шіне бірі орналасқандығын ескерейік, яғни Шынында да, кесіндісінің ұзындығы жағдайда 0-ге ұмтылатынын тексерейік. Негізгі тізбек анықтамасы бойынша кез – келген санына сәйкес саны табылып, барлық нөмірлері үшін немесе теңсіздігі орындалады. Осыған ұқсас түрде нөмірлі барлық мүшелерін қамтитын ұзындығын ең кіші кесіндісінің ұштары үшін де . Бұдан . кесінділеріт бірінің ішінде бірі орналасқандықтан, барлық үшін , яғни . Сонымен , бірінің ішіне бірі орналасқан кесіндіер принципі орындалатын болды.( 3-теореманың салдары). Олай болса барлық кесінділеріне ортақ бір ғана ɑ нүктесі табылады. Енді екендігін дәлелдейік. ɑ нүктесін қамтитын (c,d) интервалын қарастырайық. Сонда бұл маңайдың тізбегінің ақырсыз көп нүктелерін қамтитындығын тексеру жеткілікті . Бұны орындау қиын емес. Шынында да ( Жағдайда болатындықтан ), натурал саны табылып, екенін қашанда көрсетуге болады. Олай болса, барлық нөмірлері үшін орындалады, ендеше жүктеу/скачать 5,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|