«Физика математика және ақпараттық жүйе» бөлімі
жүктеу/скачать 1,6 Mb.
|
салу есептер
| 1-сурет. Дұрыс көпбұрыштың салыну шарты
Ал, берілген қабырғаға сәйкес дұрыс n қабырғалы көпбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің салынуы ұзындығы sin()-нің мәніне тең болатын кесіндінінің салынуына тікелей тәуелді, өйткені мұндай шеңбердің радиусыR=(2.1)өрнегімен анықталады. Яғни, жоғарыда айтылған шарт, келесі шарттың орындалуымен эквивалент: Егер шеңберді n бірдей бөлікке бөле алатын болсақ, онда дұрыс n көпбұрышты сала аламыз. Бірақ барлық n үшін бұл шарт орындала бермейді. Бұл орайда, Гаусс теоремасын келтіре кетуге болады: Дұрыс n қабырғалы көпбұрыш циркуль және сызғыш жәрдемімен салыну үшін қабырға саны n былайша n=2m P1,P2,…,Pk жіктелуі қажетті және жеткілікті. Мұндағы m оң бүтін сан не нөл, ал P1,P2…Pk өзара тең емес түрдегі жай сандар (Бұл түрдегі жай сандарды Ферма жай сандары дейді)[2]. Енді циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болмайтын есептердің бірі бұрыш трисекциясына толығырақ тоқталып өтер болсақ. Бұрыш трисекциясы (лат. trі — үш және sectіo — қию) — бұрышты тең үш бөлікке бөлу туралы ежелден белгілі салу есептерінің бірі болып табылады.Ортағасырларда бұрышты үшке тең бөлуді алгебра жәнетригонометрияесептерімен байланыстыра шешу қолға алынған. IX — X ғасырларда бұрышты үшке тең бөлуx3+q=pxтүріндегі теңдеуді шешуге келіп тірелген. Бұрышты үшке тең бөлу мәселесімен кезінде ежелгі грек математигі Архимед (б.з.б. 287 - 212), ХV ғасырда ортаазиялық ғалым әл-Кәши (1385- 1436/37), XVI ғасырда француз математигі Франсуа Виет (1540 —1603) айналысқан. 1637 жылы француз математигі Рене Декарт(1596 - 1650) бұрышты тең үшке бөлу циркуль мен сызғыштың көмегімен жүзеге асырылмайтынын ескерткен. 1837 жылы француз математигі Пьер Ванцель (1814 — 1848) бұрыштыциркуль мен сызғыш арқылы үшке тең бөлу мүмкін болмайтынын дәлелдеген[3]. Дегенмен есепті 1800, 900, 450-тық бұрыштарда циркуль мен сызғыштың көмегімен салуға болады. Біздің тақырыбымыздың негізгі мақсаты циркуль мен сызғыштың ғана көмегімен салуға болмайтын есептерді орта ғасырлық ұлы ойшыл бабамыз әл Фараби ұсынған әдістерді пайдаланып қалай шешу керектігін оқушыларға жеткізу болып табылады. Әл Фарабидің математикалық мұраларында бірқатар шешімі жоқ есептерді циркуль мен сызғыштың көмегімен салу жолдары көрсетілген. Соның ішінде берілген бұрышты тең үшке бөлу (бұрыш трисекциясы) әдістері. Мұнда бұрышты тең үшке бөлудің үш әдісінберген. Әл Фараби бабамыз бұл салу есебінің алгоритмін дәлелдеусіз келтіреді. Бұл әдістер әл Фарабидің математикалық мұраларындағы үшінші «Рухани айлалы тәсілдер мен геометриялық фигуралардың табиғи сырлары туралы кітабының» бірінші бөлімінде(мақалатында) қарастырылған[4]. Сонымен:
1-әдіс. Егер АВС тікбұрышын тең үшке бөлу керек болса, онда DС түзуіне тең қабырғалы DBC үшбұрышын тұрғызамыз.Сонда ABD бұрышы ABC бұрышының үштен біріне тең болады. DBC бұрышын қақ бөлеміз. СондаABC бұрышы тең үшке бөлінеді[4]. 2-сурет. Тікбұрышты тең үшке бөлудің бірінші әдісі. 2-әдіс.Егер АВС сүйір бұрышын тең үшке бөлу керек болса, онда В нүктесін центр етіп алып ВА қашықтықпен DAC шеңберін сызамыз. Сызғышты А нүктесіне қойып, BCВD жүргіземіз. ВС түзуін шеңбермен Е нүктесінде қилысқанға дейін созамыз. Сызғыштың бір басын А нүктесіне қойып, екінші басын CDE шеңбері бойымен DB және DE перпендикульярларының арасында жататын HF =DB болғанға дейін жылжытамыз. EF доғасына тең EK доғасын тұрғызамыз. KB түзуін L нүктесіне дейін созамыз[4]. 3-сурет. Сүйір бұрышты тең үшке бөлудің екінші әдісі. 3-әдіс.Бұрышты тең үшке бөлудің үшінші әдісі. АВС сүйір бұрышын теңдей үшке бөлу керек болса, онда А нүктесінен AHВC болатындай АН жүргіземіз. ВС параллель болатындай AD түзуін жүргіземіз. Сызғыштың бір басын В нүктесіне қойып, екінші басын ВD=2*AB болатындай BD түзуін жүргіземіз. Сонда DBC бұрышы ABC бұрышының үштен біріне тең болады[4]. 4-сурет. Бұрышты тең үшке бөлудің үшінші әдісі. Бұл салулардың бірінші әдісі арнайы дәлелдеуді қажет етпейді, себебі тік бұрыштың теңдей үшке бөлінетіндігі және тең қабырғалы үшбұрыштың ішкі бұрыштарының барлығы 600-тан, ал оның жартысы 300-ты салу, бұрыштың биссектрисасын жүргізуден шығатындығы белгілі. Ал екінші, үшінші әдісітерінде жалпы геометриялық салуларды циркуль мен сызғыштың көмегімен салу керек деген ұстаным қалыптасқанымен әл Фараби «невсис» сызығшын пайдаланған [5]. Әрине талапқа кері болғанымен, математикалық дәлелдеу кезінде еш қателіксіз орындалады. Қорыта келе айтарымыз, бабамыз әл Фарабидің әдістерін заманауи геомериялық білім беруге толығымен пайдалануға болады, ең жоқ дегенде аталған әдістерді оқушыларға үйрету олардың математикалық білімдерін жетілдіруге жәрдемдесері хақ деген тұжырым жасауға болады. Шешімі жоқ (циркуль мен сызғыштың көмегімен салуға болмайтын) тамаша үш есеп: дөңгелекті квадраттау; үшбұрыш трисекциясы; кубті екі еселеу. Кейбір ғалымдар оған тағы екі ежелгі есепті қосады: шеңберді тең бөліктерге бөлу; айшықтарды квадраттау. Дөңгелекті квадраттау. Дөңгелекті квадраттау (1-сурет.) деп оның ауданын есептеп табуды немесе қандай да бір дөңгелекпен тең шамалы квадратты, әйтпесе дөңгелек шеңберінің ұзындығына тең кесіндіні, салып көрсетуді айтады. 1-сурет - Дөңгелекті квадраттау есебі Плутарх өзінің «О изгнании» шығармасында баяндауы бойынша, философ және астроном Анаксагор (б.з.б. 500-428 ж) абақтыда отырғанда, дөңгелектің квадратурасы жайлы есепті ойлана отырып өзінің қайғысын ұмытады. Грек математиктерінің ішінде Архимедке дейін дөңгелекті квадраттау мәселесінде азды-көпті жетістіктерге жеткен: Гиппократ. Қисық сызықтармен шектелген аудандарды квадраттаудың мысалын алғаш рет көрсеткен де осы ғалым. Ол ең алдымен айшық ауданын табу жолын көрсетті. Мысалы, бір жағынан жарты шеңбермен, екінші жағынан 90 градустық доғамен шектелген «Айшық» үшбұрышымен (яғни жарты дөңгелекке іштей сызылған тең
бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың жартысымен) тең шамалы болатындығын Гиппократ дәлелдеді. Олай болса, мұндай «айшықты» квадраттау мүмкін (2-сурет) екен. 2-сурет - «Айшықты» квадраттау есебі Дөңгелекті квадраттау проблемасын циркуль және сызғыштың көмегімен шешу мүмкін еместігі біздің заманымызда дәлелденді. жүктеу/скачать 1,6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||