§ 5.1 Нүктенің проекциясы

67
Енді  осы  нүктенің проекция жазықтығына орналасуы мен олардың 
анықтау жолдарын  карастырайық (59-сурет). Өзара орналасқан тікбұрышты 
проекциялау жазықтықтарын аламыз. Нүктелердің ширектердегі бірнеше 
проекцияларын көрсетелік. 59-суретте  А  нүктесімен  В  нүктелерінің 
кеңістіктегі (А  нүктесі бірінші ширекте, ал  В  нүктесі төртінші ширекте 
орналасқан) кескіндері көрсетілген. Ал  С  нүктесі  П
1
  проекция жазықтығының 
бойында орналасқан кескіні көрсетілген. 
Осы  жоғарыда көрсеткен нүктелердің  өзара  тікше (перпендикуляр)  орна-
ласқан  үш  проекция  жазықтығындағы  кескіндерін  қарастырайық   (60-су-
рет).
Бұл үш проекция жазықтықтары кеңістікті сегіз бөлікке (октантқа) бөледі. 
Онда  А  нүктесі бірінші октантта орналасса, ал  В  нүктесі төртінші октантта 
орналасқан болады. Ал,  С  нүктесі жоғарыдағы мысалдағыдай  П
1
  проекция 
жазықтығының бойында орналасқан.
60-
сурет 
y
A
x
A
z
A
1
П
2
П
3
П
2
А
1
А
3
А
1
В
х
В
у
В
О
3
В
z
В
2
В
IV
VII
V
VI
III
II
I
VIII
2
C
C
x
 
y
C
1
C
y

x

B
z


68
Егер қаптал жəне қарсыалды проекция жазықтарын 60-суретте 
көрсетілгендей етіп бұрып, өзара беттестірсек, онда беттескен бір ғана 
проекция жазықтығы эпюрді аламыз (61-сурет). 
Эпюрде кеңістікте орналасқан  А  мен  В  нүктелерінің эпюрлері мен  П
1
  
проекция жазықтығының бойында жатқан  С  нүктесінің эпюрі көрсетілген. 
Егер нүктенің горизонталь проекциясы  А
1
  қоңыр түсті жазықтықта, 
фронталь прекциясы  А
2
  сары түсті жазықтықта, ал профиль проекциясы  
А
3
  жасыл түсті жазықтықта орналасса, онда бұл нүкте бірінші ширекте 
немесе бірінші октантта орналасқан нүкте болғаны (себебі бұл нүктенің 
координаталарындағы таңбалары оң болғаны) (61-сурет).
61-
сурет 
z
2
A
х
y
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
1
A
1
B
1
C
1
П
2
П
2
C
2
B
2
4
6
8
3
A
3
C
3
B
3
П
х

у
у

у

z

Егер  В  нүктесінің горизонталь проекциясы  В
1
  мен фронталь прекциясы  
В
2
  қоңыр түсті жазықтықта, ал профиль проекциясы  В
3
  жасыл түсті 
жазықтықта орналасса, онда бұл нүкте төртінші ширекте немесе төртінші 
октантта орналасқан нүкте болады. 

69
Егер  С  нүктесінің горизонталь проекциясы  С
1
  қоңыр түсті жазықтықта, 
ал  С
2
  жəне  С
3
  проекциялары  х  осінің бойында орналасса, онда бұл нүкте 
көлденең (горизонталь) проекция жазықтығында орналасқан нүкте болады 
(61-сурет).
Енді кеңістікте орналасқан нүктелердің координатасы арқылы эпюрдегі 
проекциясын қарастырайық.  Мысал  ретінде  кеңістікте  орналасқан   А(2,8;3;6) 
мен В (6,5;6,3;5) жəне жазықтықта орналасқан С(10,2; 8;0) нүктелерінің 
кескінін салайық  (62-сурет). Сонымен  А  нүктесінің  х  осі бойындағы 
ұзындығы  2,8-ге тең (А
х
=2,8), ал  у  осіндегі ені  3-ке тең (А
у
=3). Бұл өлшемдер  
А  нүктесінің  П
1
  горизонталь жазықтығындағы орнын анықтайды. Ал, 
кеңістікте орналасқан   А  нүктесінің биіктігі мен  z  осі бойындағы биіктік 
6-ға тең  (А
z
=6). 
Енді  В  нүктесінің  х  осі 
бойындағы мəні  6,5-ке тең 
(В
х
=6,5), ал  у  осіндегі ені 
 
6,3-ке тең  (В
у
=6,3). Алдыңғы 
мысалдағыдай, бұл өлшем-
дер  В  нүктесінің  П
1
    жа-
зық тығындағы орналасу 
жағ дайын анықтайды. Ал 
кеңістіктегі  В  нүктесі мен 
 
П
1
  жазықтығының ара 
қа-
шықтығы  5-ке  (В
z
=5)  тең, яғни  
нүктенің   z   осі  бойын дағы  
биіктігі 5-ке тең, сондықтан 
 
П
1
  жазықтығындағы нүк 
те-
нің кесіндісі  (В
2
)  арқылы 
белгіленеді. Мұнда  5 
 
саны теріс таңбалы сан, 
өйткені кеңістіктегі нүкте 
 
П
1
  жазықтығының төменгі 
жағында орналасқан. 
Егер кеңістікте орна-
ласқан нүктелер проекция-
лау жазықтығының бойын-
да орналасқан болса, онда 
нүктелердің бір проекциясы 
ось бойында кескінделеді. 
Мысал ретінде 62-суретте 
көрсетілген  С нүктесінің 
z
2
A
х
y
O
2
4
6
8
10
12
2
4
6
8
10
12
1
A
1
B
1
C
1
П
2
П
2
C
2
B
2
4

70
орна ласуын алайық. Жазық тықта жатқан  С  нүктесінің  х  осі бойындағы 
ұзындығы  10,2-ге тең  (С
х
=10,2), ал  у  координата осіндегі ені  8-ге тең  
(С
у
=8). Сонымен бұл өлшемдер  С  нүктесінің  П
1
  жазықтығындағы орналасу 
орнын анықтайды. Ал, С нүктесі  П
1
  проекциялау жазықтығының бойында 
орналасқандықтан, биіктік таңбасы нөлге  (С
z
=0)  тең болады, яғни нүктенің  
z  осі бойындағы биіктігі  0-ге тең, сондықтан  П
2
  жазықтығындағы нүктенің 
кескінін (проекциясын)  С
0
  арқылы белгілейді.
§ 5.2 Түзу сызықтың проекциясы
 
Түзу сызық дегеніміз - бір түзу бойындағы нүктелер жиынтығы. Мектеп 
бағдарламасында геометрия пəнінен өткеніміздей, бір нүктеден басталып 
сызылған түзуді сəуле дейміз. Ал, екі нүктеден өткен түзуді кесінді дейміз. 
Жоғарыда көрсетілгендей сызба геометрияда түзу сызықтар, нүктелер 
жиынтығы болғандықтан, түзу сызық үзіктерін кесінді ретінде ала 
береміз, өйткені оны екі нүкте арқылы берген қолайлы. Сызба геометрияда 
түзу сызықтардың маңызы  өте зор, өйткені сызықтардың көмегімен 
кеңістіктегі жəне өмірде мүлдем кездеспейтін нəрсенің кескінін проекция 
жазықтықтарында көрсете аламыз жəне жазықтықтағы кескіндері арқылы 
көрнекі кескіндерін салуға болады.
Түзу сызықтың кескінін салу үшін түзудің екі нүктесінің кескінін салып, 
осы табылған екі нүктені өзара қоссақ, табылған кесінді түзу сызықтың 
проекциясы болады. Мысал 
қарастырайық, 63-суретте көр-
сетілгендей кеңістікте орна-
ласқан  АВ  түзу сызығын 
аламыз. Түзу сызықтың бас-
тапқы жəне соңғы нүктелері  П
1 
 
көлбеу жазықтығының жоғарғы 
жағында орналасқан, яғни түзу 
сызықтың нүктелері оң таң-
балы. 
Кеңістікте орналасқан  А 
 
нүк тесі мен В нүктесінен гори-
зонталь жəне фронталь прое-
кция жазықтықтарына пер-
пендикуляр сəулелер жүр-
гіземіз. Бұл дегеніміз  АВ  түзу 
сызығының  П
1
  горизонталь 
(көлбеу) жазықтығындағы 
y
B
0
z
x
A
1
В
2
В
1
П
2
П
2
А
1
А

71
про ек циясы    А
1
В
1
  болады. Ал фронталь 
проекция жазықтығындағы проекция  А
2
В
2
  
түзу сызығы болады. 
Енді  П
1
  проекция жазықтығын  П
2  
проекция жазықтығымен өзара беттестіріп, 
жоғарыда аталған кеңістікте орналасқан 
 
АВ  түзу сызығының эпюрін саламыз 
(64-сурет). Ол үшін координата жүйесін 
пайдаланып,  А  жəне  В  нүктелерінің 
координаталардағы мəнін анықтаймыз. 
63-суретте көрсетілгендей  П
1
  горизонталь 
проекция жазықтығындағы түзу сызығын 
 
А
1
В
1
  проекциясынан  х жəне  у  осьтеріне 
перпендикуляр сəулелер жүргізіп, түзудің 
координата бойындағы мəндерін (В
х 
=11,2; 
А
х
=4,8; А
у
=4; В
у
=8) анықтаймыз. Ал,  П
2
  
фронталь проекция жазықтығындағы түзу 
сызығын  А
2
В
2
  проекциясынан  х  жəне  z  
осьтеріне перпендикуляр сəулелер жүргізіп, 
осы осьтердегі түзу сызықтың мəндерін (В
х 
=11,2; А
х
=4,8; А
z
=6; В
z
=3) 
анықтаймыз. Осы анықталған нүктелердің мəндері арқылы оларды эпюрдегі 
осьтерге өлшеп, түзу сызықтың  А
1
В
1
  жəне  А
2
В
2
  проекцияларын саламыз. 
Бұл табылған түзулер кеңістікте орналасқан түзудің эпюрасы болады.
Түзу сызықтар проекция жазық тығына орналасуларына байланысты жалпы 
жəне дербес жағдайда орналас қан түзу сызықтар болып екі түрге бөлінеді. 
Дербес жағдайда орналасқан түзу проекция жазықтықтарына параллель 
(деңгейлік) немесе перпендикуляр орналасқан (проекциялаушы) түзу болып 
бөлінеді. Төменде осы аталған жағдайдағы түзулерді қарастырамыз.
5.2.1 Жалпы жағдайда орналасқан түзулер
Егер кеңістікте орналасқан түзу сызық горизонталь, фронталь жəне профиль 
проекция жазықтықтарына параллель немесе перпендикуляр болмаса жəне 
осы жазықтықтардың бойында жатпаса, онда мұндай түзуді жалпы жағдайда 
орналасқан түзу сызық дейді (65-сурет). Жалпы жағдайда орналасқан түзу 
сызық кескіні проекция жазықтықтарына өзі шын ұзындығымен (нақты 
шамасымен) кескінделмейтінін анықтаймыз. 
65-суреттің  жоғарғы жағында түзу сызықтың кеңістіктегі жалпы жағдайда 
орналасқан  АВ  түзу сызығы қара түсті сызықпен берілген. Осы кеңістіктегі 
түзу сызықтың  А  жəне  В  төбелерінен бірінші  П
1
  горизонталь проекция 
х
y
1
П
O
1
А
2
А
1
В
2
В
2
П
z

72
жазықтығына екінші П
2
 фронталь про-
екция жазықтығына перпендикуляр 
сəулелер жүргіземіз. Бұл сəулелер про-
екция жазықтықтарымен қиылысып, 
 
А
1
В
1
  жəне  А
2
В
2
  нүктелерін береді.
Егер осы табылған нүктелерді өзара 
қоссақ, онда кеңістікте орналасқан 
жал 
пы жағдайдағы түзу сызықтың 
гори 
зонталь жəне фронталь проекция 
жазықтығындағы проекциясын табамыз. 
Бұл табылған проекциялар қызыл түсті 
түзу сызықпен көрсетілген. 
Осы мысалдан жалпы жағдайда орна-
ласқан  АВ  түзу сызығының көлденең  П
1
  
горизонталь проекция жазықтығы мен 
 
П
2
  фронталь проекция жазықтығына 
жасай  тын бұрыштық шамасы  
α 
  жəне  
E
 
бұрыштарын көрсетеміз (65-сурет).
5.2.2 Дербес жағдайда орналасқан 
түзулер
Кеңістіктегі түзу сызықтар өз 
дері-
нің проекция жазықтықтарына орна-
ласуларына байланысты екі түрге 
бөлінеді: параллель жəне 
проек циялаушы түзулер. 
Егер кеңістікте орналасқан 
түзу сызықтың кескіні  П
1
  
горизонталь проекция жазық-
тығына,  П
2
  фронталь проек-
ция жазықтығына  жəне  П
3
  
профиль проекция жазық-
тығына параллель немесе пер-
пендикуляр орналасса, онда 
мұндай түзулерді дербес жағ-
дайда орналасқан түзулер 
дейміз. 
Егер кеңістікте орналасқан 
х
y
O
1
B
1
П
A
1
А
1
В
2
А
2
В
В
2
П
1
П
2
П
2
B
2
А
1
А
z
х
В
х
А
х
А
х
В
D
E
1
B
1
П
B
1
A
A
2
B
2
А
2
П

73
түзу П
1
  горизонталь проекция жазық-
тығындағы кескініне немесе түзу сызықтың  
П
2
  фронталь проекция жазықтығындағы 
кескіні  х  осіне параллель орналасса, 
онда мұндай дербес жағдайда орналасқан 
түзулерді параллель түзулер дейді 
(66-сурет). Мысал қарастыратын болсақ, 
онда 66-суретте параллель орналасқан түзу 
сызықтың кеңістікте орналасқан кескіні 
көрсетілген.
Ал, 67-суретте кеңістікте орналасқан 
дербес жағдайдағы параллель түзу сы 
зық-
тың  П
1
  горизонталь проекция жазық тығы 
мен  П
2
  фронталь проекция жазықтығындағы 
проекциясы көрсетілген. 
Дербес жағдайда орналасқан 
параллель түзу сызық проекциясы 
 
П
1
  жазықтығына параллель орналас-
қан дықтан, түзудің жазықтығындағы 
кескіні нақты  шамасымен 
 
кескінделеді, яғни түзу сызықтың  П
1
  
проекция жазықтығындағы кескіні түзудің 
шын ұзындығы (нақты шамасы) болады. 
Енді дербес жағдайда орналасқан проек-
циялаушы түзуді қарастырайық (68-сурет). 
Егер дербес жағдайда орналасқан түзу сызық  
П
1  
проекция жазықтығына перпендикуляр 
(тікше) орналасса, яғни түзудің  П
1 
 гори-
зонталь проекция жазықтығындағы проек-
циялары бір нүктеде беттескен бір ғана нүкте 
болса, онда мұндай түзу сызықты горизонталь  
проекциялаушы  түзу  сызық  дейді. 
O
х
y
1
П
1
A
1
B
2
A
2
В
z
2
П
1
B
1
П
B
1
A
A
2
B
2
А
2
П
1
B
1
П
1
A
2
B
2
А
2
П

74
68-суретте горизонталь проекциялаушы түзу сызықтың кеңістікте 
орналасқан кескіні көрсетілген. Суретте түзу сызықтың кеңістіктегі 
орналасуын қара сызықпен көрсетілсе, фронталь проекция жазықтығындағы 
кескінін қызыл түсті сызықпен көрсетілген. 
Ал, 69-суретте кеңістікте орналасқан түзу сызықтың эпюрасы, яғни 
түзудің көлбеу  П
1
  проекция жазықтығындағы кескіні мен  П
2
  проекция 
жазықтығындағы проекциясы көрсетілген. 
Дербес жағдайда орналасқан горизонталь проекциялаушы түзу сызық  П
1
  
проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқандықтан, түзу сызықтың 
 
П
2
  проекция жазықтықтағы кескіні шын ұзындығымен кескінделеді. Түзу 
сызықтың  П
2
  проекция жазықтығындағы кескіні түзудің нақты шамасы 
болады, ол сызық қызыл түспен сызылған, өйткені түзу сызық  П
2
  фронталь 
проекция жазықтығына параллель орналасқан.
5.2.3 Түзу сызықтың ізі
Түзу сызықтың іздері деп кеңістікте орналасқан түзу сызықтың проекция 
жазықтықтарымен қиылысу нүктелерін айтады. Бізде үш проекция 
жазықтықтары болғандықтан, түзу сызықтың үш ізі болады. Түзу сызықтың  
П
1
  горизонталь проекция жазықтығындағы ізін латынның үлкен  М  əрпімен 
белгілейміз. Ал түзу сызықтың  П
2
  фронталь проекция жазықтығындағы ізін 
латынның үлкен  N  əрпімен, ал  П
3
  профиль проекция жазықтығындағы ізін  
Р  əрпімен белгілейміз. 
Енді кеңістікте ор-
на 
ласқан жалпы жағ-
дайдағы түзу сызықтың 
проек ция жазық 
тық-
та рындағы 
ізде рін 
са лу ға 
мысал 
қарас-
тырайық  (70-су р ет).  Ол 
үшін бірінші октантта 
жалпы жағдайда ор-
на 
ласқан АВ түзу 
сызығын алайық. 
Егер жалпы жағ-
дайда орна ласқан түзу 
сызықты бас 
тапқы 
нүктесінен соңғы нүк-
тесіне қарай немесе, 
керісінше, соңғы нүк-
1
A
1
B
B
A
1
M
1
П
s
s
2
A
2
В
2
М
2
П
1
N
2
N
3
A
3
В
1
Р
3
Р

75
тесінен бастапқы нүктесіне қарай өз бағытымен проекция жазықтықтарына 
дейін созып қиылыстырсақ, онда біз үш проекция жазықтықтарында түзудің 
қиылысу нүктелерін табамыз (70-сурет). Түзу сызықтың  А  нүктесінен  В  
нүктесіне қарай  s  бағытымен көлденең  П
1
  проекция жазықтығына дейін 
созамыз. Бұл созылған түзу сызық  П
1
  горизонталь проекция жазықтығын  М
1
  
нүктесінде қиып өтеді. Осы қиылысу нүктесі түзудің  П
1
  жазықтығындағы  ізі  
болып табылады. 
Егер  АВ  түзуін əрі қарай созсақ, онда түзу сызықтың  П
2
  фронталь 
проекция жазықтығындағы ізі  N
2
  нүктесін табамыз. Ал егер түзу сызықтың  
В  нүктесінен  А  нүктесіне қарай  s   бағытымен профиль  П
3
  проекция 
жазықтығына дейін созсақ, онда созылған түзу сызық  П
3
  проекция 
жазықтығын  Р
3
  нүктесінде қиып өтеді. Бұл қиылысу нүктесі түзу сызықтың  
П
3
  профиль проекция жазықтығындағы  ізі  болып табылады.
Төмендегі  71-суретте кеңістіктегі жалпы жағдайда орналасқан түзу 
сызықтың үш проекция жазықтықтарындағы іздерін эпюрде көрсетеміз. 
Алдымен түзу сызықтың үш проекция жазықтықтарындағы проекциясын 
анықтап аламыз. Содан соң түзу сызықтың  А  нүктесінен  В  нүктесіне қарай  
s  бағытымен  П
1
    жəне    П
2
  проекция жазықтықтарына дейін созамыз. Бұл 
созылған түзу сызық  П
1
  горизонталь проекция жазықтығын  М
1
  нүктесінде, 
ал  П
2
  фронталь проекция жазықтығын  N
2
  нүктесінде қиып өтеді. Енді түзу 
сызықтың  В  нүктесінен  А  нүктесіне қарай  s  бағытымен  П
3
  проекция 
1
A
1
B
1
M
1
П
s
2
A
2
В
2
М
2
П
s
z
x
y
O
1
N
2
N
1
Р
1
Р
3
Р
3
А
3
В
2
Р
3
П
y

76
жазықтығына дейін созамыз. Созылған 
түзу сызық  П
3
  профиль проекция 
жазықтығын  Р
3
  нүктесінде қиып өтеді.
Енді кеңістіктегі жалпы жағдайда 
орналасқан тағы бір түзу сызықтың екі 
проекция жазықтықтарындағы іздері-
нің эпюрін табуға мысал қарастырайық 
(72-сурет). Суретте көрсетілгендей 
жалпы жағдайда орналасқан  АВ 
 
түзу сызығын аламыз. Алдымен, 
 
А
2
В
2
  түзу сызығының  П
2
  проекция 
жазықтығындағы проекциясын  А 
 
нүктесінен  В  нүктесіне қарай  s 
 
бағытымен  х  осіне дейін созып,  М
2
  
нүктесін белгілеп аламыз. Содан кейін 
П
1
  проекция жазықтығындағы  А
1
В
1
  
түзу сызығының  проекциясын  В  нүктесінен  А  нүктесіне қарай  s  бағытымен  
х  осіне дейін созып,  N
1
  нүктесін анықтап, сəуле жүргіземіз. N
1
  жəне  М
2
  
нүктелерінен жүргізілген сəулелер  А
1
В
1
  жəне    А
2
В
2
 проекцияларының 
созындысымен  N
2
  жəне  М
1
  нүктелерінде қиылысады. Бұл табылған нүктелер  
кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы  АВ  түзу сызығының  П
1
  жəне  П
2
  
проекция жазықтығындағы горизонталь жəне фронталь іздері болады.
§ 5.3 Жазықтықтың 
проекциясы
Жазықтық дегеніміз 
- нүктелер мен түзулер-
дің жазық бір беттегі 
жиын тығы 
(73-сурет). 
Жазықтықтар – барлық 
гео метриялық  элемент-
тердің ішіндегі  ең ма-
ңыз 
ды түрі. Жазық-
тықтар ғылым мен 
техникада, сəулет жəне 
бейнелеу өнерінде, тағы 
да сол сияқты басқа да 
əртүрлі салаларда кеңі-
нен қолданылады. Əри-
не, сызба геометрия 
х
y
1
П
O
1
А
2
А
1
В
2
В
2
П
z
2
N
1
N
1
M
2
M
1
А
1
В
1
С
А
В
С
2
А
2
В
2
С
2
П

77
инженерлердің негізгі пəні болғандықтан, жазықтықтардың теориялық 
зерттеулеріне үлкен көңіл бөлінеді. Жазықтық - нүктелер мен түзулердің 
жазық бір беттегі жиынтығы деген тұжырым  – математика саласынан 
алғанда, ал геометрия жағынан алғанда жазықтықтың бірнеше анықтамалары 
бар. Жазықтықтар төменгі бірнеше жағдайларда беріледі:
Егер бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте берілсе, онда осы нүктелер 
арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық үш нүкте арқылы 
беріледі. 
Егер өзара қиылысқан немесе өзара параллель екі түзу сызықтар берілсе, 
онда осы түзулер арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық 
өзара қиылысқан немесе өзара параллель екі түзу сызықтар арқылы беріледі. 
Егер түзу сызық пен сол түзу бойында жатпайтын нүкте берілсе, онда осы 
түзу мен нүкте арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық түзу 
сызық пен осы түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы беріледі. 
Сызбада жазықтықтар əртүрлі геометриялық фигуралар арқылы да бері-
ле 
ді (көбінесе үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш, трапеция, 
параллелограмм, т.с.с. ). 
Сонымен қатар жазықтықтар проекция жазықтығындағы  ізі  арқылы да 
беріледі. 
Жазықтықты сандық белгілері бар 
проекцияларда екі əдіспен анықтауға 
болады: көлбеулік масштабпен жəне 
геометриялық элементтермен (үшбұ-
рышпен, төртбұрышпен жəне т.б.с.с.).
5.3.1 Жалпы жағдайда орналасқан 
жазықтықтар
Егер кеңістікте орналасқан жазықтық 
проекция жазықтықтарына параллель 
не месе перпендикуляр орналаспаған 
бол 
са, онда мұндай жазықтық жалпы 
жағ дайда орналасқан жазықтық деп 
аталады. 
Мысал ретінде алдымызда көрсетіл-
ген 73 жəне 74-суреттерді алатын болсақ, 
73-суретте кеңістіктегі орналасқан жал-
пы жағдайдағы жазықтық үшбұрыш 
арқылы берілген. Бұл  АВС  үшбұрышы 
екі проекция жазықтықтарына парал-
лель де, перпендикуляр да емес, яғни бұл 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В

78
жазықтықтың көлденең  П
1
  жəне  П
2
  фронталь проекция жазықтықтарындағы 
проекциялары – əртүрлі үшбұрыштар. Ал 74-суретте жалпы жағдайда 
орналасқан жазықтықтың эпюрасы берілген. Жалпы жағдайда орналасқан 
жазықтықтың эпюрасын салу үшін үшбұрыштың төбелері  А, В  жəне  С  
нүктелерін координаталар арқылы салып алып, араларын өзара қосамыз.
5.3.2 Дербес жағдайда орналасқан жазықтықтар
Дербес жағдайда орналасқан жазықтықтар үш проекция жазықтығына 
орналасуына байланысты параллель немесе перпендикуляр болып екіге 
бөлінеді. Параллель жəне перпендикуляр дербес жағдайда орналасқан 
жазықтықтар өзара үшке бөлінеді, себебі бізде горизонталь, фронталь жəне 
профиль проекция жазықтықтары бар. Енді төменде осы аталған дербес 
жағдайда орналасқан жазықтықтардың кейбір түріне мысалдар келтіреміз. 
Егер жазықтық төбелері  П
1
  горизонталь проекция жазықтығына бірдей 
арақашықтықта орналасқан болса, онда жазықтық көлденең  П
1
  проекция 
жазықтығына параллель орналасқан дербес жағдайдағы жазықтық болады 
(75-сурет). Кеңістікте орналасқан жазықтық проекция жазықтығына 
параллель орналасқандықтан, оның проекция жазықтығындағы кескіні 
нақты шамасымен кескінделеді. Мысал қарастырайық, 75-суретте  АВС 
 
үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың кеңістіктегі кескіні көрсетілген. 
1
А
1
В
А
В
2
А
2
В
2
С
2
П
1
С
С

79
Бұл жазықтық  П
1
  фронталь проек-
ция жазықтығына параллель орна-
ласқан, себебі  П
1
  проекция жазық-
тығындағы жазықтықтың  А
1
В
1
С
1
  
проекциясы кеңістікте орналасқан 
 
АВС  үшбұрышына параллель жəне 
проекция жазықтығы мен кеңістіктегі 
жазықтықтың аралары өзара тең. 
Ал, 76-суретте кеңістікте орналасқан  
АВС  үшбұрышы арқылы берілген 
жазықтықтың эпюрасы көрсетілген. 
Сары  П
1
  горизонталь проекция жазық-
тығында  АВС  үшбұрышы арқылы 
берілген жазықтықтың проекциясы 
мен көк  П
2
  фронталь проекция 
жазықтықтығында  АВС  үшбұрышы 
арқылы берілген жазықтықтың проек-
циясы түзу сызық ретінде берілген. 
Егер берілген жазықтықтың 
фронталь проекциясы бір ғана сызық 
жəне  х  осіне параллель орналасса, 
онда кеңістіктегі орналасқан жазықтық горизонталь (көлденең) проекция 
жазықтығына параллель   болады. Жазықтықтың горизонталь проекциясы 
нақты шамасымен проекцияланады. 
Енді жазықтықтың дербес жағдайда орналасқан перпендикуляр 
жазықтықтарына мысал қарастырайық (77-сурет). 77-суретте сары  П
1
  
горизонталь проекция жазықтығына кеңістікте орналасқан перпендикуляр 
 
АВС  жазықтығының кеңістіктегі кескіні көрсетілген. Егер кеңістікте 
орналасқан  АВС  жазықтығының барлық төбелерінен көлденең  П
1
  фронталь 
проекция жазықтығына перпендикуляр сəулелер түсіргенде,  П
1
  фронталь 
проекция жазықтығындағы кескіні түзу сызық болса, онда кеңістікте 
орналасқан дербес жағдайдағы жазықтық горизонталь проекция жазықтығына 
перпендикуляр жазықтық болады. 
78-суретте кеңістікте орналасқан перпендикуляр  АВС  жазықтығының 
сары  П
1
  горизонталь жəне көк  П
2
  проекция жазықтықтарындағы кескіндері 
(проекциялары) көрсетілген. 
Егер дербес жағдайда орналасқан кеңістіктегі жазықтық проекциясы 
көлденең  П
1
  горизонталь проекция жазықтығында түзу сызық ретінде, 
ал  П
2
  фронталь проекция жазықтығындағы проекциясы үшбұрыш болып 
кескінделсе, онда кеңістікте орналасқан  АВС  жазықтығы көлденең  П
1
  
горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан жазықтық 
болады. 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В

80
78-суреттің горизонталь проекция 
жазықтығында  АВС  жазықтығының 
проекциясы бір ғана түзу сызық болып 
кескінделген, яғни жазықтықтың үш 
төбесі бір түзуге проекцияланып тұр. 
Ал,  П
2
  фронталь проекция жазық-
тығындағы проекциясы үшбұрыш болып 
кескінделеді. 
Ескерту, бұл  П
2
  фронталь проекция 
жазықтығындағы  АВС  жазықтығының 
проекциясы үшбұрыш нақты шамасы мен 
проекцияланбаған, себебі бұл жазықтық 
фронталь проекция жазық тығына парал-
лель емес.
1
А
1
В
1
С
А
В
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В

81
5.3.3 Жазықтықтың деңгей сызығы
Жазықтықтың деңгей сызығы деп проекция жазықтығына параллель 
сызықтарды айтады. Тікбұрышты жазықтықтар жүйесінде үш проекция 
жазықтығы болғандықтан, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы 
жазықтықтың үш негізгі (деңгей) сызықтары горизонталь, фронталь жəне 
профиль деңгей сызықтары болады. Бұл сызықтардан басқа кеңістікте 
орналасқан жазықтықтың горизонталь проекция жазықтығына ең үлкен 
құлама сызығы, фронталь проекция жазықтығына ең үлкен құлама сызығы 
жəне профиль проекция жазықтығына ең үлкен құлама сызығы болады. 
Ал, сандық белгілері  бар проекцияларда бір ғана көлденең  П
0
  проекция 
жазықтығы болғандықтан, жалпы жағдайдағы жазықтықтың бір ғана 
горизонталь деңгей түзуі болады. 
Егер кеңістікте орналасқан жазықтық бойындағы түзу сызық 
тар 
горизонталь проекция жазықтығына параллель орна 
ласса, онда мұндай 
түзулерді горизонталь деңгей түзу сы зықтары дейді. Горизонталь деңгей түзу 
сызықтары латынның кіші  h  əрпімен белгіленеді.
Егер кеңістікте орналасқан жазықтықтардағы түзу сызықтар фронталь 
проекция жазықтығына параллель болса, онда мұндай түзулерді фронталь 
деңгей түзу сызықтары дейді. Фронталь деңгей түзу сызықтары латынның 
кіші  f  əрпімен белгіленеді.
Егер кеңіс-
тікте орна 
лас-
қан жазықтық 
б о й ы н д а ғ ы 
түзу  лер 
про-
филь проекция 
ж а з ы қ т ы ғ ы н а 
параллель орна-
ласса, онда мұн-
дай түзу 
лерді 
профиль деңгей 
түзу сызықтары 
дейді. Бұл түзу 
сызықтар ла-
тын ның кіші  р  
əрпімен белгі-
ленеді.
Егер кеңіс-
тікте орна 
лас-
қан жазық 
тық 
б о й ы н д а ғ ы 
1
А
1
В
1
С
А
В
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
h
2
h
h
f
2
f
1
f
1
M
2
M
M

82
түзу сы 
зықтар жазықтықтың 
горизонталына перпендикуляр 
орналасса, онда мұндай түзулерді 
жазықтықтың ең үлкен құлама 
сызығы дейді. Бұл сызықтар гректің 
кіші  φ  əрпімен белгіленеді.
Мысал ретінде 79-суреттегі 
 
АВС  үшбұрыш арқылы берілген 
жазықтықтың бойында жатқан 
деңгей түзулерінің көрнекі кескінін 
қарастыралық. Суретте кеңістікте 
орналасқан горизонталь, фронталь 
жəне ең үлкен құлама сызығына 
мысалдар көрсетілген.
80-суретте осы кеңістікте 
орна 
ласқан жазықтықтың дең-
гей түзулерінің горизонталь 
жəне фронталь проекция жазық-
тықтарындағы эпюрасын қарас-
тыралық. Үшбұрыш арқы 
лы 
берілген жазықтықтың горизонталь 
жəне фронталь проекциялары 
берілген. Осы жазықтық бойында 
жатқан деңгей түзулерін жүргізу 
үшін А
2
  нүктесінен  х  осіне параллель сəуле жүргіземіз.  Бұл сəуле 
үшбұрыштың  В
2
С
2
  қырын қиып өткен нүктеден байланыс сызығының 
көмегімен үшбұрыштың горизонталь проекциясындағы  В
1
С
1
  қырын қиып 
өтіп, нүкте береді. Егер осы нүкте мен  А
1
  нүктесін қоссақ,  f
1
  түзу сызығын 
табамыз. Табылған түзу сызық жазықтықтың горизонталы болады. Міне, 
осындай жолмен жазықтықтың фронталь деңгей сызығын табамыз. Ал, 
жазықтықтың ең үлкен құлама сызығын табу үшін, жазықтықтың горизонталь 
сызығына, яғни  f
1
  сызығына үшбұрыштың  С
1 
 төбесінен перпендикуляр сəуле 
жүргіземіз. Табылған сызық АВС  үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың 
ең үлкен құлама сызығы болып табылады.
5.3.4 Жазықтықтың ізі
Жазықтықтың ізі деп кеңістікте орналасқан жазық 
 
тықтың проекция 
жазық тықтарымен қиылысу сызығын айтады. Кеңістікте жалпы жағдайда 
немесе дербес (ерекше) жағдайда орналасқан  Р  жазықтығы орналасады. Осы 
1
В
1
С
2
А
2
В
2
С
2
П
1
А
1
В
1
П
х
С
х
А
х
В
2
h
2
f
1
h
1
f

83
орналасуларына байланысты проекция жазықтықтарында үш немесе екі ізі 
болады. 
Енді жалпы жағдайда орналасқан жазықтыққа мысал қарастырайық 
(81-сурет). 
81-суретте П
1
  жəне  П
2
  проекция жазықтықтары берілген. Р  жазықтығы  
П
1
  жəне  П
2
  проекция жазықтықтарымен  Р
1
  жəне  Р
2
  қызыл сызықтарында 
қиылысып,  Р  жазықтығының ізін береді. Осы жалпы жағдайда орналасқан  
Р  жазықтығы бойында  АВС  үшбұрышы орналасқан болсын. Бұл  АВС  
үшбұрышының  АВ, ВС  жəне  АС  қырларынан жеке түзу сызық ретінде 
қарастырып, горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы  М
СВ
, 
М
АВ
    жəне    N
ВС
  іздерін тауып аламыз. Табылған нүктелерді өзара қосып, 
жазықтықтың ізін саламыз (81-cурет). 
2
А
2
П
2
В
1
С
А
В
С
1
В
1
А
2
С
1
Р
2
Р
х
Р
Р
1
С
2
С
АВ
М
СВ
М
АС
М
BC
N
BC
N
Ал, енді осы кеңістікте орналасқан   Р   жазықтығының ізін эпюрда 
 
 
қарастырайық (82-сурет). Р  жазықтығының бойында орналасқан  АВС 
 
үшбұрышын аламыз. Осы  АВС  үшбұрышының  АВ жəне АС қырларын 
алып, оларды  П
1
  проекция жазықтығына дейін созып,  М
АВ
  жəне  М
АС
  іздерін 
анықтаймыз. Осы табылған іздерді өзара қосып,  Р  жазықтығының горизонталь 
проекция жазықтығындағы  Р
1
 ізін анықтаймыз. Бұл жа з  ықтық ізі  х  осімен  Р
х
  
нүк тесінде қиылысады. Үш бұр ыштың фронталь проек ция жазықтығындағы 

84
проек ция сының    ВС
   
қырын 
жазықтыққа дейін cозып, 
 
П
2
  проекция жазықтығында  
ВС  қырының ізін – N
ВС
  
нүктесін табамыз. Егер 
осы  N
ВС
  нүктесі мен  Р
х
  
нүктесін қоссақ, онда  Р 
 
жазықтығының фронталь 
проек  ция  жазықтығындағы  
Р
2
  ізін табамыз. 
Келесі екі мысалда дер бес 
жағдайда орналасқан проек-
цияланушы жазықтықтарды 
қарастырайық (83-86 сурет-
тер). 
83-суретте кеңістікте ор-
на 
ласқан  дербес жағдай-
2
А
2
П
2
В
1
В
1
А
1
Р
2
Р
х
Р
1
С
2
С
АВ
М
АС
М
BC
N
2
А
2
П
2
В
1
С
А
В
С
1
В
1
А
1
Р
2
Р
х
Р
Р
1
С
2
С

85
дағы фронталь  Р  проек цияланушы жазықтық тың кеңістіктегі кес кіні көр се-
тілген. 
Ал 84-суретте осы жа зық-
тықтың горизонталь жəне 
фронталь проекция жазық-
тықтарындағы эпюрасы көр-
сетілген.
Енді 85-суретте кеңіс-
тікте орналасқан дербес 
жағ дайдағы  Р  горизонталь 
проекциялану шы жазық-
тықтың кеңістіктегі кескіні 
берілген. Ал, 86-суретте 
кеңістікте орналасқан дер-
бес жағдайдағы  Р  фрон-
таль проек 
цияланушы жа-
зық тықтың гори 
зонталь 
жəне фронталь проек ция жа-
зықтықтарындағы эпюрасы 
көр сетілген. Фронталь  П
2
  
2
А
2
П
2
В
1
В
1
А
1
Р
2
Р
х
Р
1
С
2
С
2
А
2
П
2
В
В
С
1
В
1
А
1
Р
2
Р
х
Р
Р
1
С
2
С
А
2
А

86
1.  Нүктелердің фронталь жəне горизонталь проекциясы дегеніміз не?
2.  Монж эпюрі дегеніміз не?
3.  Түзу сызықтың эпюрасы дегеніміз не?
4.  Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызық дегеніміз не?
5.  Түзу сызықтың нақты шамасы дегеніміз не?
6.  Дербес жағдайда орналасқан түзу сызықтар дегеніміз не?
7.  Параллель түзу сызықтар дегеніміз не?
проек ция жазықтығын 
да  АВС 
 
үшбұрыш ретінде проекцияланған. 
Ал, горизон 
таль  П
1
  проекция 
жазық тығында  АВС  үшбұрышы 
жазықтықтың горизонталь  Р
1
  ізі-
мен беттесіп, түзу сызықты береді. 
Егер дербес жағдайда орна-
ласқан жазықтық проекция жаз-
ықтықтарына параллель орна-
ласса, онда жазықтықтың бір ғана 
ізі болып, жазықтықтың екінші 
проекциясы нақты шама 
сымен 
кескінделеді.
Ескерту, дербес жағдайда 
орна ласқан 
проекцияланушы 
жазық тықтардың бір проек 
ция-
сы жазық 
тық ізімен беттессе, 
екінші проекциясы сол 
жазықтыққа ұқсайтын жазықтық 
болғанымен, ол нақты шамасымен  
кескінделмейді.
2
А
2
П
2
В
1
В
1
А
1
Р
2
Р
х
Р
1
С
2
С
Ба ылау 
с ра тары

87
1.  А(30;20;10) нүктесінің Монж эпюрасы мен сандық белгілері бар 
проекциясын салып көрсетіңіз.
2.  В(10;20;-50) нүктесінің эпюрасын салып көрсетіңіз.
3. В(20;20;10) жəне С(15;5;35) 
түзу сызығының сандық 
белгілері бар проекциясын 
салып көрсе тіңіз.
4. А(10;20;40) 
жəне 
В(50;-10;5) 
нүктелері қай ширектерде 
орналасқанын анықтаңыз.
5. А(20;-20;30)  жəне  В(50; 
20;25) нүктелері қай ок-
танттарда орналасқанын 
анықтаңыз.
 
6.  Кеңістіктегі  А нүктесінің 
эпюрасын салып көрсетіңіз 
(1-сурет).
7.  А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерінің салып көрсетіңіз.
8.  Деңгейлік түзу сызықтар дегеніміз не?
9.  Түзу сызықтың көлбеулігі дегеніміз не?
10. Проекцияланушы түзу сызықтар дегеніміз не?
11. Түзу сызықтың ізі дегеніміз не?
12. Жазықтық проекциясы дегеніміз не?
13. Жазықтықтың көлбеулік масштабы дегеніміз не?
14. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не?
15. Дербес жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не?
16. Жазықтықтың ізі дегеніміз не?
17. Жазықтықтың басты (негізгі) сызығы дегеніміз не?
Жатты у есептері
x
y
z
o
A
сурет

1

88
8.  А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерінің проекцияларын профиль 
проекция жазықтығында салып көрсетіңіз.
9. А(20;20;40)  жəне  В(50;-10;15) 
нүктелерінің фронталь жəне 
горизонталь проекцияларын 
жəне кеңістіктегі кескінін салып 
көрсетіңіз (2-сурет).
 
10. Кеңістікте орналасқан  В нүк-
те 
сінің эпюрасы мен коор-
динаталарын көрсетіңіз (3-сур-
ет).
11. 
Жалпы жағдайдағы А (10;20;20) 
жəне В (25;15;35) төбелерінен тұратын 
түзу сызықтың нақты шамасын салып 
көрсетіңіз.
12. 
Жалпы жағдайдағы А (10;20;20) 
жəне В (25;15;35) төбелерінен тұратын 
түзу сызықтың  П
1 
 проекция жазықтығына 
жасаған бұрыштық шамасын салып 
көрсетіңіз.
 
13. 
Кеңістіктегі  СD  түзу сызығының 
нақты шамасын салып көрсетіңіз.
14.  А(40;20;20) жəне В(25;15;20) төбелерінен 
тұратын түзу сызықтың кеңістіктегі 
жағдайын анықтаңыз.
15. 
D(25;15;40) жəне C(25;15;20) 
төбелерінен тұратын түзу сызықтың 
кеңістіктегі жағдайын анықтаңыз.
16. 
Жалпы  жағдайда орналасқан А(10; 
20;20) жəне В(25;15;35) төбе 
лерінен 
тұратын түзу сызықтың  П
2
  жəне  П
1  
проекция жазықтығындағы ізін салып 
көрсетіңіз.
 
17.  Горизонталь проекция жазықтығына  30
0
  градус болатын  АВ  түзуінің 
фронталь проекциясын жəне осы түзудің ізін салып көрсетіңіз 
(5-сурет).
 
x
y
z
o
сурет

2
B
x
o
y

z

сурет

3
x
2
C
1
C
2
1
D
D
{
2
П
1
П
сурет

4

89
18. Жалпы  жағдайда  орналасқан 
А(10;20;20); В(25;15;35) жəне С(5; 10;30)  
төбелерінен тұратын жазық 
тықтың 
П
2
  жəне  П
1  
проекция жазық тығындағы 
проекциясын салып көрсетіңіз.
19.   Жалпы жағдайда орналасқан 
А(10;20;20); В(25;15;35) жəне С(5;10;30)  
төбелерінен тұратын жазық 
тықтың 
деңгейлік сызығын салып көрсетіңіз.
20.  Кеңістіктегі  АВС  үшбұ рышы ның 
горизонталь, фронталь жəне 
ең үлкен құлама сызықтарын 
салып көрсетіңіз (6-сурет). 
21. А(10;20;15); В(25;15;35) жəне 
С(15;10;30) төбелерінен тұра-
тын жазықтықтың  П
2
    жəне  
П
1  
проекция жазықтығындағы 
ізін салып көрсетіңіз.
22.  АВ жəне С  төбелерінен тұратын 
жазықтықтың  П
2
    жəне    П
1  
проекция жазықтығындағы ізін 
салып көрсетіңіз (7-сурет). 
23. 
Дербес жағдайда орна 
ласқан 
гори 
зонталь проекция жазықтығына 
параллель А, В жəне С  төбелерінен 
тұратын жазықтықтың проекциясын 
салып көрсетіңіз.
x
1
A
2
A
1
B
2
П
1
П
сурет

5
сурет

6
x
1
A
2
A
1
B
2
B
1
C
2
C
2
П
1
П
сурет

7

90
Инженерлік графика (сызба геометрия) пəні негізгі екі есептерді шешумен 
айналысады. Бұл есептерді позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық 
(өлшем) есептер деп атайды. 
Позициялық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары 
арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер. 
Позициялық есептер түрлеріне нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте 
мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтың, 
жазықтық пен дене бетінің, екі дене бетінің өзара орналасу есептері жатады. 
Ал, метрикалық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары 
арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, арасындағы бұрышы мен 
ауданын, нақты шамасын т.с.с жағдайын анықтайтын есептер.  

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: