«Физика математика және ақпараттық жүйе» бөлімі

-« Циркуль мен сызғыштың көмегімен салуға болмайтын есептер» ұғымының мәнін анықтау;

-математикалық қызметте пәнаралық байланысты қолдану;

-оқыту процесінде пәнаралық байланысты қолданудың тиімділігін анықтау.

Ежелгi грек математиктерi салу есептерiн шешу барысында сызғыш пен циркульды пайдаланған және «шын геометриялық салу» деп, осы екі құралдың көмегімен шешілетін есептерді атады. Евклидтің постулаттарына сәйкес сызғыш шексіз, әрі бір жақты құрал, циркуль кез - келген өлшемді шеңбер салу құралы делінді. Бұлардан басқа да салу құралдары болған. Мысалы, Платон б.э.д. 400 жылдар шамасында кубты екі еселеу туралы есепті екі тікбұрыштың көмегімен шешсе, Архимед бұрыштың трисекциясы туралы есепті тікбұрышты сызғышты қолданып шешеді. Дәл осы есепті әртүрлі қисықтардың көмегімен Никомед (конхойданы пайдаланып), Диоклес (циссойданы пайдаланып), Папп және басқалары шешті.

XVII - XIX ғасырларда геометриялық салу құралдарының жаңа түрлері ойлап шығарылды. Леонардо да Винчи (1452-1549) сызғыш және тұрақты ашалы циркульдың көмегімен шешілетін есептерді, Датчани Мор (1672) мен итальяндық Маскерони (1779) тек қана сызғыш пен циркульды қолданып шешілетін салуларды зерттеген және олардың ішінде тек циркульмен шешілетіндерін тапқан. Осындай зерттеулердің негізінде салу есептерінде екі жақты сызғыш, тікбұрыш сияқты құралдар қолданыла бастады. Бірақ конструктивтік геометрияның ең негізгі құралдарына бір жақты сызғыш пен циркуль жатады және оларды классикалық құралдар деп атайды, ал қалғандары қосымша құралдар болып саналады.

Конструктивті геометрия үшін қолданылатын құралдардың дәл сипат-тамасы көрсетілуі керек. Мұндай сипаттамалар аксиомалар түрінде беріледі.

А. Сызғыш аксиомасы

Сызғышпен келесі геометриялық салулар орындалады:

1) тұрғызылған екі нүктені қосатын кесінді салу;

2) салынған екі нүкте арқылы түзу жүргізу;

3) салынған нүктеден бастап екінші салынған нүкте арқылы өтетін сәуле жүргізу.

В. Циркуль аксиомасы

Циркульдың көмегімен мына геометриялық салулар орындалады:

1) берілген центрі мен радиусқа тең кесіндісі (немесе кесіндінің ұштары) бойынша шеңбер салу;

2) берілген центрі мен кез - келген доғасының ұштары бойынша шеңбердің доғасын салу.

Циркуль мен сызғыштың көмегімен орындалатын негізгі салулар:

1) Берілген екі нүктені қосатын кесіндіні салу (А.1);

2) Берілген екі нүкте арқылы түзу жүргізу (А.2);

3) Берілген нүктеден бастап екінші берілген нүкте арқылы өтетін сәуле жүргізу (А.3);

4) Берілген центрі мен радиусқа тең кесіндісі (немесе кесіндінің ұштары) бойынша шеңбер салу (Б.1);

5) Берілген центрі мен кез-келген доғасының ұштары бойынша шеңбердің екі доғасының кез-келгенін салу (Б.2);

6) Тұрғызылған екі фигураның саны шекті ортақ нүктелерін салу, егер олар бар болса (акс.VII);

7) Қандай да бір тұрғызылған фигураға тиісті нүкте салу (акс.VIII);

8) Қандай да бір тұрғызылған фигураға тиісті емес нүктені салу (акс.IX).

Салу есебі деп берілген элеметтері бойынша геометриялық құралдардың (сызғыш және циркуль) көмегімен белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын геометриялық фигураны салуды айтады. Ондай есептерді шешудің белгілі бір алгоритмі жоқ. Cалу есебін шешу ізделінді фигураны қалай салуға болатынын талдаудан басталады. Есеп шешілді деп санау үшін фигураны салу тәсілі көрсетіліп, салу жұмыстарын орындау нәтижесінде шынында да ізделінді фигура салынғандығын дәлелдеу керек. Сонымен, салу есебінің шешімі деп, берілген шартты қанағаттандыратын әрбір фигураны айтады. Салу есебінің шешімін табу деп оны саны шектеулі негізгі салуларға келтіруді, яғни ретімен орындағанда ізделінді фигура конструктивті геометрияның аксиомаларының негізінде салынды деп есептелінетіндей негізгі салулардың шекті тізбегін көрсетуді айтады. Негізгі салулар тізбегі қандай құралдарды пайдалану керектігіне байланысты.

Салу есебінің барлық шешімдерін табу оны шешу деп аталады. Салу есебі жалпы түрде келесідей тұжырымдалады: салынған (негізгі) Ғ₁, Ғ₂ , ... ,Ғ_к фигураларының жиыны берілген және ізделінді Ф фигурасын сипаттайтын қасиеттер көрсетілген. П1 – П5 постулаттарын қолданып, салынған және ізделінді фигураларды қамтитын шекті жиын табу керек.

Есеп шартын қанағаттандыратын фигура формасы және жазықтықта орналасуы бойынша ажыратылады. Фигураның жазықтықта орналасуын ескеру - ескермеу есептің құрылысына байланысты.

1) Егер есепте ізделінді фигураның берілген фигураға қатысты орналасуы қарастырылмаса, онда тек есеп шартын қанағаттандыратын өзара тең емес барлық фигураларды тауып көрсетеміз. Онда салу есебі шешілген деп есептелінеді, егер

- есеп шартын қанағаттандыратын өзара тең емес кейбір Ф₁, Ф₂, ..., Ф_n фигуралары салынса,

- есеп шартын қанағаттандыратын кез - келген фигура осы фигуралардың біріне тең болатыны дәлелденсе.

Бұл жағдайда есептің әр түрлі n шешуі бар делінеді.

2) Егер есептің шартында ізделінді фигураның берілген фигураға қатысты нақты орналасуы көрсетілсе, онда толық шешу берілген шартты қанағаттандыратын барлық фигураларды салу болып табылады (егер мұндай фигуралардың саны шекті болса). Сондай-ақ мұнда берілген фигураға қатысты әр түрлі қалыпта орналасқан тең фигуралар есептің әр түрлі шешулері болып саналады.

Кейде есеп шартын қанағаттандыратындай фигура болмауы мүмкін. Мысалы, берілген тіктөртбұрыш квадрат болмаса, оған іштей шеңбер сыза алмаймыз немесе концентрлі екі шеңберге ортақ жанама жүргізілмейді.

Кейде есептің шешімі бар, бірақ ол берілген құралдардың көмегімен салынбауы мүмкін. Онда салу есебін шешу деп ізделінді фигура берілген құралдардың көмегімен салынбайтындығын дәлелдеп көрсетуді айтады.