Х. Досмұхамедов атындағы Атырау му хабаршысы №4 (35), 2014

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
77 
 
АВС
  үшбұрышына  қатысты  немесе 
АВС
  үшбұрышымен  байланысты  санақ 
жүйесіндегі 
Р
  нүктесінің 
барицентрлік  координаталары
  деп 
  теңдігі 
орындалатындай 
 сандарын атаймыз, мұндағы  
. 
Медианалардың  қиылысу 
М
  нүктесінің  барицентрлік  координаталарын 
табалық.  Кез  келген  үшбұрыштың  медианасы  оның  ауданын  қақ  бӛлетіндіктен, 
. Олай болса, 
.                  
 
Сырттай  сызылған  шеңбердің  центрі 
О
  нүктесінің  барицентрлік 
координаталарын  табу  үшін 
қатысын  пайдаланамыз.  Егер 
С
 
бұрышы  сүйір  болса,  онда 

АОВ
= 2

С
,  бірақ,  теңбүйірлі 
АОВ
  үшбұрышының 
АВ
 
қабырғасына  қарай  түсірілген  биіктігі  ????????????????????????

??????  тең.  Осыған  ұқсас,  егер 
С
  бұрышы 
доғал  болса,  онда 
, 
АОВ
  үшбұрышының  биіктігі  мынаған  тең
. 
Сондықтан,кез 
келген 
жағдайда 
, 
. 
Дәл 
осылайша 

,

 
координаталарын табылады. Олай болса,   
 
 
 
Үшбұрышқа  іштей  сызылған  шеңбердің  центрі  ??????  нүктесінің  барицентрлік 
координаталарын  табу  үшін 
, 
  формулаларын  пайдаланамыз. 
Сонда 
  Дәл  осылайша 

,

  координаталарын  табуға  болады. 
Олай болса,  
.                    
 
Биіктіктердің қиылысу?????? нүктесінің барицентрлік координаталарын табу үшін, 
алдымен 
  координатасын  есептейік.  ?????????????????? үшбұрышының  биіктігі  мынаған  тең: 
  Сондықтан,  үшбұрыштың  бұрыштарының  арасындағы 
қатыстарды пайдаланып, мынаны аламыз: 
 
 
1









,
,
ABC
APB
ABC
APC
ABC
BPC
S
S
S
S
S
S






,
,
ABC
BMC
AMC
AMB
S
S
S
S
3
1










3
1
;
3
1
;
3
1
M
2
cos C
cR
S
ABO


C
AOB




2
2

C
R


cos
S
C
сR
2
cos



2
2
2
2
2
2
2
2
16
)
(
2
cos
S
c
b
a
c
ab
c
b
a
C









)
16
)
(
;
16
)
(
;
16
)
(
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S
c
b
a
c
S
b
c
a
b
S
a
c
b
a
O







rp
S
ABC

2
rc
S
ABI

.
2
c
b
a
c
p
c





)
;
;
(
c
b
a
c
c
b
a
b
c
b
a
a
I







H

.
cos
B
ctg
A
c
CH








.
16
2
cos
2
2
2
2
2
2
S
b
c
a
a
c
b
B
ctg
A
c
S
AHB










      C 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
78 
 
Бұдан, ізделінді координатаның мынаған тең болатындығы шығады: 
 
 
 
Дәл осылайша 

,

 координаталарын табуға болады. Олай болса, 
 
 
Үшбұрышқа  іштей  сызылған  шеңбердің  жанасу  нүктелерін  үшбұрыш 
тӛбелерімен қосатын түзулердің қиылысуын 
Жергонн нүктесі
 деп  атайды. 
Барицентрлік координаталар анықтамасынан мынаны аламыз: 
 
 
 
Бұдан,     
  Енді 

(??????– ??????) = ??????  болсын  деп  алсақ,  онда 
, 
яғни 
. 

+

+

= 1  шартынан 
.  Олай 
болса, Жергонн
 нүктесінің барицентрлік координатасы мына түрде болады: 
 
 
 
Үшбұрыштың  екі  қабырғасына  дейінгі  арақашықтығы  осы  қабырғалардың 
ұзындығына  пропорционал  болатын  нүктелердің  геометриялық  орны  болып 
табылатын кесінділердің қиылысу нүктесін 
Лемуан нүктесі
 деп аталады. 
Лемуан нүктесінің барицентрлік координаталарын анықтау үшін кез келген 
екі координатаның қатынасын қарастырамыз. Сонда: 
 
Бұдан,
 
және 
 
 



.
16
2
2
2
2
2
2
2
S
b
c
a
a
c
b
H






.
a
p
b
p
AD
BD
S
S
S
S
S
S
GAD
CAD
GBD
CBD
CAG
CBG










).
(
)
(
b
p
a
p





c
p
k
b
p
k
a
p
k









,
,
)
(
)
(
)
(
c
p
b
p
a
p








)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
)(
(
b
p
a
p
c
p
a
p
b
p
a
p
c
p
b
p
a
p
k























































)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
;
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
;
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
b
p
a
p
c
p
a
p
b
p
a
p
b
p
a
p
b
p
a
p
c
p
a
p
b
p
a
p
c
p
a
p
b
p
a
p
c
p
a
p
b
p
a
p
c
p
b
p
G
.
2
2
b
a
bd
ad
S
S
S
S
S
S
b
a
KAD
CAD
KBD
CBD
CAK
CBK








2
2
a
b



.
)
(
)
(
)
(
2
2
2
ab
ac
bc





.
16
)
)(
(
;
16
)
)(
(
;
16
)
)(
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



















S
b
c
a
a
c
b
S
c
b
a
a
c
b
S
a
c
b
b
c
a
H
 
  H 
 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
79 
 
Олай  болса,  Лемуан  нүктесінің  барицентрлік  координаталары  мына 
формуламен есептеледі:
.              
Үшбұрыштың  қабырғаларын  оның  іргелес  қабырғасына  кері  пропорционал 
кесінділерге  бӛлетін  түзу  үшбұрыштың 
ішкі  антибиссектрисасы
  деп  аталады.  Чева 
теоремасы  бойынша  ішкі  антибиссектрисалардың  бір  нүктеде  қиылысатындығы 
шығады. 
арқылы тамаша нүктеден 
АВС
 үшбұрышының 
а
қабырғасына дейінгі 
қашықтықты белгілелік. Сонда  
, 
 

,

  координаталары  осыған  ұқсас  түрде  есептеледі.  Олай  болса,  үшбұрыштың 
антибиссектрисалары  үшін  барицентрлік  координаталар  мына  формуламен 
есептелетіндігін аламыз: 
                
.        
Енжабектің  бірінші  нүктесі
  деп 
ВС
,
СА
,
АВ
  қабырғаларымен  қиылысқанша 
АВ
,
ВС
,
СА
  қабырғаларына  параллель  жүргізілген  түзулердің  ӛзара  тең  кесінділері 
ӛтетін 
АВС
 үшбұрышының нүктесі аталады.  
Сонда 
жоғарыдағы 
белгілеуді 
пайдаланып, 
мынаны 
аламыз: 
. 
Бұдан, 
Енжабектің 
бірінші  нүктесінің  барицентрлік  координаталары  мына  формуламен  есептелетіндігі 
шығады:   
.         
 
Енжабектің екінші нүктесі деп 
АС
,
ВА
,
СВ
 қабырғаларымен қиылысқанша 
АВ
,
ВС
,
СА
 қабырғаларына параллель жүргізілген түзулердің ӛзара тең кесінділері 
ӛтетін 
АВС
 үшбұрышының нүктесі аталады. Сонда 
 
. 
Бұдан,  Енжабектің  екінші  нүктесінің  барицентрлік  координаталары  мына 
түрде есептелінеді:   
 
АВС
  үшбұрышында 
болатындай 
Р
  нүктесі 
Брокардың  бірінші
  нүктесі  деп    аталады.  Бұдан  дұрыс  үшбұрыштың  ауырлық 
центрінің Брокардың бірінші нүктесі болатындығын аламыз. 
Тікелей  есептеу  арқылы  мына  теңдіктердің  орындалатындығын  кӛруге 
болады:
  Демек,  Брокардың  бірінші  нүктесінің 
барицентрлік координаталары мына формуламен есептелетіндігі шығады: 
 













2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
c
b
a
c
c
b
a
b
c
b
a
a
L
a
d
1
1
1
1







c
b
a
a
h
d
a
a
.
1
1
1
1







c
b
a
a


























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
c
b
a
c
c
b
a
b
c
b
a
a
I
,
sin
,
sin
,
sin



t
d
t
d
t
d
c
b
a



1
1
1
1
)
(







c
b
a
t

























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
c
b
a
a
c
b
a
c
c
b
a
b
E
,
sin
,
sin
,
sin



t
d
t
d
t
d
c
b
a



1
1
1
1
)
(







c
b
a
t

























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
;
;
c
b
a
b
c
b
a
a
c
b
a
c
E
PBA
PCB
PAC





.
:
:
:
:
2
2
2




a
c
b
S
S
S
APB
APC
BPC
.
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

























c
b
a
a
c
b
a
c
c
b
a
b
P

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
80 
 
АВС
 
үшбұрышының 
ішінде 
 
теңдігі 
орындалатындай  Q  нүктесі 
Брокардың  екінші
  нүктесі  деп  аталады.  Есептеулерден 
қатысы  шығады.  Олай  болса,  Брокардың  екінші 
нүктесінің 
барицентрлік 
координаталары 
мына 
формуламен 
есептеледі: 
 
 
– 
Брокар 
бұрышы 
деп  аталады  және  бұл  бұрыш  мына  формуламен  есептеледі:
 
Ӛзінен  үшбұрыштың  тӛбесіне  дейінгі  қашықтығы  минимал  болатын 
АВС
 
үшбұрышының  ??????  нүктесі 
Ферма  нүктесі 
деп  аталады.  Барлық  бұрыштары  120

-тан 
кем  болатын  үшбұрышта  –  Ферма  нүктесі    барлық  қабырғалар  120

  бұрыштан 
кӛрінетін үшбұрыштың ішкі нүктесі.  Бұрыштарының біреуі 120

-қа тең немесе одан 
үлкен үшбұрышта Ферма нүктесі осы бұрыштың тӛбесімен сәйкес келеді.  
Үшбұрыш  тӛбелерінің  барицентрлік  координаталары  белгілі  болғандықтан, 
біз  тек  үшбұрыштың  барлық  бұрыштары  120

-тан  кем  болғандағы  жағдайды 
қарастырамыз. 
Егер F нүктесі үшбұрыштың ешбір тӛбесімен сәйкес келмесе және 
болатындығын ескерсек, осы нүктеден үшбұрыштың 
тӛбесіне дейінгі қашықтық мына формуламен есептеледі: 
 
Ферма нүктесі – барлық қабырға 120

 бұрыштан кӛрінетін үшбұрыштың ішкі нүктесі 
болғандықтан оның барицентрлік координатасы мына түрде болады:  
 
                     
.      
           Үшбұрыштың тӛбелері арқылы ӛтетін және оның периметрін қақ бӛлетін 
түзулердің қиылысу нүктесін 
Нагел нүктесі
 деп атайды. Кез келген үшбұрышта Нагел 
нүктесінің бар болатындығын кӛрсетелік. Егер ???????????? түзуі үшбұрыштың периметрін қақ 
бӛлсе, онда     ????????????
1
= ?????? − ??????, ????????????
1
= ?????? − ??????,мұндағы 
р
 – жарты периметр. ????????????, ???????????? 
түзулерін ұқсас түрде қарастырамыз: ????????????
2
= ?????? − ??????, ????????????
2
= ?????? − ??????, ????????????
3
= ?????? − ??????, ????????????
3
=
?????? − ??????. Чева теоремасын қолданып, қажеттіні аламыз. Нагел нүктесі мен үшбұрыштың 
кейбір тӛбесі арқылы жүргізілген түзу қарама –қарсы  қабырғаны сырттай іштен 
сызылған шеңбердің жанасу нүктесінде қиып ӛтеді. ??????
1
–
ВС
 қабырғасы мен сырттай 
іштен сызылған шеңбердің жанасу нүктесі, 
Т
1
,
Т
2
 нүктелері – осы шеңбер мен  
АВ
 
және 
АС
қабырғаларының жалғасының жанасу нүктесі. Бір нүктеден шеңберге 
жүргізілген жанамалар тең. Сондықтан, 
АТ
1
=
АТ
2
және мына теңдіктерден:  
АТ
1
+
QAB
QBC
QCA





2
2
2
:
:
:
:




b
a
c
S
S
S
AQB
AQC
BQC
.
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

























c
b
a
b
c
b
a
a
c
b
a
c
Q
 






PBA
PCB
PAC







QAB
QBC
QCA
.
4
2
2
2
S
c
b
a
ctg




3
2
2
2
2
2
2
S
c
b
a
s




s
s
c
b
a
x
CF
s
s
b
c
a
x
BF
s
s
a
c
b
x
AF
3
2
;
3
2
;
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
























S
x
x
S
x
x
S
x
x
F
4
3
;
4
3
;
4
3
2
1
3
1
3
2
 
С 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
81 
 
АТ
2
=
АВ
+
АС
+
В
??????
1
+
С
??????
1
= ???????????? + ???????????? + ????????????,    
АТ
1
==
АТ
2
=
р
;  
В
??????
1
= ?????? − ??????,
С
??????
1
= ?????? − ??????. 
Бұдан, ?????? – нің Нагел нүктесі болатындығы шығады. 
 
АВС
 үшбұрышының Нагел нүктесінің осы үшбұрышқа қатысты барицентрлік 
координаталары 

жүктеу/скачать 3,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: