§ 3.1 Орталық (центрлік) проекциялау əдісі

42
кескінделуші  П
0
  жазықтығындағы бір нүктеден (орталықтан) шыққан 
проекциясын табамыз. 
Сонымен, егер кескінделуші сəулелер бір нүктеден шыққан немесе 
тараған болса, онда мұндай проекция тəсілін бір нүктеден немесе орталықтан 
(центрлік) проекциялау əдісі дейді. 
§ 3.2 Параллель проекциялау əдісі
Параллель  проекциялау  əдісін  салу  үшін  келесі  мысалды  қарас-
тырайық. Кеңістікте орна-
лас қан АВ кесіндісі мен 
кескінделуші  П
0
  жазықтығы 
берілсін. Осы кеңістікте орна-
ласқан АВ кесіндісінің  А 
 
жəне  В  төбелері арқылы 
өзара параллель өте 
тін кес-
кінделуші сəулелер жүр-
гізейік. Бұл сəулелер кес-
кінделуші  П
0
  жазықтығын 
екі (А
0
 жəне В
0
) нүктеде 
қиып өтеді. Осы  А
0
    жəне  
В
0
  нүктелерін  өзара  қоссақ,   
онда  біз  кеңістікте  орналас қан  
АВ  кесіндісінің кескін делуші  
П
0
  жазықтығындағы проек циясын табамыз. 
Егер кескінделуші сəуле 
лер  (s)  өзара параллель бол 
са, онда мұндай 
проекция əді 
сін параллель проекция 
лау əдісі дейді (40-сурет). Па 
рал 
лель 
проекциялау əді 
сі кес 
кінделуші  П
0
  жа 
зық 
тығына сəу 
лелердің кес 
 кін-
делулеріне байланысты екі түрге бөлінеді. 
Егер  П
0
  жазықтығына сəу   лелер сүйір немесе доғал бұрышпен кес кінделсе, 
онда параллель проекциялау əдісін қиғашбұрышты параллель проек циялау 
əдісі дейді (40-сурет). 
Ал сəулелер  П
0
  жазықтығына тік бұрышпен кескінделсе, онда параллель 
проекциялау əдісін тікбұрышты параллель проекциялау əдісі дейді (41-сурет). 
Тікбұрышты параллель проекциялау əдісінің дербес түрі – сандық белгілері 
бар проекциялар əдісі (42-сурет).
Егер кеңістікте орналас 
қан нəрсенің (заттың) гори 
зонталь (көлденең) 
немесе нөлдік деңгейлі жазықтығына  П
0
  тікбұрышты проекциялау əдісімен 
кескінделген кескіні сан арқылы белгіленген болса, онда кескінделу əдісі 
сандық белгілері бар проекциялар деп аталады. Бұл проекциялау əдісінде 
B
A
1
П
s
s
0
A
0
B
0
П

43
горизонталь (көлденең) неме-
се нөлдік деңгейлі жазық-
тығында  П
0
  орналасқан 
гео  метриялық 
элемент 
кес-
кінінің жанына оның осы 
жазықтық пен кеңістікте 
орна 
ласқан элементінің ара-
қашықтығын, яғни оның 
биіктігін көрсететін санды 
жазып қояды. Мысал ретінде 
42-суретте көрсетілгендей 
кеңістікте орналасқан  АВ 
 
кесіндісін аламыз. Кесінді 
нің 
 
А  жəне  В  төбелерінен көл-
денең  П
0
  проекция жазық-
тығына перпендикуляр сəу ле лер түсіреміз. Осы сəу лелер көлденең  П
0
  проек-
ция жазықтығын қиып өтеді. 
Табылған нүктелерді латынның 
бас əрпімен бел гілеп, əріптердің 
астыңғы жағына сан арқылы 
осы қиылысқан нүктелер мен 
түзу төбелерінің арақашықтығын 
жазып қояды. 
Егер табылған қиылысу нүк-
телерін өзара қоссақ, онда 
кеңістікте орналасқан  АВ 
 
түзу сызығының көл 
денең  П
0
  
проекция жазық 
тығындағы сан-
дық белгілері бар проекциясы 
болады.
§ 3.3 Ширектер жəне октанттар
3.3.1 Екі тікбұрышты проекция жазықтарының  
жүйесі (ширектер)
Тікбұрышты параллель проекциялау əдісін пайдалана отырып, үшөлшемді 
кеңістікті проекция жазықтықтарын төрт жəне сегіз бөлікке бөлу жолын 
салып көрсетелік. Ол үшін алдымен проекция жазықтықтарын анықтайық. 
Алғашқы проекция жазықтығы ретінде жер бетіне параллель орналасқан 
B
A
1
П
s
0
A
0
B
0
П
s
B
A
1
П
s
0
A
0
B
0
П
s
B
A
s
3
A
5
B
0
П
s

44
жазықтықты алайық (43-сурет). Бұл жазықтықты  П
1
  əрпімен белгілеп, 
оны көлденең (горизонталь) проекция жазықтығы деп атаймыз. 43-суретте 
бұл проекция жазықтығы сары түсті бояумен ерекше көрсетілген. Енді осы 
проекция жазықтығына тікше (перпендикуляр) орналасқан екінші проекция 
жазықтығын алайық. Бұл проекция жазықтығын қарама-қарсы  (фронталь) 
проекция жазықтығы деп, оны  П
2
  əрпімен белгілейміз. Суретте бұл проекция 
жазықтығы көк түспен боялған. Осы өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан 
екі проекция жазықтықтары бір түзудің бойында қиылысады. Бұл қиылысу 
сызығын абсцисса осі деп, латынның  х  əрпімен белгілейміз. Осьтің оң жағы 
абсцисса осінің басы болып саналады, сондықтан оны латынның  О  əрпімен 
белгілейміз. Суретте көрсетілгендей  П
1
  жазықтығының алдыңғы жағы оң 
таңбалы ордината осі деп, оны латынның  у  əрпімен белгілейміз. Ал қарама-
қарсы  П
2
  жазықтығының жоғарғы жағы оң таңбалы аппликата осі болады. 
Оны латынның  z  əрпімен белгілейміз. 
Сонымен осы өзара тікше орналасқан проекция жазықтықтары біздің 
үшөлшемді кеңістігімізді төрт бөлікке бөледі. Бұл бөліктерді ширектер деп 
атайды. 43-суретте бұл ширектер рим сандарымен белгіленген. 
Егер барлық осьтердің таңбалары оң таңбалы болса, онда бірінші ширек 
болады. 
2
П
IV
III
II
I
1
П
О

45
Егер абсцисса мен аппликата осьтерінде оң таңбалы, ал ордината осінде 
теріс таңба болса, онда екінші ширек болады. 
Егер абсцисса осінде оң таңбалы, ал ордината мен аппликата осьтерінде 
теріс таңба болса, онда үшінші ширек болады. 
Егер абсцисса мен ордината осьтерінде оң таңбалы, ал аппликата осінде 
теріс таңба болса, онда төртінші ширек болады.
3.3.2 Үш тікбұрышты проекция жазықтарының 
жүйесі (октанттар)
Өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан екі проекция жазықтықтарына 
үшінші проекция жазықтығын перпендикуляр қиып өтетіндей 
орналастырайық. Бұл үш проекция жазықтықтары өзара тікше орналасып, 
үшөлшемді кеңістікті сегіз бөлікке бөледі. Бұл бөлінген бөліктерді октанттар 
деп атап, рим сандарымен белгілейді (44-сурет). Октант гректің ежелгі сегіз  
деген сөзі.
2
П
IV
III
II
I
1
П
О
3
П
V
VI
VII
VIII

46
Бұл үшінші проекция жазықтығын қаптал (профиль) жазықтығы дейді. 
Қаптал жазықтығын  П
3
  əрпімен белгілейміз. 44-суретте қаптал жазықтығы 
жасыл түспен боялған. Алғашқы екі жазықтықты бұл жазықтық екі қиылысу 
сызығымен қияды.   П
1
  жəне  П
3 
 проекция жазықтықтарында бұл қиылысу 
түзуі ордината осі болады. Ал,  П
2
  жəне  П
3
  проекция жазықтықтары өзара 
қиылысып, аппликата осін береді. 
Төменде 4-кестеде октанттардағы орналасқан нүктелердің координаталық 
таңбалары көрсетілген. Осы таңбаларға қарап, нүктенің қай октантта 
орналасқанын жеңіл анықтай аламыз.
4-кесте – Октанттар таңбалары
Координаталар
Октанттар
І
ІІ
ІІІ
IV
V
VI
VII
VIII
Х
+
+
+
+
-
-
-
-
У
+
-
-
+
+
-
-
+
Z
+
+
-
-
+
+
-
-
3.3.3 Тікбұрышты проекция жазықтарын
өзара беттестіру (эпюр)
Егер қаптал жəне қарсыалды проекция жазықтарын 44-суретте 
көрсетілгендей етіп бұрып, өзара беттестірсек, онда беттескен бір ғана 
проекция жазықтығын аламыз (45-сурет). Енді кеңістікте орналасқан нəрсенің 
жазық кескінін алу үшін осы беттескен бір ғана жазықтыққа сызбасын 
саламыз. Бұл жазық кескінді эпюр деп атайды. Г.Монждың эпюрді ойлап 
табуы сызба геометрияға қосқан ең үлкен еңбегі болып саналады. 
45-суретте горизонталь проекция жазықтығы сары түспен, фронталь 
проекция жазықтығы көк түспен жəне профиль проекция жазықтығы жасыл 
түспен берілген.

47
О
2
П
3
П
1
П

48
1.  Сызбаны проекциялау əдістері дегеніміз не?
2.  Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі дегеніміз не?
3.  Орталық нүктесі дегеніміз не?
4.  Кескінделуші жазықтық дегеніміз не? 
5.  Кескінделуші сəулелер дегеніміз не?
6.   Параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?
7.  Қиғашбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?
8.  Тікбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не?
9.  Сандық белгілері бар проекциялау əдісі дегеніміз не?
 
10.  Үш тікбұрышты проекция жазықтықтарының жүйесі дегеніміз не?
11.  Ширек дегеніміз не?
12.  Ширектер нешеу болады?
13.  Горизонталь (көлденең) проекция жазықтығы дегеніміз не?
14.  Фронталь (қарсыалды) проекция жазықтығы дегеніміз не?
15.  Октант дегеніміз не?
16.  Октанттар нешеу болады? 
17.  Профиль (қаптал) проекция жазықтығы дегеніміз не?
18.  Эпюр дегеніміз не?
19.  Октанттарды қандай сандармен белгілейді?
Ба ылау 
с ра тары

49
1.  Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын орталықтан проекциялау 
əдісі арқылы салып көрсетіңіз (1-сурет).
2.  Кеңістікте орна ласқан АВСD төрт бұрышын парал лель проекциялау 
əдісі арқылы салып көрсетіңіз (2-сурет).
3.  Кеңістікте орналасқан АВСDЕ бесбұрышын параллель проекциялау 
əдісі арқылы салып көрсетіңіз (3-сурет).
4.  Кеңістіктегі  А  нүктесі арқылы  
b  түзу сызығын қиып өтетін  а  түзуінің 
кеңістіктегі кескінін салыңыз (4-сурет).
5.  Кеңістікте орналасқан АВС 
үшбұрышын сандық белгілері бар 
проекциялау əдісі арқылы салып 
көрсетіңіз (5-сурет).
Жатты у есептері
S
А
В
С
1
С
1
А
сурет

1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s
A
1
A
6
сурет

2
A
1
A
6
сурет

3
А
В
С
сурет

5
0
1
1
b
b
6
1
А
А
1
а
сурет

4

50
кесінділердің аксонометриялық проекциялары  (
/
x
e ,
/
y
e ,
/
z
e
)  аксонометрия 
масштабы деп аталады. Бұл кесінділердің айырмашылығы аксонометрия 
проекцияларының бұрмалану көрсеткіштері болады. Бұрмалану көрсеткіштері 
əр координата осінде əртүрлі болуы мүмкін. Аксонометрия проекциясындағы 
абсцисса осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның  p  əрпімен 
белгілейміз 
§ 4.1 Аксонометриялық проекциялардың қысқаша түсініктемесі
Аксонометриялық проекциялар көрнекі кескіндер қатарына жатады. Бұл 
көрнекі кескін параллель проекциялау əдісінің көмегімен тұрғызылады. 
Аксонометриялық проекциялардың тамаша қасиеті - үшөлшемдегі кескінді 
екі өлшемге, яғни сызбаға айналдырады. Аксонометрия ежелгі гректің «оське 
өлшеу» деген сөзінен шыққан. 
Сонымен, кез келген кеңістікте орналасқан нəрсенің аксонометриялық 
проекциясын салу үшін, бірінші қосымша бір  (П
1
)  жазықтығына тікбұрышты 
декарттық осьтер жүйесімен кескіндеп, екінші осы кескінді параллель 
проекциялау əдісінің көмегімен аксонометриялық проекция  (П
/
)  жазықтығына 
кескіндейді. 
Аксонометриялық проекция жазықтығындағы бір нүктеден өтетін кез 
келген үш түзу сызық тікбұрышты координаталар жүйесінің проекциясы 
болады. Мысал ретінде кеңістікте орналасқан кез келген бір  А  нүктеcін 
алайық (43-сурет). Бұл нүкте тікбұрышты координаталар жүйесінде 
орналасқан. Параллель проекциялау əдісі бойынша  s  бағытымен  А  нүктесі 
мен тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі аксонометриялық проекция 
(П
/
) жазықтығына кескінделеді. Осы  (П
/
)  проекция жазықтығындағы  А
/
  
нүктесі кеңістікте орналасқан  А  нүктесінің аксонометриялық проекциясы 
болады. 
Аксонометриялық проекцияның масштабын анықтау үшін кеңістікте 
орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесіне  (Охуz)  координаталар 
жүйесінің бас нүктесінен үш  (е
х
, е
у
, е
z
)  кесіндіні саламыз (43-сурет). Осы 
ІV-тарау
АКЦИОНОМЕТРИЯЛЫ  
ПРОЕЕКЦИЯЛАР

51
(
x
x
e
e
p
/
=
). 
Ал ордината осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның q əрпімен 
белгілейміз 
(
y
y
e
e
q
/
=
).
Аксонометриядағы аппликата осінің бұрмалану көрсеткішін латынның  r  
əрпімен белгілейміз  
(
z
z
e
e
r
/
=
). 
1
A
A
/
П
s
s
x
A
x
y
z
O
z
e
x
e
y
e
/
x
/
z
A
c
/
1
A
/
x
A
/
y
O
/
z
e
/
y
e
/
x
e
Бұрмалану көрсеткіштеріне байланысты аксонометриялық проекциялар 
үш түрге бөлінеді. 
Егер бұрмалану көрсеткіштері барлық осьтерде өзара тең  (
r
q
p
=
=
)  
болса, онда мұндай аксонометриялық проекцияны изометрия деп атайды. Изо-
метрия ежелгі грек тілінен аударғанда «тең өлшем» деген мағынаны береді. 
Егер бұрмалау көрсеткіштері екі осьте ғана өзара тең  (
q
r
p
≠
=
)  болса, 
онда мұндай аксонометриялық проекцияны диметрия дейді. Аудармасы «екі 
өлшемге» тең деген мағына береді. 
Егер бұрмалау көрсеткіштері барлық осьтерде əртүрлі  (
r
q
p
≠
≠
)  болса, 
мұндай аксонометриялық проекция  триметрия  деп аталады.

52
Аксонометриялық проекция проекциялау бағыттарына қарай екі топқа 
бөлінеді. 
Егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты тікбұрышпен  (s=90
0
)  
бағытталса, онда аксонометриялық проекция тікбұрышты аксонометрия деп 
аталады. Ал, егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты сүйір немесе 
доғал бұрышпен (s
2
3
s
s ÷
90
0
) бағытталса, онда аксонометриялық проекцияны 
қиғаш бұрышты аксонометрия деп атайды. 
Проекциялау бағыттары мен бұрмалану көрсеткіштері өзара байланысты, 
бұл тұжырымды төмендегі формуламен дəлелдеуге болады
ϕ
ctg
r
q
p
z
y
x
+
=
+
+
2
2
2
2
.                                     (1)
Егер проекциялау бағыты тікбұрышты болса, яғни осы формуладағы  
2
3
s
s ÷
  
мəні  90
0
  бұрыш болса, онда формула мынадай түрге өзгереді. 
2
2
2
2
=
+
+
z
y
x
r
q
p
                                                 (2)
Жалпы бұрмалану көрсеткіштерінің мəні жуық шамамен бүтін сан ретінде 
беріледі. Əр аксонометриялық проекция үшін бұл сандар əртүрлі болады. 
Олардың мəндерін төменгі бөліктерде қарастырамыз.
§ 4.2 Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері
Аксонометриялық проекцияларға қойылатын негізгі талаптардың 
бірі - нəрсенің кескінін салу оңай болып, мейлінше аз бұрмалануы. Осы 
талаптарды қанағаттандыру мақсатында халықаралық стандарттар ұйымы 
бес түрлі аксонометриялық проекция түрін тағайындаған. Бұл стандарт 
аксонометриялардың  атаулары: тікбұрышты изометрия; тікбұрышты 
диметрия; қиғашбұрышты фронталь изометрия; қиғашбұрышты фронталь 
диметрия жəне қиғашбұрышты горизонталь изометрия. 
4.2.1 Тікбұрышты изометрия 
Аксонометриялық проекциялау əдісінің ішіндегі ең оңай жəне қарапайым 
түрі тікбұрышты изометрия болып табылады. Тікбұрышты изометрияда 
барлық координата осьтерінің аксонометриялық проекциялау жазықтығына 
құлау бұрыштары бірдей жəне барлық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері 
өзара тең болады. 
ϕ

53
Енді осы бұрмалану көрсеткішінің сандық мəнін қарастырайық. Ол 
үшін жоғарыда қарастырылған тікбұрышты бұрмалану көрсеткіштерінің 
(2) формуласын аламыз. Барлық координата осьтерінде мəндер өзара тең 
болғандықтан, 2-формуланың оң жағы былайша өзгереді:
2
3
2
=
p
.                                                      (3)
 
Егер бұл 3-формуланы əрі қарай шешсек, онда координаталардағы осьтер-
дің мəндері төмендегідей болады:
           
 
 
 
 
0. 82    
(4)
Бұл бұрмалану көрсет-
кіш терін тікбұрышты изо-
метрияда қолдануға оңай болу 
үшін жуық шамамен  1-ге  тең 
деп аламыз.
Енді тікбұрышты изо-
метрия проекциясының ко-
орди наталар 
осьтерінің 
ара    сындағы 
бұрыштық 
шама   ларын  44-суретте  көр-
сетілгендей, жазықтықтың 
үшбұрышты іздері арқылы 
қарастырайық. 
Егер кеңістіктегі коор 
ди-
на 
талар осінің бойындағы 
кесінді мен аксоно 
метрия-
лық координаталар осінің 
бойындағы кесінділердің 
қатынастары өзара тең болса, онда бұрмалану көр 
сеткіштері де өзара 
тең болады (44-сурет). Бұл дегеніміз  
∠ Х
/
О
/
Y
/
, 
∠ X
/
O
/
Z
/
    жəне   
∠ Z
/
O
/
Y
/ 
 
үшбұрыштары теңбүйірлі, яғни  [Х
/
Y
/
], [X
/
Z
/
]  жəне  [Z
/
Y
/
]  табандары да 
тең. Осы теңбүйірлі үшбұрыштың бүйірлерінің ұзындықтары изометрия осі 
болады, яғни бұрыштық шамалары да өзара тең. Бұл бұрыш  120
0
  градус 
болады. 45-суретте 120
0
 градустың үш түрлі салу жолы көрсетілген. Бірінші 
жолы - z осіне перпендикуляр болатын сəулені 5 бөлікке бөліп, сол бөлінген 
жерден  z  осіне параллель түскен сəулені үш бөлікке, екінші жолы - екі 
тікбұрыш-ты (60
0
 пен 30
0
 жəне 45
0
 пен 45
0
 градусты) үшбұрышты сызғыштар 
арқылы, үшінші жолы циркульдің көмегімен шеңберді тең үшке бөлу арқылы 
жүзеге асады.
≈
3
2
r
q
p
=
=
=
x
y
z
O
/
X
/
Z
/
Y
/
O

54
/
x
/
y
/
z
O
5
3
0
30
0
120
0
120
Жоғарыда   қарастырылған  бұрмалану  көрсеткіші тек осьтер бойындағы 
шамалар мен осьтерге параллель болатын сызықтар үшін ғана қолданылады.
4.2.1.1 Шеңбердің тікбұрышты изометриясы
Енді шеңбердің аксоно-
метриялық проекциясы тік-
бұрышты изометриясын салу 
жолын көрсетелік. Шеңбердің 
аксонометриялық проек 
ция-
сы эллипс болғандықтан, 
үлкен жəне кіші осьтер бола-
ды (46-сурет). 46-суретте 
эллипстің үлкен осьтері 
аксо нометриялық 
осьтерге 
перпендикуляр болады. Ал 
кіші осьтер сол осьтерге 
бағыттасып немесе беттесіп 
жатады. Эллипстің үлкен 
осінің бұрмалану көрсеткішін 
табу үшін, 1 санын осьтер-
дің бұрмалану көрсеткішіне 
бөлеміз  (1/0.82=1.2). Сонда 
R
u
22
.
1
R
u
71
.
0
R
/
x
R
/
y
/
z

55
эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 1.22-ге тең болады. Ал, кіші 
осьтің бұрмалану көрсеткіші 0.7-ге тең. 
46-суретте қоңыр жазықтықтағы эллипс, бұл шеңбердің үстінен 
қарағандағы горизонталь проекция жазықтығындағы көрініс берілген. Ал 
сары жазықтықтағы эллипс – шеңбердің алдынан қарағандағы фронталь 
проекция жазықтығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің 
оң жағынан қарағандағы көрінісі болып табылады. 
Бір айтып кететін жайт, сфераның тікбұрышты изометриясы сфераның 
диаметрінен 1.22 есе үлкен болады, себебі эллипстің үлкен осінің ұзындығын 
анықтау үшін бұрмалану көрсеткішіне көбейтеміз (
D
×
2
2
.
1
).
4.2.2 Тікбұрышты диметрия
Аксонометриялық  проекциялау  əдісінің тағы бір түрі – тікбұрышты 
диметрия. Тікбұрышты диметрия көбінде табаны дөңгелек конустық 
беттер мен тең табанды алты немесе бес жақты призма жəне пирамиданың 
аксонометриялық проекциясын салғанда өте ыңғайлы. Оның себебі 
тікбұрышты изометрияда жоғарыда айтылған беттердің айналу осьтері 
аксонометрия осімен беттесіп, беттердің көріктігі бұрмаланып кетеді. 
Сондықтан екі аксонометриялық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері өзара 
тең, ал үшінші осьтегі бұрмалану көрсеткіші екі есе кіші. 
Енді осы айтылған бұрмалану көрсеткіштерінің сандық мəндерін қарас-
тырайық. Ол үшін жоғарыдағы қарастырған тікбұрышты бұрмалану көрсет-
кіштерінің (2) формуласын алып,  у  осінің бойындағы бұрмалану көрсеткішін 
r орнына қойып, формуланы қайта жазамыз 
2
4
1
2
2
=
p
                                                    (5)
 
Егер бұл формуланы əрі қарай шешетін болсақ, онда  х  жəне  z  коор-
динаталарындағы осьтердің мəндері төмендегідей болады:
≈
=
=
=
2
3
2
9
8
q
p
 0,94                                (6)
Егер  х  жəне  z  осьтерінің бұрмалану көрсеткіштері жуық шамамен 0,94-ке 
тең болса, онда  у  осіндегі көрсеткіш екі есеге кем болғанда шамамен 0,47-ге 
тең болады.
Енді тікбұрышты диметрия координаталар осьтерінің арасындағы бұрыш-
тық шамаларын 47-суретте көрсетілгендей жазықтықтың үшбұрышты іздері 
арқылы қарастырайық. 

56
Егер екі  X
/
    жəне    Z
/
   
аксонометриялық  ось-
те рінде  бұрмалану  көр-
сеткіш 
тері өзара тең 
болса, онда кеңістіктегі 
координаталар осінің 
бойын дағы кесінді мен 
аксонометриялық коор-
динаталар осінің бойын-
дағы кесінділердің қа-
ты настары да өзара 
тең болады (47-сурет). 
Олай болса кеңістікте 
орналасқан  [ОХ
/
]  жəне 
 
[ОZ
/
]  кесінділерінің ұзын -
дығы 1-ге тең бола ды. Ал 
аксонометрия жазық тықта 
орналасқан  [О
/
Х
/
]  жəне 
 
[О
/
Z
/
]  кесінділерінің ұзындығы  
3
/
2
2
 
  тең болады. Тікбұрышты үшбұрыш   
∠ ОХ
/
Z
/
  гипотенузасының ұзын дығы 
2
 тең. Суреттегі  
∠ О
/
Х
/
Z
/
  үшбұрышы 
теңбүйірлі болғандықтан, осы үшбұрышты тең екіге бөліп, екі сүйір 
бұрыштың үлкен бұрышының  
(
D
)
  шамасын анықтаймыз. Ол үшін екіге 
бөлінген тікбұрышты үшбұрыштың  
∠ ОХ
/
Z
/
    гипотенузасының  ұзындығы               
(
2
/
2
) 
мен  [О
/
Z
/
]  кесіндісінің ұзындығын  
(
3
/
2
2
) 
  бөлеміз:
3
2
2
:
2
2
sin
=
α
                                                (7)
онда  
=
α 48
0 
35
Сонымен  О
/
Х
/
    жəне    О
/
Z
/
  аксонометрия осьтері арасындағы бұрыштық 
шама  97
0
10
/
  градусқа тең болады. Ал,  О
/
Y
/
  жəне  О
/
Z
/
  аксонометрия осьтің 
арасындағы бұрыштық шама төмендегі формуламен табылады
/
0
/
0
0
25
131
2
10
97
360
 

 
E
                                               (8)
48-суретте тікбұрышты диметрияда аксонометриялық осьтерді салу жолы 
көрсетілген. Бірінші жолы  х
/
 осінің бұрыштық шамасын табу үшін  1/8  бөлікке, 
ал у
/
 осінің бұрыштық шамасын  7/8  бөлікке бөлу арқылы болса, екінші жолы 
транспортирдің көмегімен жоғарыда табылған бұрыштық шамаларды қою 
арқылы жүзеге асады.
x
y
z
O
/
X
/
Z
/
Y
/
O
E
D
2
2
3
2
2

57
4.2.2.1 Шеңбердің тікбұрышты диметриясы
Енді    шеңбердің    тікбұрышты    диметриядағы    аксонометриялық     проекция  -
сын салу  жолын  қарастырайық  (49-сурет).   Суреттегі  қоңыр  жазықтықтағы  
эллипс бұл  шең-
бер дің  үстінен  қа-
ра  
ғандағы  гори-
зон 
таль  проекция 
 
ж а з ы қ т ы ғ ы н д а ғ ы 
көрі нісі, ал сары 
жа зықтықтағы эл-
липс, бұл шең 
бер-
дің алдынан қа 
ра-
ғандағы фрон 
таль 
проекция жа 
зық-
ты  ғындағы 
кө    рі-
нісі. Жасыл жа 
-
зық     тықтағы 
эл-
ли 
 
пс – шеңбердің 
оң жағынан қара-
ған   дағы 
про филь 
проекция жазық 
ты-
ғындағы көрінісі.
/
x
/
y
/
z
O
0
97
0
131
8
1
8
7
R
u
06
.
1
R
u
35
.
0
/
x
/
y
/
z
R
u
94
.
0
R
R

58
Шеңбердің аксо но метрия сы эллипс болғандықтан, он ың үлкен жəне кі ші 
осьтері болады. 
Егер 49-суретке зейін қойып қара саңыздар, эллипстің үлкен осьтері аксо-
нометриялық осьтерге пер пенди куляр, ал кіші осьтері аксонометриялық ось-
терге параллель орналасқан. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 
барлық жазықтықтарда немесе эллипстің үш көрінісінде 1.06-ға тең болады. 
Ал кіші осінің бұрмалану көрсеткіші горизонталь жəне профиль (қаптал) 
жазық тықтарында 0.35-ке тең болса, ал фронталь жазықтығында ол көрсеткіш 
0.94-ке тең.
Сфераның тікбұрышты изометриясы сфераның диаметрінен 1.06 есе үлкен 
болады, себебі эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 1.06-ға тең.
4.2.3 Қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия
Егер сызбада фрон  таль 
проекция жазық 
тығында 
қисық сызық тар мен шең-
берлер көбейіп кеткен 
болса, онда нəрсенің аксо-
нометриясын салу үшін 
қиғашбұрышты фрон-
тальды изометрия мен 
диметрия  пайда ла нылады 
(50 жəне 51-суреттер). 
Бұл жағ 
дайда аксо 
но-
метриялық проекциялар 
кеңістікте орналасқан Ох 
жəне    Оz координаталар 
жазықтығына параллель 
орналасады.   Оx жəне 
 
 
 
Оz аксонометриялық ось-
тердегі бұрмалану көрсеткіштері  1-ге тең болып, араларындағы бұрыштары  
90
0
  градус болады, яғни нəрсенің фронталь проекция жазықтығындағы 
проекциясы бұрмаланбай, сол күйінде кескінделеді. Ал,    Оz
/
 пен  Оy
/
 аксо-
нометриялық осьтерінің арасындағы бұрыштық шама қиғашбұрышты 
фронталь изометрия мен диметрия үшін 45
0
 градус болады.  Фронталь 
изометрия үшін бұрмалану көрсеткіші  1-ге тең (50-сурет), ал фронталь 
диметрия үшін – 0.5-ке тең болады (51-сурет). Қиғашбұрышты фронталь 
изометрия мен диметрия проекцияларында шеңбердің проекциясы фронталь 
жазықтығында  шеңбер болып, ал  горизонталь жəне профиль жазықтықтарында 
R
u
3
.
1
R
u
54
.
0
/
x
/
y
/
z
R
/
O

59
ол эллипс болып кескінделеді. 
Қиғаш бұрышты фронталь 
изометрияда эллипстің үлкен 
жəне кіші осьтері ромбтардың 
диагональдарына беттесіп келеді. 
Эллипстің үлкен осінің бұрмалану 
көрсеткіші изометрия үшін 1.22-
ге тең болса, диметрия үшін 1.06-
ға тең. Ал, кіші осінің бұрмалану 
көрсеткіші изометрия үшін 0.54-
ке, ал диметрия үшін 0.33-ке тең 
болады. 
50 жəне 51-суреттерде қоңыр 
жазықтықтағы эллипс шеңбердің 
үстінен қарағандағы горизонталь 
проекция жазықтығындағы көрі-
нісі берілді. Жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің оң жағынан қарағандағы 
көрінісі. Ал сары жазықтықтағы көрініс - шеңбердің алдынан қарағандағы 
фронталь проекция жазықтығындағы көрінісі.
4.2.4 Қиғашбұрышты горизонталь изометрия
Егер сызбада гори-
зонталь проекция 
жа з ықтығында 
қи-
сық сызықтар мен 
шең берлер шама 
дан 
тыс көбейіп кетсе, 
онда нəрсенің аксо-
нометриясын салу 
үшін қиғашбұрышты 
горизонталь изо 
ме-
трия проекциясын 
пай даланады 
(52-су-
рет). 
Сондықтан бұл 
жағ   дайда  аксоно мет-
рия лық 
проек ция-
лар кеңістікте орна-
ласқан Ох жəне Оy 
координаталар жазық-
R
u
07
.
1
R
u
33
.
0
/
x
/
y
/
z
R
/
O
R
u
37
.
1
R
u
22
.
1
/
x
/
y
/
z
R
/
O
R
u
71
.
0
R
u
37
.
0

60
тығына параллель орналасады. Бұл дегеніміз Ох
/
 жəне Оz
/
  аксонометриялық 
осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері  1-ге тең, ал араларындағы бұрыштары 
90
0
 градус болады, яғни нəрсенің горизонталь проекция жазықтығындағы 
проекциясы бұрмаланбай сол күйінде кескінделеді. Ал Оz
/
 пен Оy
/
 
аксонометриялық осьтерінің арасындағы бұрыштық шама 120
0
 градус болады. 
Кей жағдайда бұл бұрыш 135
0
 немесе 150
0
 градус шамасында беріледі. 
Қиғашбұрышты горизонталь изометрия проекцияларында шеңбердің 
проекциясы горизонталь жазықтығында шеңбер болып, ал фронталь жəне 
профиль жазықтықтарында ол эллипс болып кескінделеді. Қиғашбұрышты 
горизонталь изометрияда эллипстің үлкен жəне кіші осьтері ромбтардың 
диагональдарына беттесіп келеді. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану 
көрсеткіші 1.37-ге жəне 1.22-ге тең болса, ал кіші осінің бұрмалану көрсеткіші 
0.37-ге жəне 0.71-ге тең болады. 
52-суреттегі  сары жазықтықтағы эллипс шеңбердің алдынан  қарағандағы, 
ал жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің оң жағынан қарағандағы 
көрінісі. Ал, қоңыр жазықтықтағы көрінісі - шеңбердің горизонталь проекция 
жазықтығындағы көрінісі.
4.2.5 Шеңбердің изометриялық проекциясын салу
Изометриялық жəне диметриялық осьтер бойында шеңбердің 
аксонометриялық проекциясы эллипстің əртүрлі жағдайында болатынын 
жоғарыда көрсеттік. Енді төмендегі 53-суретте шеңбердің изометриялық 
O
1
R
2
R
3
R
R
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

61
проекциясын циркульдің көме гімен салу жолын көрсетеміз. Эллипсті салу 
үшін  х  жəне  у  осьтерін жүргізіп,  О  нүктесін анықтап аламыз. Осы  О  
нүктесі арқылы радиусы  R  болатын шеңберді сызамыз. Бұл шеңбер  х  жəне  
у  осьтерін төрт нүктеде қиып өтеді. Осы қиып өткен нүктелер арқылы  х  
жəне  у  осьтеріне параллель сəулелер жүргізіп, 53-суретте көрсетілгендей 
ромб жүргіземіз. Ромбтың қысыңқы жағы мен шеңбердің қиылысқан  1  жəне  
2  нүктелері арқылы радиусы  R
1
  болатын шеңбер доғаларын сызамыз. Осы 
доғалар мен шеңбер осьтері  3  жəне  4  нүктелерінде қиылысады. Қиылысқан 
нүктелер арқылы радиусы  R
2
  болатын шеңбер сызамыз. Бұл шеңбер шеңбердің 
осьтерін  5  жəне  6  нүктелерінде қиып өтеді. Осы нүктелер арқылы радиусы  
R
3
  болатын шеңбер жүргіземіз. Екі шеңбердің түйіндесу нүктесін табу үшін, 
радиусы  R
1
  болатын шеңберлердің  1  жəне  2  орталары мен радиусы  R
3
  
болатын шеңберлердің  5  жəне  6  орталарын өзара қоссақ, онда бұл сызық 
шеңбер доғасын  7, 8, 9  жəне  10  нүктелерінде қиып өтеді. 
Егер бұл табылған 
 
7, 8, 9  жəне  10  нүк-
те лерін өзара түйін-
дестіріп қоссақ, он-
да шеңбердің изо-
метриясы эллипс бо-
лып табылады.
4.2.6 Шеңбердің 
диметриялық 
проекциясын салу
Шеңбердің диме-
триялық проекция-
сын циркульдің көме-
гі мен 
салу 
жолын 
қарастырайық (54-сур-
ет). Ол үшін алдымен  
х  жəне  у  осьтерін 
жүргізіп,  О  нүктесін 
анықтап аламыз. Бұл 
 
О  нүктесі арқылы 
радиусы  R  болатын 
шеңберді сызамыз. 
Шеңбер  х  жəне  у 
 
осьтерін төрт нүктеде 
O
1
R
2
R
R
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8

62
қиып өтеді. Осы қиып өткен нүктелер арқылы  х  жəне  у  осьтеріне параллель 
сəулелер жүргізіп, ромб саламыз.  О  нүктесінен вертикаль түзу жүргізіп, 
оның бойына эллипстің үлкен осіне тең болатын кесіндіні өлшеп салып,  1  
жəне  2  нүктелерін анықтаймыз. Бұл табылған нүктелер радиусы  R
1
  болатын 
шеңбер доғаларының ортасы болып табылады. Ромбтың қиылысқан  6  жəне  8 
нүктелері арқылы радиусы  R
1
  шеңбер доғаларын сызамыз. Осы доғалар мен 
шеңбер осьтері  3  жəне  4  нүктелерінде қиылысады. Қиылысқан нүктелер 
арқылы радиусы  R
2
  болатын шеңбер жүргіземіз. Бұл шеңбер радиусы  R
1
  
болатын шеңберді  5, 6, 7  жəне  8-нүктелерінде қиып өтеді. Егер табылған 
шеңберлер доғаларын өзара қоссақ, онда шеңбердің диметриялық кескіні 
эллипсті табамыз. 
Ескерту, бұл табылған эллипс шеңбердің жанынан жəне үстінен қараған 
көрінісі болады. 
Енді диметриядағы шеңбердің алдынан қарағандағы кескінін салып 
көрсетеміз. Ол үшін  х  жəне  z  осьтерін жүргізіп,  О  нүктесін анықтап 
аламыз. Осьтер бойына шеңбердің радиустарын өлшеп алып  5, 6, 7  жəне  8  
нүктелерін салып, ромбыны тұрғызамыз. Осы табылған нүктелерден ромбтың 
қырларына тік бұрыш түзулерін жүргіземіз (55-сурет). Бұл түзулер ромбтың 
кіші диагоналін  1  жəне  2  нүктесінде қиып өт се, үлкен диагональ сызы ғын  
3  жəне  4  нүк телерінде 
қияды.  1  жəне  2  нүктелері 
арқылы радиусы  R
1
  
бола тын шеңбер доға сын 
сызамыз. Осы сияқты  3  
жəне  4  нүк телері арқылы 
радиу сы  R
2
  болатын 
шең бер доғасын сыза мыз. 
Сонымен  табыл  ған  шең-
берлер доға 
ларын өзара 
қоссақ, онда шеңбердің 
алдынан қарағандағы 
диметриялық кескіні эл-
липсті тұрғызамыз. 
O
1
R
R
x
z
1
2
3
4
5
6
7
8
2
R

63
1.  Аксонометриялық проекция дегеніміз не?
2.  Аксонометрия масштабы дегеніміз не?
3.  Аксонометриялық проекциялардың бұрмалану көрсеткіштері   
 
  дегеніміз  не?
4.  Изометрия дегеніміз не?
5.  Диметрия дегеніміз не?
6.  Триметрия дегеніміз не?
7.  Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері дегеніміз    
 не?
8.  Аксонометриялық проекцияда шеңбердің проекциясы қалай салынады?
9.  Тікбұрышты изометрия дегеніміз не?
10. Тікбұрышты изометриядағы осьтердің арасындағы бұрыштар  
 
 қанша болады?
11.  Тікбұрышты диметрия дегеніміз не?
12. Тікбұрышты диметриядағы осьтердің арасындағы бұрыштар  
 
  қанша   болады?
13.  Қиғашбұрышты фронталь изометрия дегеніміз не?
14.  Қиғашбұрышты фронталь диметрия дегеніміз не?
    Қиғашбұрышты горизонталь изометрия дегеніміз не?
Ба ылау 
с ра тары

64
1.  А(30;20;10) нүктесінің тікбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз.
2.  А(20;10;30) нүктесінің тікбұрышты диметриясын салып көрсетіңіз.
3.  А(10;15;25) жəне В(25;10;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың 
тікбұрышты изометриясы мен диметриясын салып көрсетіңіз.
4.  R30 болатын шеңбердің тікбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз.
5.   R 25 болатын шеңбердің қиғашбұрышты изометриясын салып 
көрсетіңіз.
6. А(10;15;25) В(25;10;10) С(15;20;5) үшбұрышының тікбұрышты 
изометриясын салып көрсетіңіз.
7. Нəрсенің үш көрінісі арқылы тікбұрышты изометриясын салып 
көрсетіңіз (1-сурет).
Жатты у есептері
R
сурет

1
8.  Қиғаш пирамиданың тік диметриясын салыңыз (2-сурет).
9.  Тік дөңгелек конустың тікбұрышты изометриясын салыңыз (3-сурет).

65
сурет

2
x
2
П
1
П
сурет

3

66

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: