Issn 1607-2782 Республикалық

 
110 
ротордың жоғарғы гармониялық тербелістері.  // ҚазҰТУ Хабаршысы. - Алматы, 2011. - № 2(84). –
49-57 бб. 
2.Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. – М.: Мир, 1968. 
3.Szemplinska-Stupnicka W.Higher harmonic oscillations in heteronomous nonlinear systems with one 
degree of freedom//Internal J.Nonlinear Mech.-1968.-Vol.3,N 1.-P.17-30. 
4.Тулешов А.К., Искаков Ж., Калыбаева А.К. Динамика вертикального гироскопического ротора с 
перекосом диска и дисбалансом массы. // Вестник КазНПУ имени Абая. Серия физико – 
математических наук. – Алматы, 2010.  - № 3 (31). - С. 184 – 194. 
 
Резюме 
В статье исследуются главные резонансные колебания и устойчивость вертикального жесткого 
гироскопического ротора с геометрически нелинейной упругой характеристикой и влияние на них 
дисбаланса массы и перекоса диска.  
 
Summary 
       The main resonance oscillations, steady vertical rigid gyroscopic rotor with geometric nonlinear 
elastic characteristic, the influence of the mass imbalance and bias drive is considered. 
 
 
 
УДК 371.3:007 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С 
ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 
 
Б.К.КАЛИЕВ, кандидат технических наук, профессор,  
А.О.ОТЕТИЛЕУ, магистр информатики 
Кызылординский государственный универистет им. Коркыт Ата 
 
В  настоящее  время  существенно  расширились  область  применения  цепей  и  систем  с 
переменными  во  времени  параметрами.  Подобные  цепи  встречаются  во  многих  устройствах 
электроэнергетики, автоматики, радиоэлектроники, вычислительной и измерительной техники. В 
таких цепях или системах часть параметров (активное сопротивление, индуктивность, емкость и 
др.)  изменяется  во  времени  по  определенному  закону.  Расчет  режимов  электрических  машин 
также  можно  рассматривать  как  решение  задачи  анализа  параметрических  цепей.  Если 
трансформатор,  будучи  статическим  устройством,  описывается  уравнениями  с  постоянными 
коэффициентами, то электрическая машина, обладающая подвижными контурами, - уравнениями 
с переменными параметрами. 
Вопросы разработки методов и алгоритмов численного анализа и моделирования подобных 
систем  становятся  весьма  актуальными,  так  как  получение  точных  аналитических  решений 
возможно лишь в исключительных случаях. Несмотря на большое количество работ, посвященной 
этой задаче, некоторые вопросы остаются мало изученными. Многие из этих работ имеют частный 
характер и адресуются к схемам или уравнениям определенных видов. 
Предложенный  в  метод  суммирования  конечных  приращений  (СКП)  при  практической 
реализации  для  анализа  линейных  и  нелинейных  цепей  зарекомендовал  себя  как 
высокоэффективный машинно-ориентированный метод. 
Цель  данной  работы  –  исследование  и  развитие  метода  СКП  для  анализа  параметрических 
цепей.  Одним  из  основных  преимуществ  метода  СКП  является  то,  что  алгебраизация 
дифференциальных  соотношений  для  элементов  цепи  реализуется  на  начальной  стадии  работы 
алгоритма.  При  этом  элементы  цепи  заменяются  дискретными  физическими  моделями,  которые 
получены  по  этому  методу.  Дифференциальные  и  интегральные  соотношения  этих  элементов 
заменяются  дискретными  математическими  моделями.  Дальнейший  вычислительный  процесс 
представляет  собой  операции  только  с  алгебраическими  уравнениями,  поэтому  формирование  и 
преобразование  дифференциальных  уравнений  цепи  перестает  быть  обязательным.  Ниже 
рассмотрим получение дискретных физических и математических моделей переменных элементов 

 
111 
с помощью метода СКП [1]. 
Дискретная модель переменного резистора R(t). 
Теорема 1. Если функция R(t) является непрерывной и не равна нулю в рассматриваемом 
интервале времени, то дискретная математическая модель переменного резистора в k-й точке 
динамического процесса удовлетворяет соотношению  
                                             
)
(
1
)
(
t
R
k
R
k
k
R
E
i
R
U
                                                                       (1) 
описывающему дискретную физическую модель этого элемента, состоящую из последовательно 
соединенных (рис.1) резистора R(t) и источника ЭДС E
R(t)
, где 
.
,
1
1
1
)
(
k
k
k
k
k
t
R
R
R
R
i
R
E
 (2) 
 
Рис.1 
Как известно, для переменного резистора из закона Ома следует соотношение 
                                                   
)
(
)
(
)
(
t
R
t
R
i
t
R
U
                                                                         (3) 
Задача состоит в том, чтобы найти взаимность между приращениями тока и напряжения для 
выбранного промежутка времени 
k
k
k
t
t
t
1
. 
В искомой точке значения напряжения и тока определяются как 
                                                  
k
k
k
U
U
U
1
,                                                                           (4) 
k
k
k
i
i
i
1
 или 
1
1
1
k
k
k
i
R
U
. (5) 
С учетом (4) и (5) можно записать  
)
(
1
k
k
k
k
k
i
i
R
U
U
, 
откуда  
 
 
 
 
 
 
 
 
                       (6) 
)
(
1
1
k
k
k
k
k
k
U
i
R
i
R
U
 
В (6) второе слагаемое определяет значение источника ЭДС. 
E
R(t)
 в дискретной физической модели параметрического резистора: 
k
k
k
k
k
k
t
R
i
R
i
R
i
R
E
1
1
)
(
  (7) 
Подставляя последнее выражение в (6), получаем дискретную математическую модель R(t). 
Дискретная модель переменной емкости С(t). 
Теорема 2. Если i
c
(t) и U
c
(t) для переменной емкости являются непрерывными вместе с 
производными функциями и C(t)≠0 в рассматриваемом интервале времени, то при известных с 
равномерным шагом ∆t значениях тока 
)
(k
C
i
, 
)
1
( k
C
i
, …, 
)
2
(
m
k
C
i
 дискретная математическая 
модель C(t) в k-й точке переходного процесса удовлетворяет соотношению 
                                                 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
k
t
C
k
C
k
C
k
i
C
k
C
I
I
U
G
i
,                                                  (8) 
описывающему дискретную физическую модель C(t), состоящую из параллельно соединенных 
резистора R
C
 и источников токов 
)
(k
C
I
, 
)
(
)
(
k
t
C
I
 (рис.2), где 
                          
t
K
t
C
G
m
i
R
k
k
i
C
,
1
)
(
,
)
(
;              
2
0
,
)
(
)
(
m
j
j
k
C
m
i
j
k
C
t
i
K
I
                                              (9) 
)
(
,
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
i
C
k
C
k
k
k
t
C
G
t
U
t
C
t
C
I
. 

 
112 
  
 
Рис. 2 
Здесь для вычисления коэффициентов используются те же выражения, что и для линейного 
случая [2]: 
                                            
1
0
,
))
2
)...(
1
(
(
)!
1
(
1
dx
m
x
x
x
m
K
m
i
R
,                                                 (10) 
                                
1
0
,
,
0
1
)
2
)...(
1
)(
1
(
)!
2
(
1
dx
m
x
x
x
m
K
K
m
i
R
m
i
,                                   (11) 
                      
1
0
,
1
,
)
(
)
2
)...(
1
(
)
1
(
)!
2
(
)!
1
(
)
1
(
dx
j
x
m
x
x
x
x
j
m
j
K
K
m
i
R
j
m
i
j
,                              (12) 
значения, которых можно вычислить заранее и хранить в памяти ЭВМ. 
 
Рис. 3 
Для формирования дискретной модели переменной индуктивности справедлива аналогичная 
теорема. Здесь можно тем же путем показать, что взаимосвязь приращений параметров режима 
является линейной алгебраической функцией: 
                                                     
k
t
L
k
L
L
k
L
k
L
E
E
i
R
U
)
(
                                                      (13)  
Известно, для переменной индуктивности из определения следует соотношение 
                                                           
)
(
)
(
)
(
t
i
t
L
t
L
                                                            (14) 
из которого взаимосвязи между токами и напряжениями представляются в интегральной и 
дифференциальной формах:  
                                      
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
i
dt
t
dL
dt
t
di
t
L
t
U
L
L
L
,                                                           (15) 
                                      
t
t
L
k
L
k
L
L
k
d
U
t
i
t
L
t
L
t
i
t
i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
                                                (16) 
При определении параметров модели (13) 
k
t
L
k
L
k
L
E
E
R
)
(
,
,
 считаем известными дискретные 
значения напряжения 
2
1
,...,
,
m
k
L
k
L
k
L
U
U
U
 и представляем функцию 
)
(t
U
L
 алгебраическим 
полномом аналогично.  
Таким образом, для интегральной модели с переменным шагом получаем соотношение 
 
       
)
...
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
i
m
k
i
m
m
k
i
m
k
k
L
k
k
k
L
k
L
t
b
t
b
t
b
t
L
t
i
t
L
t
L
t
i
t
i
                         (17) 
При равномерном шаге параметры модели (13) определяются с помощью следующих 
соотношений: 
                                    
t
K
t
L
R
m
i
R
k
k
i
L
,
1
,
)
(
,        
2
0
,
,
)
(
m
j
j
k
L
m
i
j
k
i
L
t
U
k
E
                                             (18) 

 
113 
k
i
L
k
L
k
k
k
i
t
L
R
t
i
t
L
t
L
E
,
1
1
),
(
)
(
)
(
)
(
 
Для определения коэффициентов справедливы выражения (11) – (12). 
Рассмотрим применение метода СКП для анализа цепи, состоящей из источника ЭДС, 
индуктивности и переменного резистора (рис.4). В данном примере сопротивление изменяется по 
периодическому закону 
t
r
R
t
R
cos
)
(
, где 
r
R
. Уравниние состояния цепи 
                                                   
E
dt
di
L
i
t
R )
(
.  
 
                                              (19) 
Приближающая схема замещения по методу СКП представлена на рис.4,б. Так как 
индуктивность не изменяется во времени, то E
L
 и R
L
 определяется согласно: 
                            
2
0
1
)
(
m
j
k
L
m
j
L
t
U
K
E
;    
t
K
L
R
m
R
L
.  
 
                                 (20) 
E
R
(t) определяется по соотношению (21). 
k
k
k
k
k
k
t
R
i
R
i
R
i
R
E
1
1
)
(
. (21)  
рис.4, а. 
рис.4, б. 
Приращение тока и напрежения за время Дt по схеме замещения можно определить как 
                           
L
k
L
L
L
R
t
R
t
i
t
R
E
i
)
(
)
(
)
(
;  
L
L
L
L
E
i
R
U
.   
                                 (22) 
Когда известны приращения напрежения и тока, то напрежение и ток индуктивности в 
искомой точке равны: 
                                                  
L
k
L
k
L
U
t
U
t
U
)
(
)
(
1
;  
                                              (23) 
L
k
L
k
L
i
t
i
t
i
)
(
)
(
1
 
Рассмотрим цепь, состоящую из источника ЭДС, резистора и переменной индуктивности 
(рис.5, а.б).  
рис.5, а.  
рис.5, б. 
 
E
dt
t
dL
i
dt
di
t
L
i
R
)
(
)
(
           (24) 
где 
t
I
L
t
L
cos
)
(
. 
По методу СКП приращение напряжения в индуктивности будем искать в виде 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
t
L
k
L
k
L
L
k
L
E
E
i
R
U
 (13), где R
L
, Е
L
 и Е
L(t)
 определяются по соотношению 
)
(
,
1
1
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
k
i
L
k
L
k
k
k
i
t
L
R
t
i
t
L
t
L
E
. Неизвестным остается приращение тока 
L
i
 которое определяем по 
схеме замещения (рис.5,б) как 
                                                              
)
(
)
(
k
L
k
L
L
R
R
E
i
.                                                                  (25) 
Значения напряжения и тока в индуктивности в искомой точке находим как и в педыдущем 
случае. В случае переменной емкости (рис.6,а) приближающая схема замещения показана на 
рис.7,б. 
Уравнение цепи: 

 
114 
                                                
E
U
dt
t
dC
t
RU
dt
t
dU
t
C
R
C
C
C
)
(
)
(
)
(
)
(
,                                                (26) 
где 
t
с
C
t
C
cos
)
(
 
 
рис.6, а. 
рис.11, б. 
 
Тут приращение ищем в виде, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
k
t
C
k
C
k
C
k
i
C
k
C
I
I
U
G
i
, где 
)
(
,
k
i
C
G
, 
)
(
)
(
k
t
C
I
, 
)
(k
C
I
, 
определяются по формуле  
 
t
K
t
C
G
m
i
R
k
k
i
C
,
1
)
(
,
)
(
; 
2
0
,
)
(
)
(
m
j
j
k
C
m
i
j
k
C
t
i
K
I
;   
)
(
,
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
i
C
k
C
k
k
k
t
C
G
t
U
t
C
t
C
I
, 
 
∆U
С
 определяем по схеме замещения как  
 
                                                       
S
C
C
R
I
U
.  
                                                          (27) 
где 
R
R
R
R
R
C
C
s
; 
  
)
(
1
k
C
C
G
R
. 
 
Разработанные дискретные модели электрических цепей с переменными параметрами 
реализованы в виде действующей программы на языке Delphi [3]. 
 
Литература: 
1.
 
Бондаренко  В.М.  Методы  и  алгоритмы  анализа  статических  и  динамических  режимов 
неленейных цепей. – Киев, 1974.-105с. 
2.
 
Бондаренко В.М., Абидов С.Т., Кашкинбаев Б. Алгоритмы и программы анализа цепей с 
переменными параметрами и режимов электрических машин. - Киев, 1982. - 65с. 
3.
 
Отетилеу  А.О.  Параметрлері  айнымалы  жїйелердегі  процесті  математикалыќ  модельдеу. 
Реферат магистерской диссертации. – Кызылорда, 2011. -30 с.  
 
Резюме 
Мақалада  айнымалы RLC параметрлі тізбектерде шектеулі ӛсiмшелердiң жинақтаулары 
әдісінің жалпыланған нәтижелері берілген. Дискретті математикалық және сызбалық модельдер 
негізінде параметрлері айнымалы электр тізбектерінің дискретті модельдері алынған. 
 
Summary 
Here we present the results of generalization of the summation method of finite increments to the RLC 
circuit with variable parameters. Given discrete mathematical models and schematics, on the basis of 
which the discrete model of electrical circuits with variable parameters. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
115 
ӘОЖ  656. 11. (084.31) : 656. 08 

жүктеу/скачать 2,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: