Әдістемелік жинақ



бет22/40
Дата06.01.2022
өлшемі2,2 Mb.
#16295
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   40
Байланысты:
сандық әдіс әдістемелік кешен

(7.47)

(7.48)

есебі берілсін. Бұл есептің шешімін келесі түрде іздейміз:



(7.49)

Мұндағы z(x) функциясы - шекаралық шарттары біртекті болатын біртекті емес теңдеудің шешімі:



(7.50)

Ал z1(x) функциясы – шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті теңдеудің шешімі:



(7.51)

Ал z2(x) функциясы – шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті теңдеудің шешімі болады:



(7.52)

(7.50)-(7.52)- есептерді шешіп, (7.49)-формула мен (7.48)-шекаралық шарттарды қолданып с1 және с2 коэффициенттерін анықтайтын жүйені құруға болады.



(7.53)

(7.53)-жүйені шығару арқылы у(х) белгісізін тауып, оны (7.47)-(7.48)-есепке қою арқылы шектік есепті шешеміз.



Мысалы:

(7.54)

Шешуі:


1. Біртекті шекаралық шартты біртексіз теңдеу құрамыз:

(7.55)

2.Біртексіз шекаралық шартты біртекті теңдеу құрамыз:



(7.56)

42

3.Біртексіз шекаралық шартты біртекті теңдеу құрамыз:



(7.57)

4. (7.55)-(7.57)-есептерді 1-ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебіне келтіреміз:

T(x)=z(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда

(7.58)

T1(x)=z1(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда



(7.59)

T2(x)=z2(x), белгілеулерін енгізейік. Сонда



(7.60)

есептері құрылады. Бұл есептердегі Т(х), T1(x), T2(x) функциялары (7.55-(7.57)-есептердің шешіимдері болады, ал функциялары осы шешімдердің туындылары болады.

5. Т(х), T1(x), T2(x) функциялары табылған соң (7.53)-формула бойынша с коэффициенттерін табуға арналған жүйе құрамыз:

екенін ескерсек, болады.



екенін ескеріп, (7.53)-ке қойсақ: сонда болады. Келесі теңдеуіне қойсақ:



6. с2-ні табу үшін алдымен (7.58)-(7.60)-есептерді Эйлер әдісімен шешіп Т(хk), T1(xk ), T2(xk ), мәндер кесте сын құру керек. Сосын с2-ні тауып формуласына қою арқылы у(хk) шешімдерін тауып алуға болады.

43

Галеркин әдісі.

Вариациялық, ақырлы-айырымдық әдістерді қолдану барысында шектік есептің шешімі кесте лық мәндер түрінде алынады. Ал Галеркин әдісі аналитикалық әдіске жатады.

y // +p(x) y / + q(x) y = f(x) (7.61)



(7.62)

мұндағы p(x), q(x), f(x) – функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз функциялар, ал 0,1,0,1, A,B –берілген тұрақтылар және 0+10, 010 шектік есебі берілсін.

Белгілеу енгізейік:

L[y]=y // +p(x) y / + q(x) y (7.63)



(7.64)

[a,b] аралығында базистік функциялар жүйесі берілсін



(7.65)

және олар келесі шарттарды қанағаттандырсын:



  1. (7.65)-жүйе ортогональды болсын, яғни

(7.66)

  1. (7.65)-жүйе толық жүйе болсын, яғни барлық функцияларына ортогональ нөлден өзгеше басқа бір де бір функция жоқ болсын.

  2. ақырлы базистік функциялар жүйесі төмендегі біртексіз (7.67)-шарттарды қанағаттандыратындай болып, ал функциялары төмендегі біртекті (7.68)-шарттарды қанағаттандыратындай болып таңдалынып алынуы керек:

(7.67)

(7.68)

(7.61)-(7.62)-шектік есептің шешімін



(7.69)

түрінде іздейміз. (7.67), (7.68)-шарттардан бұл функцияның (7.62)-шартты қанағаттандыратыны көрінеді.

Байныспаушылық (невязка) өрнегін қарастырамыз:

(7.70)

сi коэффициенттерін байналыспаушылықтың квадратының интегралының мәні



(7.71)

өте аз шама болатындай етіп таңдап алу керек. Бұл тек қана байланыспаушылық базистік функциялардың барлығына ортогональды болса ғана орындалатыны дәлелденген ([2], [13], [18] қараңыз).

44

Ортогональдылық шарты:



немесе


(7.72)

(7.72)-ден сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз, оны сi-ға қатысты шешу керек болады. Мұндай жүйені шешудің сандық әдістерін жоғарыда келтіргенбіз.



Мысалы:

Галеркин әдісін қолданып



(7.73)

у(0)=у(1)=0 (7.74)

шектік есептің шешімін табу.

Ui базистік функциялар жүйесін таңдап аламыз:



Бұл функциялар сызықты тәуелсіз және нөлдік шекаралық шарттарды қанағаттандырады. Жуық шешімін мына түрде іздейміз:



(7.75)

Бұл теңдеуді (7.73)-теңдеудің сол жағына қою арқылы байланыспаушылықты аламыз:



. (7.76)

R функциясының u1(x) және u2(x) функцияларына ортогональдылығын ескерсек:



Бұл жүйеге (7.77) – шешімді қойсақ және интегралды есептесек, келесі сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз:



Бұл жүйені шешсек . Бұл мәндерді (7.76)-ға қойсақ:



.

Бұл есептің дәл шешімі . Берілген аралықты 0,25 қадаммен бірнеше бөлікке бөліп әр нүктедегі функция мәндерін алып салыстырсақ, төмендегі 22-кестеден қателігінің қаншалықты екенін анықтауға болады.

22-кесте. (7.73-7.74)-есептің мәндер кестесi.

xi

0.25

0.50

0.75

yi

0.044

0.069

0.060

Y

0.044

0.070

0.050

45

Егер (7.61)-теңдеудің коэффициенттерін есептеу қиынға соғатын болса бұл әдістен гөрі ақырлы-айырымдық немесе қуалау әдістерінің бірін қолдануға болады.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   40




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет