Хабаршы №5 филологиялық Ғылымдар әож 81'366-512. 1 11/13

5.  Т.Ш.  Кальменов  «Краевые  задачи  для  линейных  и  частных  производных 
гиперболического типа». Шымкент, Ғылым-1993 
6.  Г.М.Фихтенгольц.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления. 
М.Наука , 1963. 
 
 
УДК 66-045 
ЛАПЛАС ТЕҢДЕУІНЕ ҚОЙЫЛҒАН ЕКІНШІ ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ 
ШЫҒАРУ  
Нишанов С.Х., Абдрахманов Ж. 
Аймақтық-әлеуметтік инновациялық университеті 
 
      
0


U
 -  Лаплас  теңдеуі  стационар  процеске  сәйкес  келетін  теңдеулердің  бірі. 
Бҧл  жағдайда  Лаплас  теңдеуінің  шешіміне  бастапқы  шарттың  әсері  болмайды. 
Сондықтан шекаралық шарттарда тек шектік шарттар ғана қатысады. Демек, Лаплас 
теңдеуі ҥшін ҥш тҥрлі шекаралық есеп қарастыруға болады.  
Кеңістікте тҧйықталған  
S
 беті берілсін. 
S
 –беті кеңістікті екі облысқа бӛледі. 
S
-беттің ішінде орналасқан облысты V
+ 
- деп белгілейік. Демек, V
+
 облысы шенелген, 
ал 

V
 
облысы  шенелмеген  болады.  Енді  осы  облыстарда  анықталған  Лаплас 
теңдеуіне қойылатын шекаралық есептерге тоқталайық.  
V
+
  облысында,  яғни  шенелген  облыста  берілген  Лаплас  теңдеуіне  қойылатын 
шекаралық есептер: 
1) 





V
z
y
x
U
)
,
,
(
0
 
теңдеуін 
 
S
p
p
g
U
S



)
(
 
 
шекаралық  шартын  қанағаттандыратын 
)
(
)
(
2
S
V
С
V
C




 класында  жататын 
)
,
,
(
z
y
x
U

 функциясын табуды Лаплас теңдеуіне қойылатын бірінші шекаралық есеп 
немесе ішкі Дирихле есебі деп атайды. 
2) 
 
S
p
p
g
n
U
S





)
(
 
 
шекаралық  шартын  қанағаттандаратын 
)
(
)
(
2
S
V
С
V
C





 класында  жататын 
)
,
,
(
z
y
x
U

 функциясын  табуды  Лаплас  теңдеуіне  қойылған  екінші  шекаралық 
есеп  немесе  ішкі  Нейман  есебі  деп  атайды.  Мҧндағы 
n
 -  S  бетіне  сырттай 
жҥргізілген  нормаль  вектор,  ал 



n
U
 -  деп 
)
,
,
(
z
y
x
U

 функциясының 
n
 нормаль 
бағыты бойынша  алынған туындысы белгіленген.  
3) 

 





V
z
y
x
U
)
,
,
(
,
0
 
 
теңдеуін 
 
S
n
U



S
p
p
g
U
h
S





,
0
))
(
(
 
 
шекаралық  шартын  қанағаттандыратын 
)
(
)
(
2
S
V
С
V
C





 класына  жататын 
)
,
,
(
z
y
x
U

 функциясын  табуды  Лаплас  теңдеуіне  қойылған  үшінші  шекаралық  есеп 
деп  атайды.  Мысал  ретінде  радиусы 
R
 санына  тең  дӛңгелектің  шекарасында 
Дирихле шартын 
 





2
0
sin
)
,
(
)
,
(





R
U
r
U
R
r
 
 
немесе  




2
0
sin
)
,
(
)
,
(







r
R
U
r
r
U
r
R
r
 
Нейман шартын қанағаттандыратын полярлық координата арқылы жазылған 
 
R
r
U
r
U
U
U
r
rr





0
,
0
1
2
1
2

 
 
Лаплас  теңдеуін  қарастырайық.  Егер  осы  есептердегі  ӛте  жҧқа  біртекті  дискіде 
таралған  температураға  сәйкес  келетін  стационар  процесті  ӛрнектеген  функцияны 
есептесек,  онда  дӛңгелектің  шекарасында  Дирихле  шарты 




0
 болған  кезде  оң 


0
sin


, ал 



2


 болған кезде теріс 


0
sin


 температура сақталатындығын, ал 
Нейман  шарты 




0
 болған  кезде  жылу  ағысы  дӛңгелек  ішіне  қарай,  ал 



2


 болған  кезде  дӛңгелектің  сыртына  қарай  бағытталғандығын  кӛрсетеді. 
Пуассон  теңдеуі  ҥшін  жоғарыда  кӛрсетілгендей  есептер  ілгеріде  қарастырылатын 
болғандықтан, оларға бҧл пункте тоқталмаймыз.  
Стационар  теңдеулер  ҥшін  жоғарыда  қарастырылған  шекаралық  есептерден 
басқа  шенелмеген 
V
-
  облысында  сыртқы  есептер  қарастырылады.  Бҧл  есептерде 
бҧрынғы  шарттармен  ізделінді  функцияның    шексіздіктегі  тәртібіне  қосымша 
шарттар  қойылады.  Жазықтықта  қарастырылған  шекаралық  есептер  мен  кеңістікте 
қарастырылған шекаралық есептер ҥшін бҧл шарт  әртҥрлі болады. Мысалы, Лаплас 
теңдеуі ҥшін сыртқы Дирихле есебі былай қойылады:  
а) жазықтықта 
 
2
2
,
)
,
(
,
0
R
Q
Q
R
Q
y
x
U












 
 
теңдеуін 






)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
g
y
x
U
 
 
шартын 
қанағаттандыратын 
және 


)
,
(
y
x
M
 кезде 
шенелген 


C
y
x
U
Q
y
x
C







)
,
(
:
)
,
(
,
0
 
)
(
)
(
2





Q
С
Q
C
 класына  жататын 
)
,
(
y
x
U

 
функциясын  табуды  Лаплас  теңдеуіне  жазықтықта  қойылған  сыртқы  Дирихле 
есебі деп атайды.  
ә) кеңістікте 
 
3
2
,
)
,
,
(
,
0
R
V
V
R
V
z
y
x
U












 
 
теңдеуін 
 





)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
g
z
y
x
U
 
 
шартын  қанағаттандыратын  және 


)
,
,
(
z
y
x
M
 кезде  нӛлге  бірқалыпты  ҧмтылатын 
(яғни











)
,
,
(
)
0
(
,
0
)
(
,
0
z
y
x
U
O
M
R
R
). 
Лаплас  теңдеуі  ҥшін  қойылатын  сыртқы  Нейман  есебінің  сыртқы  Дирихле 
есебінен  айырмашылығы  ізделінді  функцияға  жазықтықта  да,  кеңістікте  де  


)
,
,
(
z
y
x
M
 кезде бір ғана регулярлы болу шарты қойылады.  
)
(
)
(
2
S
V
С
V
C




 класында  жататын 
)
,
,
(
z
y
x
U
 функциясын  табуды  Лаплас 
теңдеуіне кеңістікте қойылған сыртқы Дирихле есебі деп атайды.  
Жоғарыда біз кӛптеген физикалық, механикалық қҧбылыстар дифференциалдық 
теңдеулер  арқылы  сипатталатындығын,  бірақ  дифференциалдық  теңдеулер  бҧл 
қҧбылыстарды  толық  сипаттай  алмайтындығын,  оларды  толық  сипаттау  ҥшін 
қосымша  шарттар  қажет  екендігін  кӛрдік.  Мҧндай  қосымша  шарттар  ретінде 
кӛбінесе  шекаралық  және  бастапқы  шарттар  қарастырылады.  Табылған  шешім 
қарастырылып  отырған  физикалық  немесе  басқа  қҧбылыстардың  жуық 
математикалық  сипаттамасын  береді,  ӛйткені  дербес  туындылы  дифференциалдық 
теңдеулер  кӛмегімен  физикалық,  басқада  қҧбылыстардың  математикалық  моделін 
қҧрған  кезде,  біз  нақты  қҧбылыстың  моделін  емес,  ал  оның  негізгі  белгілерін 
сақтайтын  идеалды  моделін  жасауға  мәжбҥрміз.  Сондықтан  математикалық 
моделдеуден кейінгі алынған физикалық және басқада есептердің нәтижесі дәл бола 
алмайды.  Осыған  байланысты  шекаралық  есептің  корректілі  қойылуы  ҧғымы 
еңгізіледі. Егер шекаралық есепте берілетін деректердің аз ӛзгерісі, оның шешімінің 
аз  ӛзгерісін  тудыратын  болса,  онда  шекаралық  есептің  ондай  шешімін  орнықты 
шешім деп атайды. 
Егер шекаралық есептің:  
1)  қандай  да  бір 
1
M
 функциялар  класында  шешімі  бар  болса  (шешімнің  бар  болу 
шарты); 
2) қандай да бір 
2
M
 функциялар класында шешімі жалғыз болса (шешімнің жалғыз 
болу шарты); 

3)  берілген  деректердің  аз  ӛзгерісі  шешімінің  аз  ӛзгерісін  тудыратын  болса 
(шешімнің орнықты болу шарты);  
онда мҧндай шекаралық есепті корректілі қойылған шекаралық есеп деп атайды. 
 
Есептің  шешімнің  бар  және  жалғыз  болу  шарты,  есептің  берілгендерінің 
ішінде  қайшылық жоқ және  олар  жалғыз  шешімді  бӛліп алуға  жеткілікті  екендігін 
білдіреді.  Кез  келген  нақты  есептің  берілгендері,  кӛбінесе,  егер  олар  эксперимент 
арқылы  алынған  болса,  олардың  мәндері  жуықпен  табылады.  Сондықтан, 
берілгендердің аз ӛзгерісі шешімнің аз ӛзгерісіне әкелуі керек. Бҧл жағдай шешімнің 
орнықтылық шартының қажеттілігін білдіреді. 
 
 
РЕЗЮМЕ 
 
Характеристика понятий разных функциональных, метрических пространств 
числовой прямой и любого измерительного числа 
 
SUMMARY 
 
Characteristics of different functional concepts, metric spaces of the real line and any 
measurement of 
 
 
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
 
1.Феденко А.С. Дифференциальная геометрия. Мн: Изд-во БГУ,1999.  
2.  Мищенко  А.С.,  Фоменко  А.Т.  Курс  дифференциальной  геометрии  и 
топологии. М.: МГУ, 2000.  
3. Позняк Э.Г., Шикин У.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. 
М.: МГУ, 1990.  
 
УДК 66-045 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ  ТЕҢДЕУЛЕР ҤШІН ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТІҢ 
ҚОЙЫЛУЫ 
Қҧдайберген С.Д., Абдрахманов Ж. 
Аймақтық-әлеуметтік инновациялық университеті 
 
       Параболалық теңдеу ҥшін ҥшінші бастапқы-шеттік есепті қарастыру, және оның 
шешімінің  блок  сҧлбасын  қҧрастыру.  Кӛптеген  физикалық,  механикалық 
қҧбылыстар  дифференциалдық  теңдеулер  арқылы  сипатталатындығын,  бірақ 
дифференциалдық  теңдеулер  бҧл  қҧбылыстарды  толық  сипаттай  алмайтындығын, 
оларды  толық  сипаттау  ҥшін  қосымша  шарттар  қажет  екендігін  кӛрдік.  Мҧндай 
қосымша  шарттар  ретінде  кӛбінесе  шекаралық  және  бастапқы  шарттар 
қарастырылады.  Табылған  шешім  қарастырылып  отырған  физикалық  немесе  басқа 
қҧбылыстардың  жуық  математикалық  сипаттамасын  береді,  ӛйткені  дербес 
туындылы 
дифференциалдық 
теңдеулер 
кӛмегімен 
физикалық, 
басқада 

қҧбылыстардың  математикалық  моделін  қҧрған  кезде,  біз  нақты  қҧбылыстың 
моделін  емес,  ал  оның  негізгі  белгілерін  сақтайтын  идеалды  моделін  жасауға 
мәжбҥрміз.  Сондықтан  математикалық  моделдеуден  кейінгі  алынған  физикалық 
және  басқада  есептердің  нәтижесі  дәл  бола  алмайды.  Осыған  байланысты 
шекаралық есептің корректілі қойылуы ҧғымы еңгізіледі.  
        Лаппас теңдеуі ҥшін Дирихле есебін шығару 
Есеп: 
0
y
u
x
u
u
2
2
2
2








Лаппас теңдеуін  


b
y
0
,
a
x
0
)
y
,
x
(






   
тікбҧрышты аймақтың ішінде қанағаттандыратын, және  

 аймағының 
шекарасында беірілген мәнін қабылдайтын, яғни 
 
 
 


a
,
0
x
),
x
(
f
)
b
,
x
(
u
,
a
,
0
x
),
x
(
f
)
0
,
x
(
u
b
,
0
y
)
y
(
f
)
y
,
a
(
u
b
,
0
y
),
y
(
f
)
y
,
0
(
u
4
3
2
1








, u(x,y) ҥздіксіз функциясын табу, мҧнда 
)
4
,
3
,
2
,
1
i
(
f
i

- берілген функциялар. 
 u(x,y)  - 

  аймақтың  шекарасындағы  ҥздіксіз  функция  болсын,  яғни 
).
a
(
f
)
b
(
f
),
a
(
f
)
0
(
f
),
0
(
f
)
b
(
f
),
0
(
f
)
0
(
f
4
2
3
2
4
1
3
1




 
һ қадамдарын таңдап, 1-ден х, у сәйкес, 
)
m
,
,
1
,
0
j
(
jl
y
),
n
,
,
1
,
0
i
(
ih
x
j
i






, где 
b
ml
y
a
nh
x
m
n




 торын 
қҧрастырамыз. 
Белгілеу: 
)
y
,
x
(
u
u
j
i
ij

. 
2
2
x
u


 және 
2
2
y
u


дербес туындыны 2-нші реттің 
)
l
(
O
l
u
u
2
u
y
u
)
h
(
O
h
u
u
2
u
x
u
2
2
1
j
,
i
ij
1
j
,
i
2
2
2
2
j
,
1
i
ij
j
,
1
i
2
2
















  
орталық-айырымдық 
туындылармен 
тордың 
әрбір 
ішкі 
тҥйінінде 
жуықтатамыз 
Лаппас теңдеуін ақырлы-айырымдық теңдеумен ауыстырамыз 


)
1
m
,
,
2
,
1
j
(
1
n
,
,
2
,
1
i
0
l
u
u
2
u
h
u
u
2
u
2
1
j
,
i
ij
1
j
,
i
2
j
,
1
i
ij
j
,
1
i
















.  
 
        
4
u
u
u
u
u
:
h
l
1
j
,
i
1
j
,
i
j
,
1
i
j
,
1
i
ij









                                          (1) 


1
m
,
,
2
,
1
j
,
1
n
,
,
2
,
1
i
)
y
(
f
u
)
y
(
f
u
)
x
(
f
u
)
x
(
f
u
i
2
nj
i
1
j
0
i
4
m
,
i
i
3
0
i










 
 
Тікбҧрышты  аймақта  Лаппас  теңдеуі  ҥшін  Дирихле  есебінің  сандық  шешімі 
тордың  ішкі  тҥйіндерінде 
)
y
,
x
(
u
ізделетін  функцияның   
ij
u
 жуықтатылған  мәнін 
табудан тҧрады. 
ij
u
анықтау ҥшін (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жҥйесін шешу 
керек. 
Жҥйені 
қҧрамында 
4
)
1
(
1
,
)
(
1
,
)
(
,
1
)
1
(
,
1
)
1
(











s
j
i
u
s
j
i
u
s
j
i
u
s
j
i
u
s
ij
u
 тҥрдің 
итерациясының  тізбегінен  тҧратын, 
0
s

 тізбегі 
)
s
(
ij
u
(1)  нақты  шешімге  тырысатын 
Гаусс-Зейдел  итерациялық  әдісімен  шешеміз.  Итерационды  ҥрдісті  аяқтаудың 
шарты: 
1
m
j
1
1
n
i
1
u
u
max
)
1
s
(
ij
)
s
(
ij










. 

 
Осылайша,  тор  әдісі  бойынша  алынған  жуықтатылған  шешімнің  шекаралық 
қабаты  екі  шекаралық  қабаттан  жасалынады:  айырымдық  теңдеулермен 
дифференциалды  теңдеулерді  жуықтату  шекаралық  қабаты  және  айырымдық 
теңдеулер жҥйесін (1) жуық шешу арқылы туындайтын шекаралық қабат. Сызбаның 
орнықтылығы,  бастапқы  берілгендеріндеігі  кішкентай  ӛзгерістер  есептің 
айырымдық  шешімінің  кішкентай  ӛзгерісіне  әкелетінін  білдіреді.  Сызбаның 
жинақтылығы,  
0

h
 тордың қадамының нӛлге тырысуы кезінде есептің айырымын 
шешу  алғашқы  есепиі  шешуге  тырысатынын  білдіреді.  Осылайша, 
h
жеткілікті 
кішкене қадамды таңдап, алғашқы есепті дәл шешуге болады. 
      Шекаралық  есептің  корректілі  қойылуы  ҧғымын  еңгізбей  тҧрып,  осы  ҧғыммен 
байланысты шекаралық есептің шешімінің орнықтылығы жайлы ҧғымды енгізейік. 
1. – анықтама. Егер шекаралық есепте берілетін деректердің аз ӛзгерісі, оның 
шешімінің  аз  ӛзгерісін  тудыратын  болса,  онда  шекаралық  есептің  ондай  шешімін 
орнықты шешім деп атайды. 
2. – анықтама. Егер шекаралық есептің:  
1)  қандай  да  бір 
1
M
 функциялар  класында  шешімі  бар  болса  (шешімнің  бар  болу 
шарты); 
2) қандай да бір 
2
M
 функциялар класында шешімі жалғыз болса (шешімнің жалғыз 
болу шарты); 
3)  берілген  деректердің  аз  ӛзгерісі  шешімінің  аз  ӛзгерісін  тудыратын  болса 
(шешімнің орнықты болу шарты);  
онда мҧндай шекаралық есепті корректілі қойылған шекаралық есеп деп атайды. 
 
Есептің  шешімнің  бар  және  жалғыз  болу  шарты,  есептің  берілгендерінің 
ішінде  қайшылық жоқ және  олар  жалғыз  шешімді  бӛліп алуға  жеткілікті  екендігін 
білдіреді.  Кез  келген  нақты  есептің  берілгендері,  кӛбінесе,  егер  олар  эксперимент 
арқылы  алынған  болса,  олардың  мәндері  жуықпен  табылады.  Сондықтан, 
берілгендердің аз ӛзгерісі шешімнің аз ӛзгерісіне әкелуі керек. Бҧл жағдай шешімнің 
орнықтылық шартының қажеттілігін білдіреді. 
2 – анықтамасының шарттарын қанағаттандыратын шекаралық есепті  Адамар 
мағынасында  корректілі  қойылған,  ал 




2
1
M
M
M
 функциялар  класын 
корректілік класы деп атайды. 
 
2.-  анықтамасының  кем  дегенде  бір  шарты  орындамайтын  шекаралық  есепті 
корректілі қойылмаған есеп деп атайды. 
Енді корректілі қойылмаған есептерге мысалдар келтірейік. 
1.-  мысал.  Ж.  Адамар  мысалы 
 


0
,
:
,
2







y
x
R
y
x
Q
 жарты 
жазықтығында   
    
0


yy
xx
U
U
                                           (2) 
Лаплас теңдеуінің  
       
 
 









,
,
0
0
,
,
0
x
x
U
y
x
U
y
                    (3) 
     

















,
,
0
,
cos
0
0
x
n
nx
e
y
U
n
U
n
y
y
          (4) 
 бастапқы шарттарын қанағаттандыратын 
)
,
(
y
x
U
 шешімін табу керек.  

Математикалық физикада  (1)-(3) есебін  Лаплас  теңдеуі  ҥшін  қойылған  Коши 
есебі деп атайды. Тікелей қою арқылы   
 
  
shny
nx
n
e
y
x
U
n



cos
)
,
(
                            (5) 
 
функциясының (1)-(3) есебінің шешімі болатындығын кӛрсету қиын емес. Мҧндағы,  
2
ny
ny
e
e
shny



 
гиперболалық синус. 
Бҧл есепте шешімінің орнықтылығы шарты орындалмай тҧр. Шынында, да (2) 
және (4) бастапқы шарттарынан 


n
  кезде  
 
 
0
0
0
,
,
0




x
U
y
x
U
y
 
0
cos
0








n
n
y
e
nx
e
y
U
 
нӛлге  ҧмтылатындарын  кӛреміз.  Бірақ  (2)-  (4)  есебінің  шешімі  болатын  (6) 
функциясы ҥшін  
n
  ӛте ҥлкен  болғанда 


1

n
   
 









1
1
,
y
n
n
e
n
O
y
x
U
 
бағасы  орындалады.  Сондықтан,  кез  келген  бекітілген 
x
 және 
y


0

y
   ҥшін 


n
 
кезде 


)
,
(
y
x
U
 ҧмтылады. 
 
Сонымен,  бастапқы  шарттардың  ӛте  кішкентай  ӛзгерісі  Коши  есебінің 
шешімнің ӛте ҥлкен ӛзгерісін тудырып тҧр. Бҧл Лаплас теңдеуіне қойылатын Коши 
есебінің  корректілі  қойылмайтындығын  білдіреді.  Лаплас  теңдеуі  эллиптикалық 
типті  теңдеу  болғандықтан,  жалпы  жағдайда,  эллиптикалық  типті  теңдеулер  ҥшін 
Коши есебі корректілі қойылмаған деген қортындыға келеміз.  
Коши есебі. Коши – Ковалевская теоремасы. 
2
R
D

  облысында анықталған  
         
 
 
 


0
,
,
,
,
,
,
2
,
22
12
11




y
x
yy
xy
xx
U
U
U
y
x
F
U
y
x
a
U
y
x
a
U
y
x
a
                (6) 
екінші 
ретті 
туындыларына 
байланысты 
сызықты 
дербес 
туындылы 
дифференциалдық  теңдеуін  қарастырайық. 
D
облысында  тҥзетілетін,  ҧзындығы 
ақырлы  
L
  қисығы 
 
 







l
s
s
y
y
s
x
x
0
,
                
параметрлік  тҥрде  берілген  болсын.  Мҧндағы 
L
s

   қисығының  доғасының 
ҧзындығы, ал 
L
l

   қисығының ҧзындығы (1-сурет ). 
 
 
     
Y 
 
 
 
   
L 
 
 

 
D 
                                                                    
 
                    
N

 
 
                                         
 
                                                                                                            X 
 
   0 
1-cурет 
 
Коши есебі.  
L
 қисығының маңайында (6) теңдеуін және  
 
   

  
l
s
s
s
y
s
x
U
U
L




0
,
,

                            (7) 
           
 
l
s
s
N
U
L





0
,

                                     (8) 
 
шекаралық  шарттарын  қанағаттандыратын   
 
y
x
U
,
       функциясын  табу  керек. 
Мҧндағы   
   
s
s


,
   берілген  ӛте  тегіс  функциялар, 
L
N
U



   қисығына  жҥргізілген 
нормаль  бойынша  туынды.  Дербес  туындылы  дифференциалдық  теңдеулерге 
қойылатын  Коши  есебі  шекаралық  есептердің  ішіндегі  ең  маңыздысы  болып 
табылады.  
 
 
 

жүктеу/скачать 3,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: