График а алматы "Білім" 2012

91
горизонталь жəне фронталь проекция 
жазықтықтарындағы кескіндерінің бо-
йын да жатқан нүкте, яғни  D  нүктесі  АВ  
түзу сызығына тиісті немесе түзу бойында 
орналасқан нүкте. Ал, енді  С  нүктесін 
қарастыратын болсақ, онда  С  нүктесінің 
фронталь проекциясы  С
2
  нүктесі  АВ  
түзу сызығының фронталь проекция 
жазықтығындағы кескін бойында емес, 
тысқары орналасып жатыр.  С  нүктесінің 
горизонталь проекциясы  С
1
  нүктесі  – АВ  
түзу сызығының горизонталь проекция 
жазықтығындағы кескін бойында жатыр, 
яғни кеңістікте орналасқан  С  нүктесі 
АВ  түзу сызығының сыртында тыс орна-
ласқан түзу бойында жатпайтын нүкте. 
Егер нүкте кескіні түзу проекциясы-
ның бойында жатса, онда нүкте түзуге 
тиіс ті немесе бойында жатады. 
6.1.2 Түзу сызықтардың өзара орналасулары
Түзу сызықтар кеңістікте өзара 
орна 
ласуларына байланысты парал-
лель, қиылысқан, айқасқан жəне 
перпендикуляр болып келеді. 
Егер кеңістікте орналасқан екі түзу 
сызық параллель болса, яғни олардың 
горизонталь жəне фронталь проекция 
жазықтықтарындағы проекциялары да 
өзара параллель болып, мұндай түзу 
сызықтарды өзара параллель орналасқан 
түзу сызықтар дейді. 
Мысал ретінде кеңістікте орналасқан  
АВ  жəне  СD  түзу сызықтарын қарас-
тырайық (88-cурет). Көлденең  П
1
  
горизонталь проекция жазықтығында 
өзара параллель кескінделген  А
1
В
1
  түзуі 
мен  С
1
D
1
 түзу сызықтары берілген. Осы  
А
2
В
2
  жəне  С
2
D
2
  түзу сызықтарының  П
2
  
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
D
х
D
1
D
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
D
х
D
1
D

92
фронталь проекция жазықтығындағы 
проекциялары да өзара параллель 
орналасқан. 
Жоғарыда айтып кеткендей, егер 
екі түзу сызықтың горизонталь 
жəне фронталь проекция жазық-
тықтарындағы проекциялары өзара 
параллель орналасса, онда мұндай 
түзу сызықтар өзара параллель 
орналасқан түзу сызықтар болады.  
Егер кеңістікте орналасқан 
екі түзу сызықтың горизонталь 
жəне фронталь проекция жазық-
тықтарындағы проекциялары өзара 
бір нүктеде қиылысса, онда мұндай 
түзу сызықтарды өзара қиылысқан 
 
түзу сызықтар дейді. 
Мысал қарастырайық (89-сурет). 
Көлденең  П
1
  горизонталь проекция 
жазықтығында өзара  К
1
  нүктесінде қиылысқан  А
1
В
1
    жəне    С
1
D
1
  түзу 
сызықтарының кескіні берілген. Ал,  П
2
  фронталь проекция жазықтығында 
өзара қиылысқан  А
2
В
2
  жəне  С
2
D
2
  түзу сызықтарының кескіні К
2
  нүктесінде 
қиылысқан. Егер бұл екі  К
1
    жəне    К
2
  нүктелері бір байланыс сызығының 
бойында жататын болса, онда бұл екі түзу сызық өзара қиылысып жатқан түзу 
сызықтар болады. 
Егер кеңістіктегі екі түзу сызықтың 
горизонталь жəне фронталь проекция 
жазықтықтарындағы кескіндері өзара 
қиылысса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі 
болмаса,  онда  мұндай  түзулер өзара ай-
қас түзулер деп аталады. Мысал  ретінде 
90-cуретте орналасқан түзу сызық-
тарды қарастырайық. Горизонталь  П
1
  
проекция жазықтығында кескінделген 
өзара  L
1
    жəне    K
1
  нүктелерінде 
қиылысып жатқан  А
1
В
1
  түзуі мен  С
1
D
1
  
түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысу 
нүктелері эпюрдің фронталь  П
2  
проек-
ция жазықтығында  L
2
 нүктесінің проек-
циясы  А
2
В
2
  түзу сызығында жатса, 
ал  K
2 
 нүктесі  С
2
D
2
  түзу сызығының 
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
D
х
D
1
D
2
К
1
К
х
К
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
D
х
D
1
D
2
К
1
К
х
К
2
L
1
L
2
P
2
Q
1
P
1
Q

93
бойында жатады. Ал, эпюрдің фронталь  П
2  
проекция жазықтығында өзара  
P
2
  жəне  Q
2
  нүктелерінде қиылысқан  А
2
В
2
  жəне  С
2
D
2
  түзу сызықтарының 
кескіні көрсетілген. Мұнда да P
1
  жəне  Q
1
  нүктелері  С
1
D
1
  жəне А
1
В
1
  түзу 
сызықтарының бойында жатады, 
яғни қиылысып жатқан түзулер – бір 
ортақ нүктесі жоқ айқасып жатқан 
түзулер. 
Ескерту, кей жағдайда өзара ай қас 
түзулердің бір кескіні өзара парал-
лель болып та келеді, бірақ келесі 
кескіні міндетті түрде қиылысуы 
қажет. 
6.1.3 Екі жазықтықтың өзара 
орналасуы
Кеңістікте жазықтықтар өзара 
орналасуларына байланысты түзу 
сызықтар сияқты өзара параллель 
жəне қиылысқан болып келеді.
Егер кеңістікте орналасқан екі 
жазықтықтың проекция жазықтық-
тарындағы іздері өзара параллель 
болса, онда мұндай жазықтықтарды 
өзара параллель жазықтықтар деп 
атайды. 
91-суретте  Р  жəне  Q  жазық-
тықтарының іздері арқылы беріл-
ген кескіндері көрсетілген. 
Сурет 
 
те көрсетілгендей бұл екі 
жазық тықтардың горизонталь 
жəне фронталь проекция жазық-
тықтарындағы іздері өзара парал-
лель, яғни кеңістікте орналас 
қан 
екі жазықтық – өзара параллель 
орналасқан жазықтықтар. 
Ескерту, егер кеңістікте орна-
ласқан екі жазықтық үшбұрыш 
немесе төртбұрыш арқылы берілсе, 
2
П
1
П
х
Q
2
P
2
Q
1
P
1
Q
х
P
2
П
1
П
х
Q
2
P
2
Q
1
P
1
Q
х
P
1
М
2
М
1
N
2
N

94
онда бұл көпбұрыштарды проекция жазықтықтарына дейін созып, іздерін 
анықтап алған қолайлы. 
Егер  кеңістікте  орналасқан  екі  жазық тықтың  проекция   жазықтықтарын-
дағы іздері өзара қиылысатын болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара 
қиылысқан жазықтықтар деп атайды (92-сурет). 
92-суретте кеңістікте қиылысып жатқан  Р  жəне  Q  жазықтықтарының 
горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы іздерімен берілген 
кескіндері көрсетілген. Горизонталь проекция жазықтығындағы  Р
1
  жəне  Q
1
  
жазықтықтарының іздері  М
1
  нүктесінде қиылысады. Ал, фронталь проекция 
жазықтығындағы  Р
2
  жəне  Q
2
  іздері  N
2
  нүктесінде қиылысып жатыр. Егер 
табылған  М
1
  мен  N
1
  нүктелерін жəне  М
2
  мен  N
2
  нүктелерін өзара қоссақ, 
онда бұл түзу сызықтар екі жазықтықтың қиылысу сызығын береді. 
Енді келесі  93-суретте кеңістікте қиылысып жатқан  АВС  үшбұрышты жə не  
EDFG  төртбұрышты 
ж а з ы қ т ы қ т а р д ы ң 
горизон таль 
жəне 
фрон таль 
проек ция-
лары берілген. Екі 
жазықтық та жалпы 
жағдайда орналасқан 
жазықтықтар. Осы 
ж а     з ы қ т ы қ т а р д ы ң 
қиы лысу сызы-
ғын анықтау үшін, 
алдымен жазық 
тық-
тардың екі қырынан 
проек цияланушы жа-
зық тық деп алып, 
жазықтық пен түзу-
дің екі қиылысу нүк-
тесін тауып, өзара 
осы нүктелерді қо-
сып, қиылысу сы-
зығын аламыз. 
Фрон таль 
проекция 
ж а з ы қ т ы ғ ы н д а ғ ы  
АВС    үш бұрышының  
АВ  қырынан  Р 
 
п р о е к   ц и я л а н у ш ы 
жазық  тығын 
жүргіз-
сек,  ал    АС    қырынан  
1
П
1
E
2
С
1
G
2
G
2
П
2
А
2
E
2
Q
2
D
2
В
2
F
2
2
2
4
2
К
2
5
2
6
2
N
2
7
2
3
2
1
2
P
1
A
1
C
1
4
1
N
1
1
6
5
 
1
2
1
7
1
F
1
D
1
B
1
K
1
1
1
3

95
Q  проекцияланушы жазықтығын жүргіземіз. Фронталь проекция жазық-
тығында  Р  проекцияланушы жазықтығы  EDGF  төртбұрышының қырларын  
1  жəне  2  нүктелерінде қиып өтеді. Ал,  Q  проекцияланушы жазықтығы  
EDGF  төртбұрыштың қырларын  3  жəне  4  нүктелерінде қиып өтеді. 
Бұл табылған нүктелерді горизонталь проекция жазықтығына байланыс 
сызықтарының көмегімен түсіріп,  1
1
, 2
1
  жəне  3
1
, 4
1
  нүктелерін табамыз. Осы 
нүктелерді өзара қоссақ, бұл сызықтар АВ  қырын  К  нүктесінде,  АС  қырын  
N  нүктесінде қиып өтеді. 
Егер осы табылған нүктелерді горизонталь жəне фронталь проекция 
жазықтықтарында өзара қоссақ, онда табылған түзу сызық екі жазықтықтың 
қиылысу сызығы болады. 
Енді кеңістікте қиылысып жатқан  АВС  үшбұрышы мен  EDFG 
 
төртбұрышының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарында 
жазықтықтардың көрінетін немесе көрінбейтін жақтарын анықтаймыз. 
 
Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында бəсекелесіп тұрған  5 
 
пен  6 нүктелерін белгілеп алып, осы нүктелердің фронталь проекция 
жазықтығындағы кескінін табамыз. 
Осы кескінделген нүктелердің қайсысы бірінші тұрса, горизонталь 
проекция жазықтығында сол нүкте немесе сол қыр көрінетін болады. Міне, 
осындай жолмен фронталь проекция жазықтығында да көрінетін жағын 
анықтап аламыз (93-сурет).
6.1.4 Түзу мен 
жазықтықтың өзара 
орналасулары
Түзу сызық пен жа-
зық тық кеңістікте өз-
ара меншікті (жазық-
тық бойында жата 
ды), 
параллель, қиылы-
сатын жəне пер-
пендикуляр болып кез-
деседі. Төменде осы 
жағдайларға мысал 
қарас тырайық. 
Егер түзу сызықтың 
екі нүктесі жазықтық 
бойында жатса, онда 
мұндай түзу сы-
1
А
1
В
1
С
А
В
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
D
1
E
2
D
2
E
E
D

96
зық жазықтыққа меншікті болады. 
Мысалы 94-суретте бірінші ширекте 
орналасқан  АВС  жазықтығы мен 
осы жазықтық бойында орналасқан 
 
DE  түзу сызығы берілген. Түзудің 
 
АВС  жазықтығында орналасқанын 
анықтау үшін, түзу сызықты 
жазықтық қырларына қиылысқанға 
дейін созып, қиылысу нүктелерін 
анықтаймыз. Осы нүктелердің гори-
зонталь жəне фронталь проекция 
жазықтықтарындағы проекция 
ларын 
байланыс сызықтарының көмегімен 
табамыз. 
Егер  DE  түзу сызығы осы та-
былған горизонталь жəне фронталь 
проекция жазықтықтарындағы түзу-
лер бойында жататын болса, онда бұл  
DE  түзу сызығы  АВС  жазықтық 
бойында жатады немесе түзу сызық 
жазықтыққа меншікті болады. 
95-суретте кеңістікте орналасқан 
АВС  жазықтығы мен осы жазықтық 
бойында орналасқан  DE  түзу 
сызы ғының  П
1
  горизонталь жəне 
 
П
2
  фронталь проекция жазық-
тықтарындағы проекциялары беріл-
ген. Горизонталь проекция жазық-
тығында  А
1
В
1
С
1
  жазықтығы мен осы 
жазықтық бойында жатқан  D
1
E
1
  түзу 
сызығының проекциясы берілген. 
Бұл  D
1
E
1
  түзу сызықты жазықтықтың 
А
1
В
1  
жəне  В
1
С
1
  қырларына дейін 
созамыз. Байланыс сызықтарының 
көмегімен  П
2
  фронталь проекция 
жазықтығындағы  А
2
В
2
С
2
    жазық-
тығының  А
2
В
2  
жəне  В
2
С
2
  қырларына 
қиып өткен нүктелерін өзара қосамыз. 
Осы түзу сызық бойынан байланыс 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
1
D
1
E
2
D
2
E
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
1
D
1
E
2
D
2
E
2
К
2
L
1
K
1
L

97
сызығының көмегімен  D
2
E
2
  түзу сызықты табамыз. DE  түзу сызығы  – АВС  
жазықтығының бойында орналасқан түзу сызық. 
Егер  кеңістікте  орналасқан АВС  жазықтығы мен  DE  түзу сызығы 
жоғарыда айтқан қағидаларға сай келмесе, онда мұндай түзу сызықтар 
жазықтыққа параллель, қиылысқан немесе перпендикуляр орналасады. 
Кеңістікте орналасқан жазықтыққа меншікті түзу сызыққа екінші бір 
кеңістікте орналасқан түзу сызық параллель болса, онда бұл түзу сызық 
жазықтыққа параллель түзу болады. Мысал ретінде 96-cуретті қарастырайық. 
Суретте кеңістікте орналасқан  АВС  жазықтығы мен осы жазықтық бойында 
орналасқан  KL  түзу сызығының  П
1
  горизонталь жəне  П
2
  фронталь проекция 
жазықтықтарындағы проекциялары берілген. Егер жазықтыққа меншікті  KL  
түзу сызығының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтығындағы 
проекциялары  D
1
E
1
    жəне    D
2
E
2
  түзу сызық проекцияларына параллель 
орналасса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель түзу болады. 
Егер түзу сызық жазықтыққа меншіксіз немесе жазықтыққа параллель 
болмаса, онда мұндай түзу сызықтар жазықтықпен қиылысатын түзулер 
болып, бір ғана қиылысу нүктесі болады (97-сурет).
Жазықтық пен түзу сызықтың 
қиылысуына келесі мысалды 
қарастырамыз. 97-суретте кеңіс 
-
тікте жалпы жағдайда орна-
ласқан  АВС  жазықтығы мен 
осы жазықтықпен қиылысатын 
 
DE  түзу сызығының  П
1
  гори-
зонталь жəне  П
2
  фронталь 
проекция жазықтықтарындағы 
проекциялары берілген. Кеңіс-
тіктегі жазықтық пен түзу 
сызықтың қиылысу нүк тесін табу 
үшін DE  түзу сызы ғының фрон-
таль проекция жазықтығындағы 
проекциясы арқылы  Р  фронталь 
проекциялаушы жазықтығын 
жүр гіземіз. Бұл  Р  жазықтығын 
жүргізіп отырған себебіміз 
– екі жазықтықтың қиылысу 
сызығын анықтау. Осы қиылысу 
сызығын табу үшін, Р  фронталь 
проекциялаушы жазықтығын 
 
АВС  жазықтығының фронталь 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
1
D
1
E
2
D
2
E
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
1
1
1
2
1
3
x
D
1
1
5
4
 
2
Р
1
K
2
K
õ
E

98
проекциясының  А
2
В
2
    жəне    В
2
С
2
  қырлары мен  1
2
    жəне    2
2
  қиылысу 
нүктелерін анықтаймыз. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерді 
горизонталь проекция жазықтығына түсіріп, жазықтықтың  А
1
В
1
  жəне  В
1
С
1
  
қырларымен қиылысқан  1
1
    жəне    2
1
  нүктелерін табамыз. Бұл табылған  
1
1
    жəне    2
1
  нүктелерін өзара қосып, екі жазық тықтың қиылысу сызығын 
анықтаймыз. Енді осы табылған қиылысу сызығы берілген  D
1
E
1
  түзу сызығын  
К
1
  нүктесінде қиып өтіп, жазықтық пен түзу сызықтың қиылысу нүктесін 
береді (97-cурет).
Осы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық пен түзу сызық 
өзара қиылысып, эпюрде көрінетін жəне көрін 
бейтін жақтары болады. 
Жазықтық пен түзу сызықтың мұндай жақтарын анықтау үшін, жазықтық пен 
түзудің бəсекелес нүктелерін анықтау қажет. Ең алдымен фронталь проекция 
жазықтығындағы жазықтық пен түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін 
жағын анықтау үшін,  1
2
    жəне    3
2
  бəсекелес белгілеп алып, байланыс 
сызығының көмегімен горизонталь проекция жазықтығына түсіреміз. Бұл 
нүктелер бəсекелес нүктелер болғандықтан,  1
1
  нүктесі жазықтықтың  А
1
В
1
  
қырында жатса, ал  3
1
  нүктесі  D
1
E
1
  түзу сызығының бойында жатады. 
Осы табылған  нүктелерді төмен 
жағынан қарайтын болсақ 
(97-cуретте жуан жебе сызығымен 
көрсетіп қойған), онда  1
1
  
нүктесі бірінші тұр. Фронталь 
проекция жазықтығында  АВС 
 
жазықтығының  А
2
В
2
  қыры 
көрінеді, ал  D
2
E
2
  түзуінің  3
2
  
нүктесі мен  К
2
  нүктелерінің 
аралары көрінбейді. 
Горизонталь проекция жазық-
тығындағы жазықтық пен түзу 
сызықтың көрінетін, көрінбейтін 
жағын бəсекелес  4
1
    жəне    5
1
  
нүктелері арқылы анықтаймыз. 
Бұл анықталу жолы жоғарыда 
көрсетілген жолмен анықталады. 
Келесі қарастыратын мысал 
- жазықтыққа перпендикуляр 
түзу сызық жүргізу (98-сурет). 
98-суретте кеңістікте орналас-
қан жалпы жағдайдағы  АВС 
 
жазықтығы мен осы жазықтық 
бойында орналасқан  D  нүктесі 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
h
2
f
1
h
1
f
2
D
2
E
1
D
1
E
х
E
х
D

99
берілген. Жазықтыққа осы жазықтық бойында орналасқан  D  нүктесі арқылы 
перпендикуляр түзу сызық жүргізу үшін, жазықтықтың деңгей горизонталь 
(h) жəне фронталь (f) сызықтарын жүргіземіз. D  нүктесінің горизонталь 
проекциясы D
1
 нүктесі арқылы горизонталь проекция жазықтығындағы 
фронтальға перпендикуляр түзу жүргізіп,  Е
1
  нүктесімен шектеп қоямыз. Осы 
сияқты D  нүктесінің фронталь проекциясы  D
2
  нүктесі арқылы фронталь 
проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргізіп,  D
2
Е
2
  
түзу сызығын табамыз. Бұл табылған  DЕ  түзу сызығы кеңістікте орналасқан 
жалпы жағдайдағы АВС  жазықтығына перпендикуляр түзу болып табылады.  
Енді осы жалпы жағдайда орналасқан  АВС  жазықтығына перпендикуляр 
түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын жоғарыдағы мысалда көрсетілген 
тəсілмен анықтайды. 
§ 6.2 Метрикалық есептер
Егер шығаратын метрикалық есептер оңай есеп болса, онда есепті 
шешуін жалпы əдістердің көмегімен шығарады. Осыған байланысты бұл 
параграфта кеңістіктегі орналасқан түзу сызықтың нақты шамасы мен түзудің 
проекция жазықтықтарына жасайтын бұрыштарын, нүкте мен жазықтықтың 
арақашықтығы сияқты метрикалық есептерге мысалдар қарастырамыз. 
6.2.1 Түзу сызықтың нақты шамасы 
мен жазықтыққа жасайтын бұрышы 
Монж эпюрінде немесе тік 
бұрышты проекциялаушы жазықтықтар 
жүйесінде кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызықтың 
горизонталь, фронталь жəне профиль проекциялары бұрмаланып, түзу сызық 
проекциялары ұзын немесе қысқа болып кескінделеді. 
Эпюрде жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шамасын 
(ұзындығын) табу үшін, мектеп қабырғасынан белгілі тікбұрышты 
үшбұрыштар əдісін пайдаланамыз.
Мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан  АВ  түзу сызығының  А
2
В
2 
 
фронталь жəне  А
1
В
1 
 горизонталь проекцияларын алайық (99-сурет). А
1
В
1 
 
түзуінің  В
1
  нүктесінен горизонталь деңгей түзуін жүргіземіз. Бұл деңгей 
түзуі  А
1
  нүктесінен жүргізілген байланыс сызығын  1
1
  нүктесінде қиып 
өтеді. Осы нүкте мен  А
1
 нүктелерінің арақашықтығын өлшеп аламыз. 
Бұл арақашықтықты фронталь проекция жазықтығында орналасқан  А
2
В
2 
 
түзуінің  А
2
  төбесінен жүргізген перпендикуляр бойына өлшеп саламыз. Бұл 
перпендикуляр бойынан табылған  нүктені  А
2
/
  деп белгілейміз. Егер табылған  

100
А
2
/
    жəне    В
2
  нүктелерін өзара қоссақ, 
онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы – 
түзудің нақты шамасы шығады. 
Енді жалпы жағдайда орналасқан  АВ  
түзу сызығының горизонталь проекция 
жазықтығына жасайтын бұрышын 
анықтайық. Табылған түзу сызықтың 
нақты шамасы мен түзудің фронталь 
проекциясы  А
2
В
2 
 түзуінің  арасындағы 
бұрышы – түзудің жазықтыққа жасайтын 
бұрышы болып табылады (99-сурет). 
 
6.2.2 Нүкте мен жазықтықтың 
арақашықтығы
Жоғарыда айтып кеткендей, метри-
калық есептер деп геометриялық 
фигуралардың сызбалары арқылы олар-
дың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын 
анықтайтын есептерді айтады.  
Енді нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтауға мысал ретінде 
100-суретті қарастырайық. Суретте кеңістікте орналасқан  D  нүктесі мен 
жалпы жағдайда орналасқан  АВC  жазықтығы берілген. 
Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау үшін, жазықтыққа  D  
нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр 
түзу сызықты жалпы жағдайда орналасқан  АВC  жазықтығының горизонталь 
жəне фронталь деңгей сызықтарына түсіреміз. Суретте көрсетілгендей 
кеңістіктегі  D  нүктесінің фронталь проекциясы  D
2
  нүктесінен фронталь 
проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргіземіз. 
Ал, горизонталь проекциясы  D
1
  нүктесінен фронтальға перпендикуляр түзу 
жүргіземіз. Осы жүргізген перпендикуляр түзу сызық арқылы горизонталь 
проекцияланушы  Р  жазықтығын жүргіземіз. Бұл Р проекцияланушы 
жазықтық жалпы жағдайда орналасқан  АВC  жазықтығының горизонталь 
проекциясын  1
1
 жəне  2
1
  нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс сызықтарының 
көмегімен осы нүктелердің фронталь 1
2
 жəне 2
2
  нүктелерін фронталь проекция 
жазықтығында тауып, өзара қосамыз.
Бұл  1
2
2
2
  түзу сызығы  D
2
  нүктесінен жүргізген түзу сызықпен  К
2
  нүктесінде 
қиылысады. Байланыс сызығының көмегімен  К
2
  нүктесінен горизонталь 
проекция жазықтығында орналасқан  1
1
2
1
  түзу сы зы ғының немесе  D
1
  нүк-
тесінен жүргізген түзу ді  К
1
  нүктесінде қиып өтеді. 
2
А
2
В
/
2
А
2
П
1
А
1
В
1
П
х
А
х
В
НШ
D
1
1

101
Енді осы түзу сызық 
тың 
жазықтықпен қиы 
лысқанда 
көрінетін жəне көрінбейтін 
жағын анық 
тау керек. D
1
К
1
  
түзу сызығы мен  А
1
В
1
  
түзу сызығының бəсекелес 
 
2
1
3
1
  нүктелерін анықтап, 
фронталь проекция жазық-
тығындағы осы түзулер 
бойынан  2
2
3
2
  нүктелерін 
тауып аламыз. Егер жоғары 
жағынан қарасақ, онда 
 
3
2
  нүктесі бірінші болып 
кездеседі, яғни  D
1
К
1
  түзу 
сызығы көрінеді, ал  А
1
В
1
  
түзу сызығы көрінбейді. 
Осындай жолмен фрон-
таль проекция жазық-
тығындағы түзу сызық 
тың 
жазықтықпен қиылыс 
қанда 
көрінетін жəне көрінбейтін 
жағы анықталады. 
Сонымен бұл табылған 
 
К  нүктесі кеңістікте орна-
ласқан  D  нүктесі мен 
жалпы жағдайда орналасқан  АВС  жазықтығына дейінгі арақашықтық болып 
табылады. Бұл нүкте мен жазықтықтың арақашықтығының нақты шамасын 
анықтау үшін 100-суретте көрсетілгендей, тікбұрышты үшбұрыштар əдісін 
пайдаланамыз.  Ол  үшін  горизонталь  проекция  жазықтығында  орналасқан        
К
1
  нүктесінен деңгейлік түзу жүргіземіз. Бұл жүргізілген түзу  D
1
  нүктесінен 
шыққан байланыс сызығын  Е
1
  нүктесінде қиып,  D
1
Е
1
  арақашықтығын 
белгілейміз. Белгіленген арақашықтықты өлшеп алып, фронталь проекция 
жазықтығындағы  D
2
  нүктесінен  D
2
K
2 
 түзуіне перпендикуляр жүргізіп,         D
2
/
  
нүктесін табамыз (100-сурет). Егер табылған  D
2
/
  нүктесі мен  K
2
  нүктелерін 
өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан  DК  түзу сызығының нақты шамасы 
шығады. 
Сонымен метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу 
жолын көрсеттік. Ал, қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда 
көрсетеміз.
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
h
2
f
1
h
1
f
2
D
2
1
1
D
1
E
1
Р
1
К
1
1
1
1
3
2
 
2
К
2
2
2
3
1
4
1
5
2
2
5
4
 
/
2
D
НШ

102
1.  Позициялық есептер дегеніміз не?
2.  Нүкте мен түзу сызықтар өзара қалай орналасады?
3.  Түзу сызықтар өзара қалай орналасады?
4.  Жазықтықтар өзара қалай орналасады?
5.  Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады?
6.  Метрикалық есептер дегеніміз не?
7.  Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды?
8.  Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды?
Ба ылау 
с ра тары
Жатты у есептері
1.  Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен 
тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып 
көрсетіңіз.
2.  Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25); 
D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын 
салып көрсетіңіз.
3.  Кеңістікте орналасқан АВ жəне СD түзу сызықтарының өзара 
орналасуларын анықтаңыздар (1-сурет).
4.  Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып 
көрсетіңіз.
5.  Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып 
көрсетіңіз.

103
6. Горизонталь 
проекция жазық-
тығына параллель 
биіктігі 35 мм 
болатын АВ түзуі-
нің 
жетіс пей тін 
фронталь проек-
циясы мен бəсекелес 
нүктелерін анық-
таңыз (2-сурет).  
7. Жалпы  жағ-
дайда орналасқан 
кеңістіктегі  АВС 
жəне DEF жазық-
тықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 
8.  Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30); 
С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) 
төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.
9.  Кеңістікте орналасқан А(20; 
20;20) В(25;15;30); С(10;20;25) 
жазықтығының бойында жатқан 
 
D нүктесінен перпендикуляр түзу 
сызығын салып көрсетіңіз.
10.  Кеңістікте орналасқан А(10; 
20;10) В(15;15;30) С(20;10;25) 
жазықтығымен Е(10;20;25) D(5; 
25;10) түзу сызықтың қиылысу 
сызығын салып көрсетіңіз. 
11. Кеңістікте орналасқан АВ 
түзу сызықтың  Р  жазықтығымен 
қиылысу нүктесін салып көрсетіңіз 
(3-сурет). 
12. Кеңістікте орналасқан АВС 
жазықтығы мен Ω  жазықтығының 
қиылысу сызығын салып көрсетіңіз 
(4-сурет). 
13. Кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығы мен ізімен берілген  Р 
 
жазықтығының қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (5-сурет). 
14. 
Кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығының үшбұрыш арқылы берілген 
жазықтыққа параллель болатын горизонталь проекция жазықтығындағы 
проекциясын салыңыз (6-сурет).
2
A
2
B
1
A
1
B
1
C
1
D
2
2
D
C
{
x
1
C
2
C
1
A
2
A
1
B
2
B
1
D
2
D
x
2
П
2
П
1
П
1
П
сурет

1
x
2
A
1
A
1
B
2
B
2
П
1
П
2
5
сурет

3

104
15.  Кеңістікте орналасқан  А  нүктесінен  ВСD  жазықтығына дейінгі 
қашық тықты анықтаңыз (7-сурет). 
16.  Кеңістікте орналасқан  АВС  жазықтығының нақты шамасын деңгей 
бойында айналдыру тəсілі арқылы анықтаңыз (8-сурет). 
x
2
П
1
П
2
:
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
сурет

4
x
2
A
1
A
2
B
1
B
2
П
1
П
2
Р
1
Р
сурет

5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
2
A
1
A
2
B
сурет

6
x
1
A
2
A
1
B
2
B
1
C
2
C
1
D
2
D
2
П
1
П
сурет

7
17. Кеңістікте орналасқан  А  нүктесі мен  ВСD  жазықтығының 
арақашықтығын анықтаңыз (9-сурет).

105
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
сурет

8
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
D
1
D
х
2
П
1
П
сурет

9

106

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: