Хабаршы №5 филологиялық Ғылымдар әож 81'366-512. 1 11/13

4.
 
Айтмамбетова Б., Бейсенбаева. Тәрбиенің жалпы әдістері. – А.,1991.  
5.
 
Ж.Әбиев, 
С.Бабаев, 
А.Қҧдиярова 
«Педагогика» 
Дарын 
– 
Алматы 
– 
М.Жҧмабаев. 
Педагогика. 
- 
Алматы: 
Ана 
тілі, 
1992. 
-160 
http://www.kitaphana.kz/en/articles/abstracts-in-kazakh/236-pedagogika/3235-dastyrli-emes-
sabak.html
  
6.
 
Ж.Нҧсанова, 
«Сайыс 
сабағы», 
«Оқыту 
– 
тәрбиелеу 
технологиясы» 
1.2010ж. 
 
УДК 66-045 
ШТУРМ-ЛИУВИЛЛДІҢ ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕБІ 
Нҧрмат А.Қ., Ержанов Н. 
Аймақтық-әлеуметтік инновациялық университеті 
 
      Біртекті,  біртекті  емес  теңдеудің  шексіз  кӛп  шешімі  болатыны  жай 
дифференциалдық  теңдеулер  теориясынан  белгілі,  бірақ  практикада  бір  шешімді 
бӛліп  алуға  тура  келеді.  Ол  ҥшін  қосымша  шарттар  қойылуы  керек.  Егер 
 
 
1
0
0
0
,
y
x
y
y
x
y



 бастапқы шарттар болса, онда екінші ретті,  
сызықты  жай  дифференциалдық  теңдеу  ҥшін  Коши  есебін  аламыз.  Егер  қосымша 
шарттар  қандай  да  бір  кесіндінің  ҧштарында  берілсе,  онда  шекаралық  есеп  деп 
аталатын  есепті  аламыз.  Кесіндінің  ҧштарында  берілетін  шарттар  шекаралық 
шарттар деп аталады.  
Жалғыз  шешімнің  бар  болуы  және  орнықтылығы  туралы  теоремалар. 
Жылуӛткізгіштік    теңдеуінің  іргелі  шешімі.  Пуассон  интегралы.  Негізгі  есептерді 
шешу  әдістері.  Параболалық  типті  теңдеулер  ҥшін  алғашқы  және  шекаралық 
шарттардың қойылуы. Максимум мәндер қағидасы. Шешімнің жалғыздығы туралы 
теорема. Фурье әдісі. Біртекті емес алғашқы және шекаралық шарттар. Біртекті емес 
дифференциалдық  теңдеулердің  берілген  шарттарды  қанағаттандыратын  шешімін 
анықтау. 
Гармоникалық функциялар. Дирихе, Нейман есептері. Грин формулалары. Негізгі 
шеттік  есептердің  шешімінің  бар  болуы  туралы  теорема.  Лаплас  және  Пуассон  
теңдеулері. Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі. Гармоникалық функциялардың негізгі 
қасиеттері.  Шар  мен  дӛңгелек  ҥшін  қойылған  Дирихле  есебінің  шешімі.  Пуассон 
формуласы. Пуассон формуласының кейбір салдары. Гармоникалық функциясының 
шексіздіктегі  бағасы.  Лаплас  теңдеуі  ҥшін  қойылған  шекаралық  есептердің 
шешімдерінің жалғыздығы туралы теоремалар. 
Эллипстік типті теңдеулердің шеттік есептерін интегралдық теңдеулерге келтіру. 
Математикалық  физиканың  шеттік  есептерінің  қойылуының  қисындылығы. 
Кӛлемдік  потенциал  және  оның  қасиеті.  Жай  және  екі  қабатты  потенциалдардың 
негізгі  қасиеттері.  Лаплас  теңдеуі  ҥшін  қойылған  шекаралық  есептерді  потенциал 
әдісімен шешу. Жай қабатты потенциалдың нормаль бойынша туындысы. 
Табиғаттың  кӛптеген  қҧбылыстары  шекаралық  есептер  арқылы  ӛрнектеледі, 
олардың ішінде сызықтылары кӛптеп кездеседі. Бҧл шекаралық есептер зерттелетін 
қҧбылыстың  математикалық  моделі  болып  табылады  және  олар  болмысқа  белгілі 
бір  дәлдікпен  сәйкес  келеді.  Математикалық  модель  адекватты  болуы  керек,  яғни 
модель  арқылы  алынған  нәтижелер  эксперимент  арқылы  алынған  нәтижелерде 
асаалшақ  кетпеуі  керек.  Сызықты  біртекті  шекаралық  есептерге  сызықтық 
операторлар сәйкес келеді.Егер система тҧйық болса, онда мҧндай системаға жалқы 

оператор  келеді.  Системаның  тҧйықтығы,  оған  сырттан  әсер  етуші  кҥштердің 
жоқтығын  білдіреді,  немесе  сыртқы  кҥштер  мен  ішкі  кҥштердің  тепе-теңдігін 
білдіреді, қалай болғанда дасистеманың жалпы энергиясы сақталуы керек. Сонымен 
жалқы  операторлар  арқылы  ӛрнектелетін  системаларда  толық    энергия  сақталады, 
демек мҧндай операторлардың маңызы зор, сондықтан жеке зерттеуді қажететеді. 
       Шығармамыздың  біртҧтастығы  ҥшін  негізгі  анықтамаларды    келтіре  кетейік, 
кейінірек олар кеңінен қолданылады 
  
АНЫҚТАМА  0.1.  Гильберттің 
H
 кеңістігінің  сызықтық 
 
A
D
 кӛпсаласының 
әрбір  элементіне    осы  кеңістіктің  белгілі  бір  элементін  сәйкес  қоятын  сызықтық 
тҥрлендіруді осы кеңістікте анықталған сызықтық оператор дейміз. 
 
A
D
 - сызықтық 
кӛпсаласы  
A
 операторының  анықталу аймағы болып саналады. 
 
АНЫҚТАМА 0.2. Жҧптардан қҧралған 
H
H

 кеңістігінің мына жиыны   
 
 
 
 
 


A
D
A
A








/
,
.                                                     (1.1) 
A
- сызықтық тҥрлендіруінің графигі деп аталады.. 
 
АНЫҚТАМА    0.3.  Егер 
 
A

   жиыны   
H
H

 кеңістігі  тҧйық  болса,  онда   
A
 
операторы тҧйық операторы деп аталады. 
 
АНЫҚТАМА  0.4.   
B
 және 
A
 операторы 
H
 кеңістігінде    анықталсын  делік. 
Егер 
 
 
A
B



 болса,  онда   
B
   операторын   
A
 операторының  ҧлғайтындысы 
дейміз, ал 
A
 операторын 
B
 операторының   тарылдысы  дейміз, бҧл сәтте  
B
A

 деп 
жазамыз.    Басқаша  айтқанда 
B
A

 сонда  және  тек  сонда  ғана  қашан  только  если 
 
 
B
D
A
D

  және  


A
B

 барлық 
 
A
D


 ҥшін. 
 
АНЫҚТАМА  0.5.  Егер 
A
 операторының  тҧйық  ҧлғайтындысы  бар  болса, 
онда оны қабынатын оператор дейміз. Осындай қабына алатын 
A
 операторының ең 
кіші қабындысы бар және 
A
 арқылы белгілейді. 
 
ЛЕММА 0.1. Егер 
A
 қабынатын оператор болса, онда  
 
 
A
A



. 
 
АНЫҚТАМА  0.6. 
A
 дегеніміз  Гильберттің 
H
 кеңістігіндегі  шектеулер 
сызықтық оператор болсын, оған сыңар оператор деп мына формула   
 
 
 




y
x
A
Ay
x
,
,


                                                                   (1.2) 
кез келген 
H
y
x

,
,  
арқылы  анықталатын  сызықтық  шектеулі 

A
 операторын  айтамыз,  мҧндағы 
 


,
- 
дегеніміз 
H
 кеңістігіндегі скаляр кӛбейтінді. 
           Сыңар  оператор  ҧғымын  шектеусіз,  бірақ  тығыз  анықталған  операторларға 
енгізуге болады. 
    Штурм  –  Лиувилль  есебінің  нӛлге  тең  емес  шешімдері  болатын 

 параметрінің 
мәндерін оның меншікті мәндері (меншікті сандары) деп, ал оның осы параметрдің  
мәндеріне сәйкес келетін шешімдерін ӛзіндік функциялары деп атайды 
Штурм-Лиувил теңдеуі бойынша 
)
,
0
(

 аралығында туындайтын: 
 
 
 
 
 
y
y
x
q
y
2





,                                                      (1.3) 
және екі 


2
,
1

i
 шектік шарттарымен: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


y
a
y
a
y
a
y
a
y
U
i
i
i
i
i






4
3
2
1
0
0
,                 (1.4) 
берілген  шектік  есепті  қарастырайық,  (1.3)  теңдеуіндегі 
 
x
q
-  қосындыламасын 
комплексмәнді функция, 
ik
a
- кез келген комплекс сандар. 

 
Бҧл  шектік  есептің  нӛлдік  емес  шешімдері  бар  болатын 
2



 параметрінің 
мәндерін  меншікті  мәндері  деп,  ал  сәйкесінше  шешімдерін  меншікті  функция  деп 
атаймыз.  Ары  қарай 
 
 
1
,
0
,
0





S
C
,   
   
0
,
0
,
0





S
C
 бастапқы  берілгендерімен 
анықталған  (1.3)  теңдеуінің  фундаменталді  шешімдер  жҥйесін 
 

,
x
C
, 
 

,
x
S
 деп 
белгілейміз  (демек 
 


,
0
;
,
,



x
x
C

 
 




;
,
,



x
x
S
 алдыңғы  бӛлімдегі  белгілер 
бойынша).  (1.3)  теңдеуінің  жалпы  шешімі 
 

,
x
z
 - 
 

,
x
C
, 
 

,
x
S
 функцияларының 
сызықты  комбинациясы  болғандықтан,  яғни   
 
 
 



,
,
,
2
1
x
S
A
x
C
A
x
z


,  онда     
 




















,
,
,
,
4
3
2
2
4
3
1
1
S
a
S
a
a
A
C
a
C
a
a
A
z
U
i
i
i
i
i
i
i








,          (1.7) 
болады.Бҧдан    (1),  (2)  шектік  есебі  нӛлдік  емес  шешімді  тек  қана  сол  кезде,  
 












0
,
,
,
,
14
13
12
2
14
13
11
1
















S
a
S
a
a
A
C
a
C
a
a
A
, 
 












0
,
,
,
,
24
23
22
2
24
23
21
1
















S
a
S
a
a
A
C
a
C
a
a
A
,   


0
,
14





s
a
  теңдеулер жҥйесінің 
2
1
, A
A
 коэффицентіне қатысты нӛлдік емес шешім 
бар  болса  ғана  қабылдайды.  Сондықтан  қарастырып  отырған  есептің  меншікті 
мәндері  функциясының  сипатттама  соның  тҥбірлерінің  квадраттарымен  сәйкес 
келеді. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


















,
,
,
,
,
,
,
,
24
23
22
24
23
21
14
13
12
14
13
11
S
a
S
a
a
C
a
C
a
a
S
a
S
a
a
C
a
C
a
a













.                   (1.6) 
Бҧл 
анықтауышты 
ашып 
жазып 
және 


   
   




,
,
,
,
,
x
S
x
C
x
S
x
C
S
C
W




 
вронскианының 1-ге тепе-тең екенін ескере отырып  
 
 
 


















,
,
,
,
42
32
14
13
34
12
C
J
C
J
S
J
S
J
J
J








,         (1.6) 
табамыз. 
мҧндағы   





1
2
2
1
a
a
a
a
J


-  анықтауышы  шекаралық  шарттардың 

және

 
коэффициенттер баған матрицасынан қҧралған  
 
 
 






24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
.                                                            (1.7) 
 
 
0

x
q
 болған  жағдайда  (1)-(2)  шектік  есебінің 
 


0
 сипаттамалық 
функциясы келесі тҥрде жазылатынын ескерейік: 
 
 
  










sin
cos
sin
42
32
14
13
34
12
0
J
J
J
J
J
J






             (1.8) 
және  бҧл  қарапайым  жағдайда  меншікті  және  қосылған  функциялар  жҥйесінің 
толықтығы  туралы  сҧрақты  тек 
 


0
 функциясы  тҧрақтыдан  ӛзгеше  болған 
жағдайдағы  шекаралық  шарттарға  қоюға  болады.  Бҧл  келесі  3  жағдайда 
орындалатыны анық: 
 
1) 
0
42

J
;  2) 
0
,
0
32
14
42



J
J
J
;  3) 
0
,
0
13
32
14
42




J
J
J
J
.               (1.9) 
Осы  қатыстардың  бірін  қанағаттандыратын  шекаралық  шарттар  болымсыз  деп 
аталады. 
 
ТЕОРЕМА  1.1.  (3)-(4)  шектік  есебінің  меншікті  және  қосылған  функциялар 
жҥйесі болымсыз шекаралық шарттармен 
 

,
0
2
L
 кеңістігінде толық.  
          Қосылған функцияның анықтамасын еске тҥсірейік. 
 
(4)  анықтауышының   
 



ik
ik

 элементтік 
 



ik
ik

 деп  белгілеп  және  (1) 
теңдеуінің келесі шешімдерін қҧрайық: 

 
 
 
 
 
 






,
,
,
1
2
x
x
C
x
i
i
i


.                                               (1.10) 
 (3) формуласынан 

-ға қатысты тепе-теңдік шығады. 
 
 
 
 
 
0
2
2
1
1




U
U
, 
 
 
 
 
 
   
   
 

















21
12
22
11
1
2
2
1
U
U
. 
(1)-(2)  шектік  есебінің 
n

 меншікті  мәнін 
p
-  ақырлы  деп  аталады,  егер 
n

 
 


 
функциясының  
p
 - ақырлы тҥбірі болса 
 
 
 











j
k
k
i
j
i
k
k
U
U




,  


2



, 
болғандықтан 
 
 
   
 




,
!
1
x
k
x
i
k
k
k
ik





,  


2



 
функциясы 
n



2
 кезінде 
1
0



p
k
 жағдайында  (2)  шекаралық  шарттарын 
қанағаттандырады. 
   
 
x
x
x
p
i
i
i
1
,
1
0
,..,
,




 


2
,
1

i
 функциялары  біріншісі  нӛлден 
ӛзгеше   
 
x
i
k
i,

 функциясы  меншікті,  ал  келесілері  оған  қосылған  функциялар 
болатындай  шынжырды  қҧрайды.  (3)  теңдеуін 
2



 бойынша 
k
 рет 
дифференциалдау  арқылы  меншікті  және  қосалқы  функциялар  тізбегі  келесі 
теңдеуді  
 
 
     
 
 
x
x
x
x
q
x
k
i
k
i
n
k
i
k
i
1
,
,
,
,










   
және (4) шекараның шарттарды қанағаттандырады деген қорытындыға келеміз. 
 
Шектік  есептерді  келесі  бӛлінген  шекараның  шарттармен  толығырақ 
қарастырайық. 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
1




y
hy
y
U
,  
 
 
 
0
1
2






y
y
h
y
U
,                 (1.11) 
бҧл  
 
 
h
a

11
,  
1
12


a
,  
1
23
h
a

,  
1
24

a
,  
0
22
21
14
13




a
a
a
a
.            (1.11) 
болған жағдайда шығады. 
Бҧл  кезде 
1
42

J
 болғандықтан,  шекаралық  шарттар  болымсыз,  ал  меншікті  және 
қосылған функциялар жҥйесі  
 

,
0
2
L
 кеңістігінде толық болады. 
 
Шыңында  да,  (3),  (11)  шектік  есебінің  меншікті  және  қосылғанфункциялары 
 

,
0
2
L
 кеңістігінде базисті қҧрайды. 
0
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
1
11




ay
y
y
y
L
y
   Штрум  –  Лиувилл    операторының    спертралдық  
қасиеттерінің    а-нақты      параметріне    тәуелділігі    зерттелді.    Параметр    а  (



,
)  
аралығында   ӛзгергенде  меншікті  мәндердің  ӛзгеру  аймақтары  нақты  кӛрсетілді. 
Нӛлдің    маңайында    меншікті    мәндер    тек   
0
1

а


   сәтінде    ғана    пайда  
болады. 
 
РЕЗЮМЕ 
Наличие решения задачи Штурма-Лиувилля в ограниченном промежутке и исследование их 
на основе теоремы одинокости 
 

жүктеу/скачать 3,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: