1. Экстремумның қажетті шарттары . Айталық берілсін. Егер нүктесінен маңайында жататын нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, онда функциясы нүктесінде өзінің жергілікті минимумын (максимумын) қабылдайтын болады. Мұндағы функцияның экстремум нүктесі деп аталады.
Теорема. Егер дифференциалданатын функцияның нүктесінде экстремумы бар болса, онда осы нүктеде теңдіктері орындалады.
2. Экстремумның жеткілікті шарты. Айталық функциясының екінші ретті туындлары бар болсын және нүктесі стационарлық нүкте болатын болсын, яғни онда: 1. функциясы нүктесінде максимумын қабылдайды, егер және
2. функциясы минимумын қабылдайды ,егер және
3. функциясы нүктесінде экстремумды қабылдамайды егер
Мысал: функциясын экстремумға зерттейік.
Шешуі:1. Экстремум болудың қажетті шарттарын пайдаланып стационар нүктелерін табамыз:
Енді екінші ретті дербес туындыларын анықтап жеткілікті шарттарын қолданып минимум болатынын анықтаймыз, яғни .[kgl]
