Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины
§ 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти 174
жүктеу/скачать 4,65 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти
174 Итак, если (b n ) — геометрическая прогрессия со знаменате- лем q, то q b b b b b b = = = = 2 1 3 2 4 3 ..., то есть для любого натурального n выполняется равенство b b n n q + = 1 . Отсюда получаем рекуррентную формулу b n + 1 = b n q. Следовательно, геометрическую прогрессию можно задать ре- куррентно: b 1 = b, b n + 1 = b n q Таким образом, чтобы задать геометрическую прогрессию, надо указать ее первый член и знаменатель. Приведем несколько примеров. Если b 1 = 1 и q = 3, то получим геометрическую прогрессию, при- веденную в начале пункта: 1, 3, 9, 27, 81, 243, ... . Если b 1 = 2 и q = 2, то получим геометрическую прогрессию — по- следовательность натуральных степеней числа 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... . Заметим, что геометрическая прогрессия со знаменателем, рав- ным 1, представляет собой последовательность, все члены которой равны. Так, последовательность 5, 5, 5, 5, ... является геометриче- ской прогрессией, у которой b 1 = 5, q = 1. Вместе с тем эту последова- тельность можно рассматривать как арифметическую прогрессию, у которой a 1 = 5, d = 0. Вообще, любая последовательность, все члены которой равны между собой и отличны от нуля, является одновременно и ариф- метической, и геометрической прогрессией. Последовательность 0, 0, 0, 0, ..., все члены которой равны нулю, является только арифметической прогрессией. Покажем, как можно задать геометрическую прогрессию с по- мощью формулы n-го члена. Из определения геометрической прогрессии следует: b b q 2 1 = æ ; b b q b q q b q 3 2 1 1 2 = = = æ æ ( ) ; b b q b q q b q 4 3 1 2 1 3 = = = æ æ ( ) ; b b q b q q b q 5 4 1 3 1 4 = = = æ æ ( ) . |