КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В СРЕДЕ

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

247

исследования,  метод  обработки  результатов  наблюдения  при  активном  и 

пассивном  эксперименте.  Идея  метода  заключается  в  минимизации 

функционала несоответствия выходов модели и объекта.  

По  методу  проведения  эксперимента  на  объекте  можно  выделить 

активные,  пассивные  и  смешанные  методы  идентификации.  При    активном 

эксперименте можно предусмотреть, как следует проводить каждый отдельный 

опыт,  чтобы  минимизировать  интегральные  характеристики  точности,  то  есть 

можно  заранее  составить  план  эксперимента.  Принципы  планирования 

экспериментов 

направлены 

на 

повышение 

эффективности 

экспериментирования  [1].  

В 

рабочий 

учебный 

план 

магистратуры 

по 

специальности 

«Автоматизация  и  управление»  включена  дисциплина  «Теория  и  техника 

инженерного  эксперимента»,  по  которой  предусмотрено  выполнение 

лабораторных  работ.  При  отсутствии  специализированной  моделирующей 

установки  лабораторные  занятия  можно  проводить,  используя  цифровые 

модели.  Программа  в  соответствии  с  заданной  легендой  и  функцией  отклика 

имитирует поведение реального объекта и предоставляет органы работы с ним. 

На  кафедре  «Инженерная  кибернетика»  АИЭС  разработан  виртуальный  стенд 

(моделирующее  устройство)  для  проведения  лабораторных  занятий  [2].  Стенд 

разработан  в  среде  графического  программирования  LabView  фирмы  National 

Instruments. В отличие от текстовых языков в LabVIEW программы создаются в 

виде  графических  диаграмм.  Моделирующее  устройство  представляет  собой 

программную  реализацию  математической  модели  сложного  объекта 

управления, задаваемой в виде системы уравнений: 

( )

( )

,

t

a

x

y

+

+

=

ε

ϕ

 

где 

y

—  векторная  выходная  величина; 

x

  —  вектор  факторов;  е  – 

случайная помеха, a(t) — временной дрейф. 

Для  моделирования  случайной  помехи  и  временного  дрейфа  служат 

генератор  шума  и  генератор  дрейфа  параметров.  Случайная  помеха 

моделируется  по  нормальному  закону  распределения  вероятностей  с  нулевым 

математическим ожиданием и постоянной дисперсией; временной дрейф может 

быть  представлен  в  виде  дискретного  процесса  либо  некоторой  непрерывной 

функции времени.  

Рассматриваемое  виртуальное  моделирующее  устройство  предназначено 

для 

моделирования 

сложных 

объектов 

управления, 

описываемых 

статистическими  уравнениями  в  виде  полиномов  не  выше  второго  порядка  с 

несколькими  входными  и  выходными  величинами  и  подверженных 

воздействию  случайных  помех  и  временных  дрейфов.  На  этой  модели  можно 

изучать влияние четырех факторов и их парных взаимодействий на два отклика 

системы.  В  ходе  лабораторной  работы  характеристики  моделей  объектов 

задаются пользователем. Этим самым можно изменять число и степень влияния 

основных факторов и их взаимодействий на первый или второй отклик объекта. 

В  устройстве  предусмотрена  возможность  введения  аддитивного  шума 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

248

различной  интенсивности,  а  также  временного  дрейфа  с  различными 

характеристиками.  Обучающимся  могут  быть  поставлены  исследовательские 

задачи различной сложности, требующие для своего решения широкого набора 

статистических методов.  

На  данный  момент  виртуальное  моделирующее  устройство  позволяет 

решать  следующие  задачи  по  исследованию  сложных  систем,  подверженных 

случайным помехам: экспериментальный анализ случайных величин, проверка 

статистических  гипотез,  планирование  экспериментов  методами  полного 

факторного  эксперимента,  дробного  факторного  эксперимента,  планирование 

второго порядка,  планирование экстремальных поисковых экспериментов при 

наличии аддитивных случайных помех.  

Для имитации экспериментов и снятия характеристик объекта разработан 

пользовательский  интерфейс.  Список  тем  приводится  в  основном  окне 

пользовательского интерфейса; в нем выбирается тема исследования (нажатием 

на соответствующую кнопку), дальнейшая работа проходит в режиме диалога с 

пользователем,  в  котором  моделирующее  устройство  отражает  на 

определенных  формах  «реакцию»  объекта  на  действия  пользователя. 

Пользователю необходимо предпринять те или иные действия в соответствии с 

алгоритмом  решаемой  задачи.  Другими  словами,  пользователь  до  проведения 

экспериментов  на  модели  должен  изучить  рассматриваемые  методы 

исследования.  

В одной из лабораторных работ рассматриваются методы решения задачи 

оптимизации  в  экспериментальных  исследованиях.  Отличием  методов 

оптимизации  в  задачах  исследования  реальных  объектов  от  процедур  чисто 

вычислительного плана является наличие неконтролируемых факторов – шума 

случайного  характера.  В  лабораторной  работе  рассматриваются  поисковые 

методы  оптимизации,  в  которых  осуществляется  последовательное  локальное 

изучение  поверхности  отклика.  Экстремальное  значение  достигается  с 

помощью последовательных процедур, включающих в себя:  

а) 

определение 

по 

результатам 

специально 

спланированных 

экспериментов  направления  движения  из  некоторой  начальной  точки,  в 

окрестности  которой  проводится  эксперимент.  Это  направление  зависит  от 

локальных  свойств  поверхности  отклика  вблизи  данной  точки  и  определяется 

таким  образом,  чтобы  движение  в  найденном  направлении  приводило  к 

значению отклика, более близкому к оптимальному, чем в предыдущей точке; 

б) организацию движения в найденном направлении; 

в)  многократное  повторение  указанных  этапов  до  достижения  точки 

оптимума. 

На рисунке 1 приведена форма для лабораторной работы по поиску точки 

экстремума  поверхности  отклика  градиентным  методом:  на  каждом  этапе 

вокруг  очередной  базовой  точки  организуются  пробные  эксперименты,  по 

результатам  которых  оценивается  новое  направление  градиента,  после  чего  в 

этом  направлении  совершается  один  рабочий  шаг.  Решение  о  достижении 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

249

экстремума  принимает  пользователь  и  завершает  поиск  (при  выполнении 

условия окончания поиска, индивидуального для каждого метода).  

На  данный  момент  программа  выдает  результаты  экспериментов  в 

текстовом  виде  (значения  на  входе  устройства  и  соответствующие  им  на 

выходе).  Проводится  дальнейшая  работа  по  усовершенствованию  программы, 

чтобы  можно  было  получать    результаты  в  графическом  виде  (например, 

графики зависимостей критерия оптимизации от входных значений факторов). 

Это  значительно  облегчит  работу  пользователя,  которому  не  надо  будет  

чертить  графики  вручную  для  того,  чтобы  определить,  какую  зависимость 

имеет  критерий  оптимизации  от  данного  фактора  –  линейную,  квадратичную, 

кубическую или гиперболическую.  

 

 

 

Рисунок 1 – Форма для поиска точки экстремума поверхности отклика 

 

Список литературы: 

 

1. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.:Мир, 1987. 

2. 

Ибраева 

Л. 

К. 

Виртуальный 

лабораторный 

стенд 

для 

экспериментального 

исследования 

сложных 

систем. 

Материалы 

международной  научно-практической  конференции  «Актуальные  проблемы 

математики, информатики, механики и теории управления». – г. Алматы, 19-20 

ноября, 2009, с.   

О РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМА ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧНЫХ КОНСТАНТ 

В ОЦЕНКАХ  ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ  СПЛАЙНАМИ 

НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ 

 

Калиев П.У. 

Казахстанско-Британский технический университет, Алматы 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

250

 

This  paper  is  about  a  program  for  computing  constants  of  interpolations  of 

periodic  functions  by  splines  of  odd  degrees  on  the  grid  with  a  constant  step.  For 

computing  these  constants  we  have  developed  an  algorithm  for  obtaining  exact 

discrete interpolations of periodic functions of the class W

1

+

∞

k

. 

Методы  сплайн-функций  получили  широкое  распространение  в 

вычислительной  математике  и  инженерной  практике.  Сплайны  применяются 

при  решении  задач  интерполяции,  приближения  сложных  кривых  и 

поверхностей, дифференцирования и интегрирования функций, используются в 

обработке  экспериментальных  данных  и  прогнозирования  в  задачах 

моделирования  процессов  и  производств.  Распространению  сплайнов 

способствовали  ее  хорошие  аппроксимационные  свойства  и  удобство  их 

реализации  на компьютерах. 

В  теории  сплайн-функций  становится  актуальным  исследование 

аппроксимационных  свойств    и  получение  точных  констант  в  оценках 

погрешности  приближения  функций  сплайнами  произвольной  степени.  Для 

локальных  интерполяционных  сплайнов  методы  получения  таких  оценок 

разработаны в [1]. В этой монографии также приводится сравнительно простая 

техника,  позволяющая  получать  в  некоторых  случаях  точные  константы  для 

сплайнов  невысоких  степеней.  В  [2]  приводится  методика  для  получения 

оценок  погрешности  приближения  функций  и  ее  первых  производных 

сплайнами  произвольной  степени  на  равномерной  сетке,  однако  она 

рассматривается  для  периодических  сплайнов  на  классах  функций 

согласованных со степенью сплайна. В целом в явном виде получение точных 

постоянных  в  оценках    погрешности  приближения  функций  удается  только  в 

редких случаях.  

В работе [3] приводится алгоритм получения точных поточечных оценок 

погрешности  приближения  периодическими  сплайнами  нечетной  степени  на 

равномерной  сетке.  Предлагаемый  алгоритм  позволяет  получать  точные 

константы для функций и всех ее производных, причем на классах функций,  не 

только  согласованных    со  степень    сплайна.      Настоящая  работа  посвящена 

использованию данного алгоритма при разработке программы для  вычисления 

точных  поточечных  констант  в  оценках  погрешности  приближения  функций 

сплайнами нечетной степени на равномерной сетке. 

Пусть на отрезке  [a,b] в узлах равномерной сетки ∆

N 

: x

i

 = a+ih,        i = 

0,1,...,N  с  шагом  h  =  (b-a)/N  заданы  значения  f

i

=f(x

i

)  некоторой  (b-a)  - 

периодической  функции  f(x)∈W

∞

+

(

)

k 1

, 

k=0,1,...,2n+1.  Обозначим  через  S

2n+1

(x) 

интерполяционный  периодический  сплайн  степени  2n+1,  дефекта  1  [1,2], 

удовлетворяющий условиям  

S

2n+1

(x

i

) = f

i

,   i = 0,1,...,N. 

 

Ставится задача вычисления значений функций  C

n,k,r

(t)  при любом  

t

∈[0,1] в оценках вида    

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

251

S

2

1

n

r

+

( )

(x) - f

(г)

(x) ? C

n,k,r

(t) 

h

k

f

k r

k

− +

+

∞

1

1

!

(

)

,                    

(1)  

k = 0,1,...,2n+1; r=0,1,…,k,  

где x = x

i

 + th,  i = 0,1,...,N-1, 

В  соответствии  с  теоремой  1  в  работе  [3]    приводится  следующая 

формула для вычисления констант C

n,k,r

(t):  

C

n,k,r

(t) =  G

t

d

G

t

d

r

r

t

o

t

0

0

0

1

1

( )

( )

( , )

(

, )

τ

τ

τ

τ

+

−

+

−

∫

∫

 

∑ ∫

∫

∞

=













−

+

+

1

1

0

1

)

(

)

(

)

,

1

(

)

,

(

i

o

r

i

r

i

d

t

G

d

t

G

τ

τ

τ

τ

         

 

 

(2) 

G

0

(t,

τ) = 

a Q

i

i

i

n

=

∑

1

(t,

τ) +ϕ

0

(t,

τ),   

G

i

(t,

τ) = 

a Q

i

i

i

n

=

∑

1

(t,

τ)w

i

i

,    i = 1,2,...,?; 

Q

i

(t,) = 

φ

m

m

n

=

∑

0

2

(t,

τ)w

i

m n

−

,   i = 1,2,...,n; 

φ

m

(t,

τ) = (-1)

k+1

[

b t m

j

j

k

j

m

( )(

)

− +

−

=

∑

τ

0

 

 - b

j

(1)(m-j+1-t+

τ) ],      m = 0,1,...,n; 

 

 

 

φ

m

(t,

τ) = (-1)

k+1

φ

2n-m

(1-t,1-

τ) -  

- b

2n-m

(0)(t-

τ)

k

,        m = n+1,n+2,...,2n; 

b t

C

j

s

t

j

s

n

s

n

s

j

( )

(

)

(

)

,

=

−

+ − −

+

+

=

∑

1

1

2

2

2

1

0

 

                                                        j = 0,1,...,n. 

a

i

 = 

w

w

w

i

n

i

j

j

j

n

−

=

≠

−

∏

1

1

1

2

(

)

,       i = 1,2,...,n. 

 

 

 

w

i

,  i=1,2,...,n,  -  корни  характеристического    полинома    P

n

(x)= 

b

x

i

i

i

n

( ) ,

0

0

2

=

∑

 

удовлетворяющий условию w

i

  < 1. 

Данная  формула  позволяет  получить  константы  для  любого  t∈[0,1]  и  

произвольных  значений  n,  k  =  0,1,...,2n+1      и    r=0,1,…,k.    Функции  C

n,k,r

(t) 

представлены  в  виде  бесконечно-убывающих  рядов  и    вычислять  ее  значения 

теоретически  можно  с  любой  наперед  заданной  точностью.  Необходимую 

точность  можно  задать  при  запуске  программы,  поэтому  в  практических 

задачах оценки полученные таким образом можно считать точными. 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

252

Для  расчетов  оценок  с  помощью  компьютера  используем  следующую 

методику.  Пусть  t∈[0,1]  фиксировано  и  задано  некоторое  число  е-  точность  с 

которой  необходимо  вычислить  постоянные.  Вычисление  этих  постоянных  по 

формуле (2) сводится к вычислению интегралов вида 

F

i

(z)= 

∫

α

τ

τ

o

r

i

d

z

G

)

,

(

)

(

 

 

 

 

 

(3) 

в  которых  известны  выражения  для  функций  G

)

(r

i

(z,

τ),  где  z  равен  t  или 

(1-t);  б=z  при  i=0,    и  б=1  при  остальных  i=1,2,…,∞.  Для  вычисления  этих 

интегралов  необходимо  определить  точки 

i

τ

(t)    в  которых  G

)

(r

i

(z,

τ)  меняют 

знак. Этими точками являются корни уравнений  

G

)

(r

i

(z,

τ)=0, ф∈[0,б]. 

Путем  вычислений достаточно густой сетки значений  определяем границы 

корней, и далее для нахождения этих корней используем методом деления пополам. 

Этим методом также предварительно определяются значения, входящие в G

)

(r

i

(z,

τ) 

и являющиеся корнями характеристического полинома P

n

(x). 

Таким  образом,    вычисление  интеграла  (3)  сводится  вычислению 

интегралов  

∫

+

)

(

)

(

)

(

1

)

,

(

z

z

r

i

j

j

d

z

G

τ

τ

τ

τ

 

Подинтегральные функции G

)

(r

i

(z,

τ) в заданных пределах интегрирования  

не  меняют  знак  и  к  тому  же  являются  многочленами  не  выше  степени  2n+1. 

Поэтому  для  вычисления  этих  интегралов  целесообразно  использовать 

квадратурную формулу Гаусса, точную для многочленов степени 2n+1. 

По  условию  теоремы  1  из  [3]  w

l

    <  1,  l=1,2,…,n  поэтому      G

)

(r

i

(z,

τ),    а 

вместе  с  ним  и  величина      F

i

(z,б)  убывают    с  возрастанием  i.  Таким  образом  

C

n,k,r

(t)  представляют сумму двух бесконечно-убывающих ряда  

C

n,k,r

(t)  = 

∑

∑

∞

=

∞

=

−

+

0

0

)

1

(

)

(

i

i

i

i

t

F

t

F

 

Для  вычисления    ее  значений    с  заданной  точностью    е,  необходимо 

вычислить  столько  членов  этих  рядов.    чтобы  сумма  остаточных  членов  в 

каждом из рядов не превышала е/2. Отсюда  при z=t  имеем 

•

+

+

n

i

n

w

w

1

1

∑

=

≤

n

l

r

l

l

t

Q

a

1

)

(

.

2

)

,

(

ε

τ

 

Откуда 

)

)

,

(

2

)

1

(

ln(

1

)

(

∑

=

+

≥

n

l

r

l

l

n

z

t

Q

a

w

i

ε

/ln(|w

n

|-

1 

Аналогично определяются   i  для z=1-t. 

Для  нахождения  максимального  значения  C

n,k,r

  в  оценке  (1)    составляем 

таблицу поточечных значений C

n,k,r

(t) в узлах достаточно густой сетки. Из этих 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

253

значений выбираем наибольшее значение,   снова  составляем таблицу значений 

C

n,k,r

(t)        с  более  мелким  шагом.  Продолжая  этот  процесс    до  достижения 

точности ЭВМ, в итоге получим необходимую нам оценку  и точку,  в которой 

она  достигается.  На  основе  разработанного  алгоритма    и  предложенной 

методики  ее  реализации  разработана  программа  на  языке  Фортран.  Данная 

программа  позволяет  вычислять  постоянные  в  оценках  погрешности 

приближения  функций  сплайнами  с  произвольными  значениями  n, 

k=0,1,…,2n+1    и  r=0,1,…,k.  По  данной  программе  были  проведены  расчеты 

констант для сплайнов до 15 степени включительно. Вычисления для сплайнов 

для  более  высоких  степеней  требует  значительного  машинного  времени,  что 

связано  с  более  высокой  точностью  вычислений  и  накоплением  ошибок 

погрешности при расчете для  n>15.  

Полученные  константы  имеют  важное  значение  в  теоретических  и 

практических исследованиях. 

 

Список литературы: 

 

Завьялов  Ю.С.,  Квасов  Б.И.,  Мирошниченко  В.Л.  Методы  сплайн 

функций.-М.: Наука, 1980. – 352с.  

Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. –М.: Наука, 1985.-350с. 

Калиев  П.У.  Алгоритм  получения  точных  констант  в  оценках 

погрешности приближения сплайнами нечетной степени на равномерной сетке. 

//Методы  сплайн-функций.  –  Новосибирск.  -1988.  Вып.128:Вычислительные 

системы. –с.3-31. 

 

 

 

 

 

жүктеу/скачать 11,62 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: