Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования



Pdf көрінісі
бет70/200
Дата18.10.2022
өлшемі4,6 Mb.
#43872
түріАнализ
1   ...   66   67   68   69   70   71   72   73   ...   200
Байланысты:
dissertatsiya-M.V.-Egupova

4
,
 
Е. Но из условия известно положение точки начала Р
1
и конца Е 
траектории, а также те борта, которых коснется шар. Этого достаточно, чтобы про-
вести процедуру «выпрямления траектории» Построив отрезок специальной прямой, 
а затем, совершив «обратные» построения, возможно восстановить вид ломаной (тра-
екторию движения шара) и найти точку прицеливания. 
Построение (рис. 16). 


157 
1. Построить прямоугольник АВСD с отношением сторон 1:2. 
2. Построить середины сторон АВ и СD – точки Е и F
3. Построить точку Р
1
, так, чтобы 
1
: Р
1
Е=1:3 
4. Построить квадрат ВЕF
/
D
/
, симметричный квадрату ВЕFD относительно сто-
роны ВЕ: продолжить сторону ВD за точку В и отложить отрезок ВD
/
, равный ВD
достроить квадрат. 
5. Построить квадрат ВЕ
/
F
//
D
/
, симметричный квадрату ВЕF
/
D
/
относительно 
стороны ВD
/
: продолжить сторону F
/
D
/
за точку D
/ 
и отложить отрезок F
//
D
/
, равный 
F
/
D
/
, достроить квадрат. 
6. Построить квадрат В
/
Е
//
F
//
D
/
, симметричный квадрату ВЕ
/
F
//
D
/
относительно 
стороны F
//
D
/
: продолжить сторону ВD
/
за точку D
/ 
и отложить отрезок В
/
D
/
, равный 
ВD
/

7. Соединить точки Р
1
и Е
//
.
Таким образом, получен отрезок Р
1
Е
//
, который является «выпрямлением» тра-
ектории движения шара. Отметим точки пересечения отрезка со сторонами постро-
енных квадратов: Р
2
,
 
Р
/
3
, Р
/
4
и проведем «обратные» построения.
8. Построить отрезок, симметричный отрезку Р
/
4
Е
//
относительно стороны F
//
D
/ 
квадрата В
/
Е
//
F
//
D
/
. При преобразовании симметрии образом точки Р
/
4
будет сама эта 
точка, т. к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е
//
будет точка Е
/
. Соединим 
точки Р
/
4 
и Е
/
, получим отрезок Р
/

Е
/

9. Аналогично построим образы от-
резков Р
/
3
Р
/
4
и Р
/
4
Е
/
путем выполнения пре-
образования симметрии относительно ВD
/

Получим соответственно отрезки Р
/
3
Р и РЕ
10. Таким же образом построим об-
разы отрезков РЕ, Р
/
3
Р и Р
2
Р
/
3
. Получим от-
резки Р
4
Е, Р
3
Р
4
, Р
2
Р
3

11. Построить отрезок, симметричный 
отрезку Р
/
4
Е
//
относительно стороны F
//
D
/ 
квадрата В
/
Е
//
F
//
D
/
. При преобразовании симметрии образом точки Р
/
4
будет сама эта 
Р

Р

Р 
В

Е

F
// 
F

D


С 
Р
/

Е
// 
Р
Р
/

Р



В 
Е 
Рис. 16 


158 
точка, т. к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е
//
будет точка Е
/
. Соединим 
точки Р
/
4 
и Е
/
, получим отрезок Р
/

Е
/
. 
12. Аналогично построим образы отрезков Р
/
3
Р
/
4
и Р
/
4
Е
/
путем преобразования 
симметрии относительно ВD
/
. Получим соответственно отрезки Р
/
3
Р и РЕ
13. Таким же способом построим образы отрезков РЕ, Р
/
3
Р и Р
2
Р
/
3
. Получим 
отрезки Р
4
Е, Р
3
Р
4
, Р
2
Р
3

Доказательство. 
Ломаная 
Р
1
Р
2
Р
3
Р
4
Е является траекторией движе-
ния бильярдного шара, т. к. по построе-
нию 

ЕР
2
Р
1
=

ВР
2
Р
3


ВР
3
Р
2
=


3
Р
4



4
Р
3
==

ЕР
4
F. Найдем положение 
Р
2
– точки прицеливания. Для этого вы-
числим, например, длину отрезка Р
2
В
Воспользуемся 
рисунком 
16, 
внеся в него нужные изменения. На нем 
оставим построенные нами ранее си-
стему квадратов и отрезок Р
1
Е
//
, удалим обозначения точек, которыми не будем поль-
зоваться. Дополнительно достроим еще один квадрат и проведем прямую Р
1
К парал-
лельно DF (рис. 17). Рассмотрим 

 Р
1
Е
//
К и 

 Р
2
Е
//
Е
/
. Легко видеть, что они подобны 
по двум углам: 

 Р
1
КЕ
//
=

 Р
2
Е
/
Е
//
=90
0


Е
//
– общий. Из подобия треугольников сле-
дует подобие сторон. Примем длину стороны квадрата за единицу, тогда Р
1
К=2
КЕ
//
=2
3
2
(учитывая, что по условию Р
1
F=
3
1
); Е
/
Е
//
=2. Найдем сторону Р
2
Е
/
. Запишем 
пропорцию: Р
1
К: Р
2
Е
/
= КЕ
//
: Е
/
Е
//
или 2:Х=2
3
2
:2. Отсюда Х=
2
3
, т. е. Р
2
Е
/
=
2
3
. Но Р
2
Е
/

Р
2
В+ВЕ
/
; учитывая, что ВЕ
/
=1, как сторона квадрата, получим: Р
2
В= Р
2
Е
/
- Р
2
Е
/
=
2
1
. 
Это означает, что игрок должен прицеливаться для удара по бильярдному шару 
в центр той части борта, которая расположена между лузами Е и В
В 
Е


С 
Е
// 
Р
Р



Е 
К 
Рис. 17 


159 
Мотивируя дальнейшее изучение теории математических бильярдов, учитель 
может предложить изменить первоначальные условия задачи (положение забивае-
мого шара), проверить предложенный метод решения в теории и на практике. Учи-
тель также может продемонстрировать другие задачи (о переливании жидкости, об 
освещении зеркальных комнат, об осциллографе и т. д.), для решения которых уча-
щимся необходимо продолжить изучение теории математических бильярдов. 
4. Формирование мировоззрения. 
Под мировоззрением, как пишет Б.В. Гнеденко, принято понимать систему 
идеалов, принципов, философских, научных, политических, нравственных и эстети-
ческих взглядов и убеждений человека, определяющих не только его отношение к 
миру, к самому себе, но и направление его деятельности. По определению, данному 
Б.В. Гнеденко, «мировоззрение представляет собой целый комплекс представлений 
о реальном мире, о его познаваемости, об отношении человека к труду, к другим лю-
дям, к своим обязанностям по отношению к обществу» [91, с. 24].
Опираясь на работы известных педагогов и психологов (Э.И. Моносзон, И.Ф. 
Тесленко, Б.В. Гнеденко), под мировоззрением школьников будем понимать сово-
купность мировоззренческих идей, объясняющих сущность и законы развития при-
роды, общества, мышления, оформленных в сознании школьников в виде взглядов, 
убеждений, предположений, гипотез, аксиом, ведущих идей и ключевых понятий той 
или иной науки и создающих основу объяснения различных природных и обществен-
ных процессов и явлений. 
Механизмы формирования мировоззрения у школьников средствами учебных 
предметов изучались многими учеными (В.В. Краевский, Н.А. Терешин, А.Л. Жо-
хов). В работах этих и других авторов убедительно показано, что школьная матема-
тика через свою прикладную составляющую может способствовать усвоению миро-
воззренческих идей о взаимосвязи явлений объективного мира, о его познаваемости. 
Один из подходов к решению этого вопроса рассмотрен в монографии А.Л. Жохова 
[152]. В этой работе показано, что для усвоения различных мировоззренческих идей, 
а значит и для развития мировоззрения, учащиеся должны обладать рядом умений. К 
мировоззренческим умениям, которые могут быть приобретены в процессе обучения 


160 
математике, автор относит те, которые «либо представляют обобщенные способы по-
знания и преобразования окружающего мира, в том числе и духовного мира чело-
века, либо активно способствуют формированию других механизмов обобщенной 
ориентировки человека в мире» [152, с. 34]. 
А.Л. Жоховым приведены конкретные мировоззренческие умения, которые 
могут быть сформированы в процессе обучения математике. Среди них выделим сле-
дующие: «для некоторого объекта познания строить математическую модель с ис-
пользованием известных знаний и средств»; «осуществлять «обратное» действие 
поиска различных прообразов построенной модели в знакомых областях знаний или 
сферах деятельности» [152]. Их формирование невозможно без использования в 
обучении математике ее практических приложений. Рассмотрим пример, иллюстри-
рующий умение осуществлять «обратное» действие поиска различных прообразов 
математической модели в различных областях знаний или сферах деятельности.
Доказать, что при сечении конуса плоскостью, параллельной основанию, по-
лучается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния 
от сечения до вершины.
Это утверждение (математическая модель) служит теоретическим объясне-
нием зависимости между силой освещения и расстоянием от источника света (ее про-
образ). Поясним это. Действительно, представим, что имеется некоторый точечный 
источник света (карманный фонарик). Световой поток от такого источника представ-
ляет собой конус. Направим его на некоторую поверхность, увидим световое пятно, 
которое можно считать основанием конуса. Будем удалять или приближать эту по-
верхность (например, кусок картона) к источнику света. Заметим, что при удалении 
поверхности на расстояние, вдвое большее от источника света, площадь светового 
пятна увеличится в четыре раза, а количество световой энергии, приходящееся на 
единицу площади, станет вчетверо меньшим. (Мы увидим, что пятно станет менее 
ярким. А из курса физики известно, что сила освещения обратно пропорциональна 
квадрату расстояния от источника света.) В современной астрономии эту закономер-
ность используют для определения расстояний до различных отдаленных объектов 

О 
О

рис.1 


161 
Вселенной. Таким образом, для построенной математической модели найден ее ре-
альный прообраз. 
Мировоззренческая функция задач на приложения обоснована тем, что идея об 
общности отражения материального мира в математике раскрывается в содержании 
понятия, при изучении его свойств. Так, в определение параллелепипеда включены 
свойства окружающих нас предметов, имеющих такую форму. Зная, что объем па-
раллелепипеда равен произведению трех его измерений, возможно, например, найти 
объем воздуха в учебном кабинете, объем железнодорожного вагона или других 
предметов, которые используются в домашнем обиходе независимо от их назначе-
ния, веса и т. д. Таким образом, если бы понятие «параллелепипед» не носило аб-
страктного характера, то для каждого предмета надо было бы иметь свою формулу 
для вычисления объема. 
Итак, в этой части исследования расширено и дополнено понятие задачи на 
приложения: Задача, связанная с практическими приложениями математики (за-
дача на приложения), – это задача, основанная на содержательной модели реаль-
ного объекта, математическая модель которого может быть построена сред-
ствами школьного курса математики. Выявлены различия между задачей на прило-
жения и сюжетной задачей, в фабуле которой использованы реальные объекты, со-
стоящие в степени достоверности описания этих объектов и отношений между ними.
В качестве уровней сложности задач на приложения, являющихся основным 
содержательным компонентом линии ППМ, принимаем уровни сложности выполне-


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   66   67   68   69   70   71   72   73   ...   200




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет