Ғылыми-практикалық конференциясының материалдары



Pdf көрінісі
бет206/333
Дата07.01.2022
өлшемі7,58 Mb.
#19629
1   ...   202   203   204   205   206   207   208   209   ...   333
Байланысты:
Сборник материалов конференции

         Анықтама 2   Егер а және  b сандары үшін  сондай k натурал саны бар болып a+k=b 

(k≠0) болса, онда “a кіші b” деп айтылады және a < b көрінісінде жазылады. 

 

Егер “a кіші немесе тең b”  болса, онда a ≤ b символымен жазылады (a < b немесе a 



= b). Бұл қатнасқа кері қатынастар a > b (a ≥ b) көрінісінде белгіленеді. 

          Теорема 2  Ұйғарайық Z= сақына бүтін сандар сақынасы болсын. Онда  

1)  


a,b бүтін сан үшін a < b, a = b, a > b теңсіздіктердің біреуі орындалады. 

2)  



а 



Z  бүтін саны үшін келесі үш шарттардың біреуі орындалады: a<0, a=0, a>0. 

 

3)  < қатынас қосу амалына қатысты монотон, яғни 



a,b және бүтін сандары үшін  

a < b сонда тек сонда , егер a+c < b+c. 

 

4)  < қатынас көбейту амалына қатысты монотон, яғни  



a,b,с  бүтін сандары үшін  

егер a < b және c > 0 болса, онда ac < bc. 



368 

 

 Қалдықпен бөліну теоремасы.  Ұйғарайық а бүтін сан болып в – натурал сан болсын 



және  b≠0.  Егер    сондай  q  және  z  бүтін  сандары  табылып    a  =  bq+z,  (0  ≤  z  <  b)  теңдігі 

орындалса а саны b санына z  қалдықпен бөлінеді деп айтылады. q  – бөлінді, z – қалдық 

деп айтылады. Мұндай q және z санының жалғыз екендігін келесі теорема дәлелдейді. 

Теорема 


a,b бүтін сандары үшін  (b>0) жалғыз q және z сандары бар болып a=bq+z   

1 теңдігі орындалады, мұнда  0 ≤ z < b. 

Дәлелдеу  1  –  теңдікті  қанағаттандыратын  кемінде  бір  q,z  сандары  бар  екендігін 

дәлелдейміз.  а  –  натурал  сан  болсын.  b  санды  аламызда    а  бойынша  индукцияны 

қолдаймыз, яғни 1-ді қанағаттандыратын  q,z  саны бар екендігін дәлелдейміз. 

a = 0 үшін q,z бар. Шынында  0 = b·0+0. 

 

Ұйғарайық 



n үшін  q,z бар болсын, яғни 

  n=bq+z  

және  0 ≤ z < b. 

Онда  теорема  a=n+1  үшін  орынды  екендігін  дәлелдейміз.  2-ден  n+1=bq+(z+1)  және 

0

 

Егер z+1

n+1=b(q+1) болып  q+1 және 0 сандары ізделген сандар болады. Енді a<0 болған жағдайды 

қарастырамыз. Онда  –а > 0  болады. Дәлелденгеніне қарағанда  –а  және  b сандары үшін –

а=bq'+z' теңдігін қанағаттандыратын q' және  z'  сандары бар болып  0 ≤ z' < b'. 

Егер z'=0 болса, онда a=b(-q')+0. Егер z'=0 болса, онда a=b( -q' – 1)+(b - z') және  0 ≤ b-z' < b.  

q=-q'-1 және z=b-z' деп белгілесек 

a=bq+z және  0 < z < b.  

Демек,   

a,b  (b>0)  сандары  үшін  1  –  теңдікті  қанағаттандыратын  q,z  сандары  бар  екен. 



Енді бұл сандардың жалғыз екендігін дәлелдейміз. Кері жарайық  

1 – көрініс екеу болсын: 

3) a=bq+z, 0 ≤ z < b; 

4) a=bq


1

+z

1



, 0 ≤ z

1

< b. 

Ұйғарайық, z ≠ z

1

 болсын. Онда z > z



1

 немесе z

1

> z. Егер z > z



1

 болса, онда  және 4-тен  

5) 0 < z - z

1

≤ b; 



6)  z - z

1

=b(q



1

-q) 


5 және 6 дан  q

1

-q > 0 екендігі келіп шығады, демек q



1

-q ≥ 1.  6 дан z - z

1

≥ b екендігі келіп 



шығады, бұл  5 ке қайшы. Дәл осылай z

1

> z   екендігін дәлелдеуге болады. Демек, z = z



1

 

және 3, 4-тен  b(q- q



1

)=0. b≠0 болғандықтан  q - q

1

= 0 немесе q= q



1





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   202   203   204   205   206   207   208   209   ...   333




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет