Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының ЕҢбектері

126
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ 
НА ПРОГРАММНОМ ПАКЕТЕ ANSYS 
 
Онбаев А.Б., Муханов Б.К. 
КазНТ У имени К.И. Сатпаева г. Алматы., Республика Казахстан 
 
Так  как,  во  всем  мире  спрос,  и  цены  на  конструкционные  материалы  постоянно  увеличиваются, 
появляются трудности в проектировании и испытаниях продукции, связанных со временем доставки 
и обработки материалов, человеко-часы инженеров на расчеты и проведения испытания.  
Сложность моделирования строительных объектов для выполнения качественного расчёта и анализа с 
целью определения резервов несущей способности при наличии дефектов, или для выявления участков 
конструкции,  в  которых  возможно  появление  и  развитие  трещин,  требует  работы  с  так  называемыми 
«тяжёлыми»  расчётными  системами,  примером  которых  является  программный  комплекс  ANSYS  - 
один  из  самых  мощных  современных  программных  продуктов,  позволяющих  выполнять 
полноценный  анализ  проектных  разработок  новых  и  реконструируемых  зданий.  ANSYS  позволяет 
проводить  сложные  нелинейные  расчёты,  учитывать  все  особенности  строительных  конструкций,  в 
том числе, наличие и развитие системы трещин или ухудшение свойств материалов, взаимодействие 
здания с грунтовым массивом, влияние времени и поэтапное изменение внешних нагрузок. Это даёт 
возможность  специалисту  получать  наиболее  достоверные  результаты  расчёта  при  проведении 
вычислительных экспериментов, существенно сокращая сроки и финансовые потери на производство 
работ. 
ANSYS  представляет  собой  систему  автоматизации  проектных  работ  (САПР)  или  CAD  (англ. 
Computer-Aided  Design)  —  программный  пакет,  предназначенный  для  создания  чертежей, 
конструкторской и/или технологической документации и/или 3D моделей.  
В  современных  системах  проектирования  CAD  получает  данные  из  систем  твёрдотельного 
моделирования CAE  (Computer-aided  engineering),  и  передаёт  в  CAM  (Computer-aided  manufacturing) 
для подготовки производства (например генерации программ обработки деталей для станков с ЧПУ 
или  ГАПС  (Гибких  Автоматизимрованных  Производственных  Систем)).  ANSYS  позволяет 
анализировать и применять подробную информацию о поведении жидкостей, твердых материалов и 
газов,  а  также  теплопередачи.  Процесс  моделирования  в  интерактивном  режиме  в  расчётных 
системах,  в  том  числе  и  в  ANSYS  является  достаточно  трудоёмким  и  сложным.  Кроме  того, 
требуются  большие  затраты  времени  и  ресурсы  для  подготовки  специалиста,  умеющего  работать  в 
ПП ANSYS. 
Проблема  снижения  трудоёмкости  работ  при  проведении  вычислительных  экспериментов 
становится  весьма  актуальной  при  расчётах  сложных  объектов  проектирования.  Это  побуждает 
совершенствовать вычислительную технологию и искать новые алгоритмы расчёта. Актуальность темы 
настоящего  исследования  определяется  углублением  наших  знаний  в  области  определения  свойств 
конструкций ,  прогнозирования  их поведения в аварийных и предаварийных  ситуациях  (закритичные 
нагруженные, не  предусмотренные  проектом, развитие  системы трещин) являются  весьма важными в 
строительном проектировании, а методы математического моделирования с применением современной 
вычислительной техники, современных программных пакетов и численных методов во многих случаях 
являются единственно возможным инструментом для проведения таких исследований. 
Научная новизна заключается в разработке проблемно-ориентированной программы, способной 
формировать  геометрической  и  расчётной  модели  специализированными  инструментами,  удобными 
проектировщику, для исследования поведения потока и изменения температуры в трубопроводе в ПП 
ANSYS на заданные нагрузки; 
Практическая значимость является создание проблемно-ориентированной программы позволяет 
сократить  сроки  подготовки  специалистов к работе  с ПК ANSYS и заметно уменьшить трудозатраты  и 
временные  ресурсы  специалистов  для  выполнения  инженерных  расчётов  при  внедрении  на 
предприятиях.  Целью  является  снизить  расход  материальных  средств,  уменьшить  трудозатраты  и 
временные  ресурсы  специалистов  для  выполнения  инженерных  расчётов  при  проектировании  и 
прокладки  трубопроводов.  Для  исследования  свойств  жидкости  в  трубопроводе  была  создана 
математическая модель с помощью программного пакета ANSYS. На основе разработанной модели в 
ПП  ANSYS  проведены  вычислительные  эксперименты.  На  основе  построенной  модели  были 
проведены  методические  исследования  влияния  расчетной  сетки  и  размеров  расчетной  области  на 
результаты  расчета,  в  первую  очередь  на  распределение  плотности  в  струе.  Среду  можно  считать 
сплошной    почти  во  всей  расчётной  области  (в    том    числе    в    интересных  с  практической  точки 

127 
 
зрения  областях).  Основой  метода  конечных  разностей  является  дискретизация  –  замена  непрерывной 
области  совокупностью  изолированных  точек  (сеткой),  причем  решение  уравнений  ищется  лишь  в 
этих  точках  (узлах  сетки).  Производные  аппроксимируются  конечными  разностями  и  решение  
уравнения  в  частных  производных  сводится  к  решению  системы  алгебраических  уравнений. 
Основные  особенности  получающейся  системы  алгебраических  уравнений  определяются  типом 
исходного  уравнения  в  частных  производных.  Стационарные  задачи  обычно  сводятся  к  системам 
алгебраических  уравнений,  которые  приходится  решать  одновременно  во  всей  расчетной  области, 
учитывая  заданные    граничные  условия.  Маршевые  задачи  часто  сводятся  к  алгебраическим 
уравнениям, которые можно решать последовательно. В этом разделе кратко рассматривается также  
вопрос о том, сколь точно решение разностных  уравнений приближается к решению сходной задачи. 
Для этого анализируется  погрешность аппроксимации, устойчивость и согласованность разностных 
схем. При приложении метода  конечных разностей  к  решению  уравнений  в  частных производных 
прежде  всего  необходимо    осуществить    переход    от    дифференциальных  операторов  к  их  конечно-
разностным  аналогам  на    конечно-разностной    сетке.    Если  определены    система    координат    и  
расчетная    область,    то    для    задания    конечно-разностной  сетки,  как    правило,  достаточно    ввести  
фиксированные  расстояния    между    узлами    сетки    по  каждой    координате    и    по    времени. 
Построенная  таким    образом  конечно-разностная    сетка  называется  регулярной  и  характеризуется 
постоянными шагами ∆x, ∆y по пространственным координатам  и ∆t по времени. Расстояния между 
узлами  по  разным  пространственным  координатам,  а  также  по  времени,  могут  различаться.  Сетка 
может  быть  и  нерегулярной,  то  есть  расстояние  между  соседними  узлами  в  фиксированном 
направлении  может  изменяться  с  номером  узла.  Для  каждого  уравнения    в  частных    производных 
существует  множество  его  конечно-разностных  аналогов,  из  которых  обычно  нельзя  выбрать 
наилучший со всех точек зрения. В первую очередь при  использовании  метода конечных  разностей 
надо  стремиться  к  правильной  аппроксимации    уравнении    поставленной    задачи,  а  во  вторую 
очередь  оптимизировать схему по точности, экономичности, удобству программной  реализации  на 
ЭВМ  и  т.д.  Используется  понятие  согласованной  разностной  схемы,  аппроксимирующая  данное 
уравнение  в  частных  производных.  Погрешностью  аппроксимации  называется  разность    между 
дифференциальным    уравнением    и    его    конечно-разностным  аналогом,    поэтому    условием 
согласованности  разностной  схемы  является  стремление  к  нулю  погрешности  аппроксимации  при 
измельчении  сетки.  Это  условие  выполняется,  если  погрешность  аппроксимации  убывает  при 
измельчении сетки, т. е. если погрешность аппроксимации имеет порядок O(∆t), O(∆x) и т.д. Однако 
если порядок погрешности аппроксимации равен, например, O(∆t/∆x), то схема будет согласованной 
лишь  в  том  случае,  когда  измельчение  сетки  проводится  в  соответствии  с  условием  ∆t/∆x  →  0. 
Понятие  счетной  устойчивости  строго  применимо  лишь  при  решении  маршевых  задач.  Разностная 
схема  называется  устойчивой,  если  на  каждом  шаге  по  маршевой  координате  любая  ошибка 
(погрешность  округления, погрешность аппроксимации, просто  ошибка) не возрастает при переходе 
от  одного  шага  к  другому.  Обычно  для  достижения    устойчивости  разностной  схемы  требуется 
намного  больше  усилий,  чем  для  достижения  ее  согласованности.  Проверить  условие 
согласованности  разностной  схемы  нетрудно,  кроме  того,  для  корректно  построенной  разностной 
схемы обычно оно выполняется автоматически.  
Устойчивость –  свойство более тонкое, и для его доказательства обычно требуется аналитическое 
рассмотрение  разностной  схемы.  В  случае  линейных  уравнений  в  частных  производных  выполнения 
условий  устойчивости  и  согласованности  достаточно  для  сходимости  разностной  схемы.  Под 
сходимостью  в  данном  случае  понимается  стремление  решения  конечно-разностного  аналога 
уравнения  в  частных  производных  к  решению  исходного  уравнения  при  измельчении  сетки  в 
соответствии с условием согласованности.  Любое численно полученное решение, даже так называемое 
точное аналитическое решение  уравнения  в  частных производных, зависит  от  ошибок  округления, 
вязанных с конечны числом  знаков, используемых при арифметических  операциях. Возникающая при 
этом погрешность называется погрешностью округления. Консервативной схемой называется разностная  
схема,    обеспечивающая    точное  выполнение    законов    сохранения  (исключая    погрешности  
округления)    на    любой    сетке    в  конечной    области,    содержащей    произвольное    число    узлов  
разностной    сетки.  Для    решения  некоторых  задач  можно  использовать  только  консервативные 
разностные  схемы.    При  построении    разностной  схемы  в  уравнение  может  неявно  вводиться 
искусственная  вязкость,  которую  часто  называют  схемной.  Искусственная  вязкость  сглаживает  
решение  уравнения,  уменьшая  градиенты  всех  параметров  независимо  от  причины  возникновения 
этих  градиентов,  физической  или  вычислительной.    Другое  близкое  к  свойство  разностных  схем, 
допускающее физическую  интерпретацию, называют дисперсией. Дисперсия  приводит к искажению  

128
 
 
соотношения  фаз    различных    волн  при  их  распространении.    Обычно  если    главный  член  в 
выражении  для  погрешности  аппроксимации  содержит  производную    четного    порядка,  то  схема 
обладает в основном  диссипативными свойствами (вносится схемная вязкость), а если производную 
нечетного  порядка  –  дисперсионными.  При  расчете  несжимаемых  течений  на  входной  границе 
задается  скорость    набегающего    потока,    и,    при    необходимости,  турбулентные  характеристики, 
давление  экстраполируется  изнутри  области.  На  выходной  границе  задается  давление,  остальные 
переменные экстраполируются.  
На  выходной  границе  значения  касательных  составляющих  скорости  и  энтропии  
экстраполируются    изнутри    области,  на  входной  границе  эти  величины  задаются.  Используя 
значения всех компонент  можно  вычислить  плотность, скорость, давление и температуру. 
В  решении  энергетических  потребностей,  экономической  выгоды  и  другим  вопросам, 
инженерного  моделирования  такие  программные  пакеты  как  ANSYS  становятся  важнейшим 
инструментом, в помощи производителям сократить время между проектом и конечным продуктом, 
снизить себестоимость и повысить качество продукта.  
 
Литература 
 
1. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. –  М.: Мир, 1988. 352 с.  
2.  Андерсон  Д.,  Таннехилл  Дж.,  Плетчер  Р.    Вычислительная  гидродинамика  и  теплообмен.  –  
М.: Мир, 1990. Т. 1. 382 с.  
3. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы.– М.: Наука, 1973. 396 с.  
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. –  М.: Наука, 1978. 508 с. 
5. FLUENT Theory Guild, 2012 
6. Титов В.Н., Храмов А.Е. Численные методы анализа распределенных динамических систем  – 
С.: Образование, 2008. 
 
 
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ОСОБОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 
В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ПОЛОСЫ 
 
Хайруллин Е.М., Тулешева Г.А. 
КазНТУ  имени  К.И. Сатпаева Алматы., Республика Казахстан 
 
В статьях [1, 2] рассмотрены краевые задачи для уравнения теплопроводности, когда граничные 
условия содержат производные порядка, превышающие порядок уравнения. 
В настоящей работе аналогичная краевая задача для параболи-ческого уравнения в многомерном 
пространстве для полосы. Методом потенциалов поставленная задача сведена к системе сингулярных 
интегральных  уравнений  (ССИУ).  Доказано,  что  при  выполнении  условия  разрешимости  решение 
краевой задачи выражается через решения ССИУ. 
1. Постановка задачи. Найти решение 
 
 
T
m
,
m
t
,
x
Q
C
t
,
x
u
i
i







2
 параболического уравнения 

  


0

t
,
x
u
D
,
D
L
t
x
 
                                                        (1) 
 
в области 




,
[
T
,
]
t
,
l
x
,
R
x
:
t
;
x
;
x
Q
n
n
n
T
0
0
1
1






 удовлетворяющее начальному условию  


0
,
0


t
t
x
u
                                    
 
 
(2) 
и граничным условиям 
   



 

 


2
1
1
,
i
,
x
\
Q
Q
t
,
x
,
t
,
x
f
t
,
x
u
D
L
n
T
T
i
x
m
i
i







,                                 (3) 
где  







n
k
kk
x
kk
t
t
x
,
a
,
D
a
D
D
,
D
L
k
1
2
0  
 
 
 



i
i
m
k
k
x
i
k
x
m
,
D
b
D
L
 

129 
 




n
n
k
...,
,
k
,
k
k
,
x
...,
,
x
,
x
x
2
1
2
1


 – мультиндекс с неотрицательными координатами, 
;
k
...
k
k
k
n




2
1
,
D
...
D
D
D
n
n
k
x
k
x
k
x
k
x
2
2
1
1



;
n
,
i
x
D
i
x
i
1




 
i
k
b
- заданные постоянные, 
0
0
0

m
,...,
,
b
; 
 
 










,
i
при
l
x
;
i
при
x
n
n
i
2
1
0
2
1



 


t
,
x
f
i

 – заданные функции, удовлетворяющие условию Гельдера по переменной 
x
. 
 
2. Сведение задачи (1) - (3) к системе интегральных уравнений (СИУ). 
 
Решение краевой задачи (1) -(3) будем искать в виде 
 
 


,
t
,
x
l
,
x
G
x
t
,
x
G
x
t
,
x
u
n
n
n











2
1


                               
(4) 
где 
 
t
,
x
G
 – фундаментальное решение параболического уравнения,  
причем  
 
 

 

,
A
det
t
x
A
t
exp
a
t
,
x
G
n
n
i
i
i
,
i
nn
2
1
2
1
2
4
4
1
2











 
 А - диагональная матрица, состоящая из старших коэффициентов 


,
n
,
i
a
ii
1

 
 а 
 
i
,
i
A
 - элементы обратной матрицы 
1

A
; 
 






















t
R
n
n
n
n
n
.
d
t
,
x
,
x
G
x
,
d
t
,
x
,
x
G
x
0
1








 
Непосредственной проверкой можно показать, что функция 
 
t
,
x
u
, определяемая формулой (4), 
удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2). 
 
Рассмотрим теперь задачу с граничными условиями 
 


 

 








i
n
i
n
n
n
i
m
k
i
k
x
x
i
k
m
,
i
,
t
,
x
t
,
x
u
D
D
b
0
2
1


, 
                                (5) 
где  
 


 










n
i
n
n
i
k
m
k
k
x
i
k
,
k
x
i
k
m
,
D
b
D
b
 
 




 


 








1
i
n
n
n
n
i
m
k
k
x
x
i
k
m
i
i
t
,
x
u
D
D
b
t
,
x
f
t
,
x

                                         (6) 
Для нахождения предела производных функции 
 
t
,
x
u
, определяемой формулой (4), входящих в 
условие  (5),  используя  Лемму  и  обратные  операторы 
n
F

  и 
2
1

n
F
,  приведенные  в  работе  [4], 
получим  ССИУ относительно неизвестной функции 


:
t
,
x
i


 




 










2
1
k
i
i
k
k
,
i
i
t
,
x
t
,
x
H
t
,
x



, 
                                    (7) 
где 
 








,
t
,
x
F
a
t
,
x
i
m
m
nn
i
i
i
i






2
                                   
           (8) 
i
,
i
H - сингулярный оператор с ядром 
 
 


 














i
n
n
n
n
n
m
k
n
k
x
i
k
m
k
nn
k
i
,
i
,
t
,
x
g
k
t
D
b
a
h
0
1
2
2
1

 

130
 
 
                   






,
A
det
t
x
A
t
exp
t
,
x
g
n
n
k
k
k
,
k
1
1
2
2
4
1













                                                    
(9) 
причем ядро 


t
,
x
h
i
,
i

 обладает свойствами 


;
x
d
t
,
x
h
n
R
i
,
i
0
1





 
i
,
i
H

3
 - регулярный оператор с ядром 
i
,
i
h

3
, удовлетворяющий оценке  


 
,
t
t
x
c
exp
M
t
,
x
h
n
i
,
i














2
0
3

                                         
(10) 
где 

и
c
,
M
0
 - положительные постоянные 
Теперь, выделяя главную часть ССИУ (7), рассмотрим её характеристическую часть 
 
         






,
t
,
x
t
,
x
*
H
t
,
x
i
i
i
,
i
i








                                 
(11) 
где  
 
 
 


 




,
t
,
x
*
H
t
,
x
t
,
x
i
i
,
i
i
i
i









3
                                          (12) 
Временно  считая,  что  функции 


t
,
x
i


известными  и  воспользовавшись  результатами  работы 
[3], можно найти решение 


t
,
x
i


 сингулярного интегрального уравнения (11)  
в явном виде 
  




 


,
t
,
x
H
t
,
x
t
,
x
j
jj
j
j









1
                                 
   (13) 
где 
 
1
jj
H
 - интегральный оператор с ядром 
 




 
 

  






  















1
1
1
1
1
2
2
1
n
R
nn
j
,
n
jj
n
t
t
s
a
i
C
t
,
x
h
 
 


 




 


 






































d
!
t
q
s
a
i
s
,
x
i
t
s
q
a
A
exp
t
q
s
a
i
j
nn
n
j
nn
,
j
nn
2
1
1
1
2
2
                           (14) 
 
 
 




j
,
C
  -  определенный  коэффициент,  зависящий  от 
 
j
b

  и 


1
2
1



n
...,
,
,




, 


;
n
,
i
s
s
i
i
1
1





 
 
j
q

 – корни характеристического уравнения 
 
 
,
z
B
j
j
m
m
j
0
0









                                      
        (15) 
где 
 
 



j
B
 - известные постоянные, зависящие от 
 
j
b

 и   , удовлетворяют неравенству 
 
 


1
1
2




n
,
a
a
q
Re
nn
j



                                        
(16) 
Здесь ядро 
 


t
,
x
H
jj

1
 удовлетворяет следующей оценке 
 
 


 










,
,
,
t
m
x
C
exp
t
M
t
,
x
h
n
jj
1
0
1
0
4
1
1
0
2
0
1
1
1

















  
(17) 
где 
0
0
m
,
C
,
M
 - некоторые положительные постоянные. 
На основании (6), (12), (14)-(17) из (13), получим СИУ: 
 

131 
 




 









2
1
j
i
i
j
ij
i
,
t
,
x
t
,
x
*
K
t
,
x



 
                          (18) 
 
где 
 


t
,
x
i
i


 - определяется из равенства (10). 
Здесь 
ij
K
 – интегральный оператор с ядром 


t
,
x
k
ij

, удовлетворяющим оценке  


 




,
,
t
x
exp
t
M
t
,
x
k
n
ij
1
0
2
1
1
2




















                       
(19) 
где 
1
2

,
M
 - некоторые положительные постоянные. 
На основании оценки (19) СИУ (18) можно решить методом последовательных приближений. 
Справедлива  следующая  теорема.  Если  функции 


 


,
Q
H
t
,
x
f
T
x
i
1




  то  при  выполнении  условия 
разрешимости  (16),  существует  решение 
 
 
T
m
,
m
t
,
x
Q
C
t
,
x
u
i
i







2
  краевой  задачи  (1)-(3),  определяемой 
формулой (4), где неизвестные функции 


t
,
x
i


 определяются из СИУ (18). 
 

жүктеу/скачать 17,17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: