SUMMARY  Have solutions of the Sturm-Liouville problem in a limited period and study them on the basis of  the theorem of loneliness

 
 
Пайдаланылған әдебиеттер 
 
1.
 
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1954-с.526. 
2.
 
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: 
ИЛ, 1958-с.474. 
3.
 
Ольвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. – М.: Наука, 1978-
с.375. 
4.
 
Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980-с.494. 
 
 
 
ӘОЖ  531.14 
 
ОРТА ЖӘНЕ СЫРТҚЫ ДЕНЕЛЕР ӚРІСІНДЕГІ СПИРАЛЬДІК ЖӘНЕ 
АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСТАР ОРНЫҚТЫЛЫҒЫ 
Ибрагимов О.М., ф.-м.ғ,к., Ыбырайева Ж.Д., магистрант 
Аймақтық әлеуметтік инновациялық университеті, Шымкент, ҚР 
 
Кіріспе. Қазіргі таңда Қазақстан Республикасының жоғары оқу орындарындағы 
даму  жоспарының  кҥн  тәртібінде  орын  алған  мәселенің  бірі  ретінде,  оқу  ҥдерісіне 
іргелі  зерттеу  жҧмыстары  нәтижелерін  енгізу  мәселесін  айтуға  болады.  Физика 
мамандығының  іргелі  зерттеу  жҧмыстары  нәтижелерін  пайдаланудағы  пәндік 
облысының  бірі  –  аспан  механикасы  болып  есептеледі.  Аспан  механикасындағы 
ортаның және сыртқы денелер ӛрісіндегі пассив гравитациялық дененің ілгерілемелі 
қозғалысын  зерттеу,  оларды  шешудің  аналитикалық,  сондай-ақ  сандық  әдістерін 
қҧру  теориялық  тҧрғыдан  да,  сол  сияқты  тәжірибелік  нәтижелеріне  де  қатысты 
тҥрде  ӛзекті  болып  саналады.  Сондай-ақ,  стационарлық  емес  ғарыштық 
нысандардың  эволюциясын  аспан-механикалық  тҥрде  сипаттау  әдісі  жаңа 
инновациялық әдіс болып саналады [1].  
Қаралып  отырған  динамикалық  есептегі  қозғалыстың  дифференциалдық 
теңдеулерінің  дербес  шешімдері  тобын  қҧрайды.  Осындай  дербес  шешімдердің 
А.М.Ляпунов  орнықтылығын,  сонымен  бірге  олардың  тҧрақты  әсер  жасайтын 
ҥлгілердегі ҧйытқу кезіндегі орнықтылығын қарастырайық.  
Негізгі  бӛлім.  Жалпы, 


t
z
r
U
,
,
 гравитациялық  потенциалдың  жалпы  тҥрі  келесі 
тҥрде беріледі [2]: 














z
r
U
z
r
t
z
r
U
,
1
2
,
,
2
2
2
   
 
 
(1) 
мҧндағы 

 - уақыт бірлігінің еркін функциясы, 
z
r,
 - цилиндрлік координата жҥйесі, 
U
 -  тҧрақты  әсер  жасайтын  ҧйытқуларға  қатысты  айнымалылардың  еркін 
функциясы. Бҧл функция келесі тҥрде беріледі: 












z
r
V
R
,
1
2
 
 
 
 
 
 
(2) 
мҧнда 

 –  айнымалы, 
V
–  ӛзіндік  айнымалыларымен  шектелген  голоморфтық 
функция. Сонымен қатар, (1) жҥйенің кҥш функциясы мынадай типтердің біреуіне 
жатады:  
 
  

z
r
U
t
t
z
r
U



,
,
,
2

 
 
 
 
 
(3) 

    
z
r
U
t
t
z
r
U
,
,
,


   
 
 
 
 
 
 
мҧндағы 

 –  уақыт  бірлігінің  функциясы.  Бҧл  функцияның  арнайы  тҥрі  А.А.Беков 
еңбегінде қарастырылған [3].  
Алдағы уақытта ӛстік симметриялық гравитациялық жҥйелерді қарастырамыз. 
Олардың  кҥш  функциялары  келтірілген  (1)  -  (3)  типтердің  біреуіне  тиісті  болады. 
Сонымен  бірге  Ляпунов  мағынасындағы  стационарлық  емес  ӛске  симметриялық 
ӛрістерде,  қозғалыс  кезінде  ӛте  кіші  болып  келетін,  тҧрақты  әсер  жасайтын 
ҧйытқуларға  қатысты  (2)  ӛрнектің  барлық  спиральді  және  айналмалы 
қозғалыстарының бірнеше типтерінің орнықтылық шарттарын қараймыз. 
Стационарлық  емес  жҥйенің  ӛске  симметриялық  кҥштер  ӛрісіндегі  тҧрақты 
әсер  жасатын  ҧйытқулар  кезіндегі  жҧлдыздың  қозғалысын  қарастырамыз.  Санақ 
жҥйесінде  аппликата  ӛсі  ӛрістің  симметриялық  ӛсімен  дәл  келетіндей  етіп  таңдап 
аламыз.  Сондай-ақ  негізгі  координаталар  жазықтығы  ретінде  ҧйытқусыз  орбита 
жазықтығын  аламыз.  Стационарлық  емес  жҥйенің 
U
 кҥш  функциясы  келесі  тҥрде 
анықталады деп есептейік: 














z
r
U
z
r
t
z
r
U
,
1
2
,
,
2
2
2
   
 
 
(4) 
мҧндағы 
z
r,
– цилиндрлік координата, 

 – уақыттың ҥздіксіз шектелген функциясы, 
U
 - еркін функция.  
Қҧрамында 
осындай 
кҥш 
функциясы 
кездесетін 
қозғалыстың 
дифференциалдық теңдеуі келесі дербес шешімді беретіні белгілі: 






0
0
0
0
0
,
,
,
,
z
z
z
z
r
r
r
r





 
 
 
(5) 
Қозғалыс  спиральдік  болып  келеді,  мҧндағы  «
0
»  индекс  -  функцияның  мәні 
0
0
, z
r
 нҥктеде алынғанын анықтайды. Егер келесі теңсіздіктер орындалса: 


5
3
0









zz
r
rr
U
U
r
U
 
 
 
 
 
 
 
0
4
3
0
2











rz
r
rr
zz
U
U
r
U
U




 
 
 
(6) 
онда,  қаралып  отырған  спиральді  орбита  Ляпунов  мағынасында 


,
,
,
,
,
z
z
r
r
 
байланысты орнықты болады. 

Енді (4) тҥрдегі кҥш функциясы кездесетін спиральдік қозғалыс, тҧрақты әсер 
жасайтын  ҧйытқулар  кезінде  орнықты  болатынын  кӛрсетеміз.  Ол  келесі 
пертурбациялық функциясымен сипатталады: 











z
r
V
R
,
1
2
 
 
 
 
 
 
(7) 
мҧндағы, 

 –  кіші  параметр,  ал 
V
–  шектелген  кіші  аргументтердің  голоморф 
функциясы. Ол дифференциалданатын және бірінші реттік ҥздіксіз дербес туындыға 
ие болатын функция болып келеді.  
Біздегі  жағдайда  қаралып  отырған  қозғалыста  дифференциалдық  теңдеулер 
келесі тҥрге ие: 
,
4
3
2
r
R
r
r
U
r








   
 
 
 
 
 
 
z
R
z
U
z






   
 
 
 
 
 
(8) 
мҧндағы 


2
2
1
r

-  секторлық  жылдамдық,  ал  жоғарыдағы  нҥкте 
t
 бойынша 
дифференциалды білдіреді.  
Сонымен, 
0


-ге  тең  кезіндегі  (8)  теңдеулерді,  яғни  спиральдік  қозғалысты 
қарастырамыз.  Осы  шешімнің  тҧрақты  әсер  етуші  ҧйытқуларға  байланысты 
орнықтылығын зерттеу мақсатында (8) жҥйені келесі теңдеумен толықтырайық: 
0


   
 
 
 
 
 
 
(9) 
Әрі қарай, (5) және (9) кеңейтілген жҥйе ҥшін келесі шарттар орындалады:  
0
0
1
1














r
R
r
r
U
r
t
n


 
 
 
 
 
 
 

0
0
0
z
z
R
z
U


















  
 
 
 
 
(10) 
мҧндағы 

n
 -  (7)  типтегі  тҧрақты  әсер  ететін  ҧйытқулар  кезіндегі  қозғалыстардың 
бҧрыштық  жылдамдығы;  ал  «
0
»  индексі  функцияның 
0
0
,
z
z
r
r




 нҥктесіндегі 
мәні екендігін білдіреді.  
(5)  және  (7)  кеңейтілген  жҥйесінің  тҧрақты  әсер  етуші  ҧйытқуларға 
салыстырмалы 


,
,
,
,
,
z
z
r
r
 шамаларға байланысты орнықтылығын қарастырамыз.  
Айнымалыларды ауыстырып,  






d
dt
z
r
2
,
,
,




  
 
 
(11) 
(8) жҥйені келесі кӛріністе жазамыз: 
 
,
4
3
2
V
U














   
 
 
 
 
 
,
0



  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
V
U











 
 
 
 
 
 
(12) 
мҧндағы 





2
2
1
 параметрі,  ал  формуладағы  штрих 

 бойынша  дифференциалды 
білдіреді.  
Демек, (12) қозғалыс теңдеуі қаралып отырған нҥктелердің 






,
,
,
 кеңістікте 
стационарлық  кҥштер  ӛрісінде 
 



,
V
 тҧрақты  әсер  ҧйытқуларына  байланысты 
қозғалысын  сипаттайды.  Оған  сәйкес  (6)  және  (10)  дербес  кеңейтілген  жҥйелер 
дербес шешімге ие болады: 
0
0
r




 
 
 
 
 
 
 
(13) 
Жалпы (12) жҥйеге кездейсоқ бір айналмалы қозғалыс сәйкес келеді. Онда (5) 
және (9) кеңейтілген жҥйе қозғалыстарының, сонымен қатар (6) қозғалыс теңдеуінің 
орнықтылығы,  материалдық  нҥкте  тҧрақты  әсер  етуші 
V

 ҧйытқу  кезіндегі  бас 
координата жазықтығына байланысты  симметриялық  кҥштер  ӛрісіндегі  айналмалы 
қозғалыстың орнықтылығын сипаттауға әкеледі және келесі тҥрде жазылады: 
,
0
3
0















U
U
U
 
 
 
 
 
 
 
0
3
0


















U
U
U
U
. 
 
 
 
(14) 
Бҧл жерде келесі шарт орынды деп аламыз:  
0
3








V
U





 
 
 
 
 
(15) 
Кӛрсетілген кейбір ӛрнектерде «
0
» индекстері, функцияның 
0
,
0


 нҥктесіндегі 
мәндерін  білдіреді.  Онда,  (12)  айналмалы  орбиталардың  (14)  және  (15)  ӛрнектер 
орнықтылық  шарттының  орындалуы  барысында,  (5)  және  (9)  кеңейтілген 
жҥйелердің 


,
,
,
,
,
z
z
r
r
 параметрлерге 
байланысты 
алғашқы 
спиральдік 
қозғалыстары  орнықты  болады.    Ал  тҧрақты  әсер  ететін  ҧйытқуларға  байланысты 
(7) ӛрнекке ие болады. (5) және (9) кеңейтілген жҥйелердің спиральдік орбитасының 
қаралып отырған ҧйытқуға сәйкес орнықтылығы шарты келесі тҥрде беріледі:  
,
5
3
0











zz
r
rr
U
U
r
U
 
 
 
 
0
4
3
0
2











rz
r
rr
zz
U
U
r
U
U




 
 
(16) 
Берілген  осы  шарттардағы  «
0
»  индекстері,  функцияның 


0
0
,
z
z
r
r


 
нҥктесіндегі мәндерін білдіреді. Онда (5) және (9) кеңейтілген жҥйелердің қаралып 
отырған  ҧйытқулар  кезіндегі  қаралған  қозғалысы  орбитаның  кеңейген  тобын 
ҧйымдаытырады.  Олардың  әр  тҥрлі  екендігі 

 функциясымен, 

 секторлық 
жылдамдығы  мәнімен, 
0
0
, z
r
 шамалардың  жиынымен  және  (7)  петурбациялық 

функциясының  берілген  мәндерімен  анықталады.  Сондықтан  жазық  сипаттағы 
спиральдік  орбита 


0
0

z
 (5)  және  (9)  кеңейтілген  жҥйелердің  қаралған  спиральдік 
орбитаның (7) типтегі тҧрақты әсер ететін ҧйытқулар жағдайындағы дербес тҥрлері 
болып саналады.  
Қорытынды. 
Мақалада 
стационарлық 
емес 
ӛске 
симметриялық 
гравитацияланатын  ӛрістегі  спиральдік  және  айналмалы  қозғалыстардың 
орнықтылық  шарттары  алынды.  Сонымен  бірге  сыртқы  денелер  ӛрісіндегі 
спиральдік  және  айналмалы  орбитаның  бар  болуы  және  орнықтылығы  шарттары 
келтіріліп шығарылды. 
 
Пайдаланылған әдебиеттер 
 
1
 
Омаркулов  К.А.  Движение  тел  в  нестационарных  нецентральных  гравитационных  полях.  –
Кокшетау: 2001. -146 с.  
2
 
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. -М.: Наука, 1975, -799 с.  
3
 
Беков А.А. Устойчивость одного класса спиральных орбит нестационарной системе осевой 
симметрией // Тр. АФИ АН Каз ССР. - 1979. -Т. 33. -С. 36-39.  
 
Резюме 
 
В  статье  рассматривается  устойчивость  спиральных  и  круговых  движений  в  поле 
центральных и внешних тел   
 
Summary 
 
The  article  discusses  the  stability  of  spiral  and  circular  movements  in  the  central  and  external 
bodies 
 
ӘОЖ  519.644 
 
СИНГУЛЯР ИНТEГРAЛДАР ҤШІН ЖУЫҚТАУ ФOРМУЛAСЫНЫҢ  
ҚАЛДЫҚ МҤШЕСІН БAҒАЛАУ 
Ибрагимов О.М., ф.-м.ғ.к., доцент
1
, Әлімқҧл Л.Ж., математика оқытушысы
2
   
Раимбекова П.П., магистрант
1
 
Аймақтық әлеуметтік-инновациялық университеті
1
, №122 жалпы орта мектебі
2
 
 
Кіріспе. Арнайы типтегі сингуляр интeгрaлдар ҥшін Лагранж интeрпoляциялық 
фoрмулaсы  арқылы  интегралдың  тығыздық  функциясын  aлмaстыру  нәтижесінде 
алынған  квaдрaтуралық  фoрмулaдан  пайдаланылады.  Мҧндай  фoрмулaның 
кoэффициeнттерінде  сингуляр  жағдай  сaқталып  қалғанына  байланысты, 
кoэффициeнттерді есептеудің ыңғайлы әдістері, сондай-ақ тығыздық функциясының 

интeгрaл  шеткі  нҥктелеріндегі  мәндері  берілген  жағдайда  жуықтау  фoрмулaсын 
қҧру мәселесі зерттелген [1].  
Негізгі бӛлім. Коши типтегі және сингуляр интегралдар 


1
,
1
,
1
)
(
1
)
/
(
)
(
1
1
2
2









x
t
dt
x
t
t
f
x
x
f
I
x
I

 
 
(1) 
ҥшін  тығыздық  функциясы 
)
(x
f
-ті  Лагранж  интeрпoляциялық  кӛпмҥшелікпен 
aппрoксимациялaп,  жуықтап  интeрпoляциялаудың  квaдрaтуралық  фoрмулaлaрын 
қҧрамыз [2].  
Айталық, 
1
1
0
...,




n
x
x
x
 болатын 


1
,
1

-дегі 
1
1
0
...,
,

n
x
x
x
 нҥктелерді  аламыз 
және  (1)  интегралдың 
)
(x
f
 тығыздық  функциясына  осы  нҥктелерде  сәйкес  келетін 
)
|
(
x
f
L
n
 -  Лагранж  кӛпмҥшелігін  қҧрамыз.  Егер 
)
(x
f
 тығыздық  функциясының 


1
,
1

 кесіндіде 
)
(x
f
n
 ҥздіксіз туындысы бар болсa, онда  
)
,...,
,
(
)
(
)
|
(
)
(
1
0



n
n
n
x
x
x
f
x
x
f
L
x
f

 
 
 
(2) 
тeңдік орынды. Бҧл жерде 




























1
0
1
1
1
0
1
0
1
)
(
0
2
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
.
),
(
,
)
)
1
((
...
)
,...,
,
(
)
(
),
(
)
)(
(
)
(
)
|
(
1
1
n
v
v
v
v
t
n
n
t
n
n
k
k
n
n
k
k
k
k
n
n
n
x
x
x
x
t
x
t
dt
x
t
f
dt
dt
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
L
n





   
(3) 
Енді (2)-ні (1)-ге қойсақ  





1
0
)
|
(
)
(
)
(
)
(
n
k
n
I
k
n
k
x
f
E
x
f
x
A
x
I
 
 
 
 
 
(4) 
интeрпoляциялық квaдрaтуралық фoрмулaны аламыз. 
Квaдрaтуралық фoрмулa кoэффициенттерін есептеу ҥшін, егер  (4)-ші жуықтау 
фoрмулaдa 
)
(x
A
n
k
 фoрмулa  кoэффициенті  бар  бoлса,  ол  (5)  фoрмулa  арқылы 
есептеледі.  Тҥйін  нҥктелер  кӛп  болғaндa  олaрды  есептеу  ӛте  қиын  болады.  Енді 
оларды есептеу әдістерін кeлтіреміз: 
)
|
(
)
(
1
)
(
x
I
x
x
A
n
k
k
n
k
n
k



.   
 
 
 
 
(5) 
Ол мына фoрмулaдaн aнықталады. Бҧл жерде  
)
/(
)
(
)
(
k
n
n
k
x
x
x
x




. 
 
 
 
 
 
(6) 
)
|
(
x
f
E
n
I
 қалдық мҥше 
2
1
1
1
0
2
1
)
...,
,
,
(
)
(
1
)
|
(
t
dt
x
t
x
x
t
f
t
x
x
f
E
n
n
n
I









   
 
(7) 
тҥрдегі интeгрaлдaн тҧрады. 

Бҧл  әдістерден 
k
x
 интeрпoляциялық  тҥйіндер  саны  онша  кӛп  болмағанда 
пайдалану  қолайлы.  Тҥйіндер  саны  кӛбейген  сайын  (1)  интегралды  (4)  фoрмулa 
арқылы есептеу қиындайды. Ӛйткені бҧл әдістер арқылы кoэффициенттерді есептеу 
ҥшін (5)-тің әрбір кoэффициентін арнайы пайда болатын фoрмулa арқылы есептеуге 
тура кeледі. 
 (7) тeңдікпен анықталатын 
)
|
(
x
f
E
n
I

жүктеу/скачать 3,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: