Issn 2306-7365 Ғылыми журнал 1996 жылдың қарашасынан бастап екі айда бір рет шығады

59 
 
    
 
              АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
1
1
0
0
(
)
(
)
( ) max 1
,
max
,
( )
.
!
!
j
j
j
j
h
h
h
h
d
f t
h
j
j
    
(15) 
( )
A t     матрицасының,   
( )
f t
  вектор-функциясының 
[0, ]
T
  аралығында 
үздіксіз  болуынан   
(0)
(0)
0
,
r
r
  мәнінде  (6)    Коши  есебінің  жалғыз 
шешімі     
(0)
( )
r
u
t
    функциясын    мынадай  түрде  жазамыз  және  нормасын 
анықтаймыз   
(0)
(0)
(0)
(0)
0
[ ]
( )
( )
( )
, ,
(
1) ,
,
1,
r
r
r
r
r
r
u
t
D
t
B
t
F t
G
u
t
t
r
h rh
r
N
,  
(16)
 
(0)
(0)
(0)
(0)
0
1
1,
1,
2,
[(
1) ,
)
[(
1) ,
)
1
(
1)
max
sup
( )
max
sup
max
max
!
j
r
r
r
N
r
N
r
N
t
r
h rh
t
r
h rh
j
t
r
h
u
u
t
j
 
1
1
1
1
(
1)
(
1)
(
1)
( )
(
1)
!
!
j
j
j
j
t
r
h
t
r
h
t
r
h
f t
t
r
h
j
j
 
1
1
( 0)
1
0
0
!
!
!
j
j
j
j
j
j
h
h
h
h
f
h
j
j
j
         
(17) 
Алгоритмнің 
бірінші 
қадамынан 
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
0
2
3
,
,
,...,
nN
N
R
  
параметрін 
)
,
(
)
(
)
(
)
0
(
)
1
(
h
u
G
h
F
h
Q
 
 
 
сызықты  теңдеулер 
жүйесінен анықтаймыз, яғни  
)
,
(
)
(
)
(
)
0
(
1
)
1
(
h
u
G
h
F
h
Q
. 
Сызықты  теңдеулер  жүйелері  шешімдерінің  айырымы 
)
0
(
)
1
(
    нормасын 
анықтаймыз: 
      
(1)
(0)
(0)
(0)
(0)
,
,
1,
1
( )
(
, )
( ) max
(
, ) , max
(
,
)
N
N
s
s
s
N
h G u
h
h
hG
u
T
G
u
sh
 
  
(0)
(0)
(0)
1,
1,
( ) max
max
( ) ,
max
( )
( ) max 1,
.
!
!
!
r
r
r
N
r
N
h
h
h
h
h
u
t
u
t
h
h
u
 
Егер 
( )
( ) max 1,
!
h
h
h
h
   белгілеуін енгізсек, онда  
1
0
(0)
( )
h u
                       (18) 
болады. 
 
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1
)
1
(
,...,
,
,
]
[
N
u
u
u
u
t
u
-функциялар 
жүйесінің  
компоненттерін            
(1)
(1)
(1)
(0)
0
[ ]
( )
( )
( )
(
, ),
[(
1) ,
),
1,
r
r
r
r
r
u
t
D t
B t
F t
G u
t
t
r
h rh
r
N
 
теңдігінен   анықтап   
)
(
)
(
)
0
(
)
1
(
t
u
t
u
r
r
  айырымының    нормасын    табамыз 

60 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
(1)
(0)
(1)
(0)
(1)
(0)
(0)
0
0
( )
( )
( )
( )
(
, )
r
r
r
r
r
r
r
u
t
u
t
D
t
B
t
G
u
t
 
 
1
(1)
(0)
(1)
(0)
0
0
1
0
(
1)
(
1)
(
1)
!
!
j
j
r
r
j
j
t
r
h
t
r
h
t
r
h
j
j
 
(0)
[(
1) ,
)
(
1)
sup
(t)
!
r
t
r
h rh
t
r
h
u
, 
N
r
rh
h
r
t
,
1
),
,
)
1
[(
. 
 
Бұдан:  
1
(1)
(0)
(0)
1
1
0
( ) max 1,
1
!
!
!
j
j
j
j
h
h
h
u
u
h
h
h
u
j
j
(19) 
Алгоритмнің  екінші  қадамынан   
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
0
2
3
,
,
,...,
nN
N
R
  
параметрін  
  
)
,
(
)
(
)
(
)
1
(
)
2
(
h
u
G
h
F
h
Q
    теңдеулер жүйесінен   анықтап  мынадай 
бағалауды тағайындаймыз:   
 
1
(2)
(1)
(0)
(1)
( )
(
, )
(
, )
Q h
G u
h
G u
h
(1)
(0)
,
( ) max
,
,
N
h
hG
u
u
Nh
(1)
(0)
(1)
(0)
,
1,
1,
[(
1) ,
)
max
,
( ) max 1,
max
sup
( )
( )
!
s
r
r
s
N
r
N t
r
h rh
h
G
u
u
sh
h
h
u
t
u
t
       
(1)
(0)
1
( ) max 1,
!
h
h
h
u
u
, 
яғни   
(2)
(1)
(1)
(0)
( )
h u
u
.                         (20) 
)
2
(
    векторының, 
]
[
)
1
(
t
u
  функциялар  жүйесінің  компоненттері  арқылы 
]
[
)
2
(
t
u
    функциялар  жүйесінің  элементтерін  анықтап 
]
[
]
[
)
1
(
)
2
(
t
u
t
u
 
айырымының нормасын табамыз: 
1
( 2)
(1)
( 2)
(1)
( 2)
(1)
(1)
(0)
0
0
[(
1) ,
)
1
1
( )
( )
sup
( )
( )
!
!
!
j
j
r
r
r
r
r
r
t
r
h rh
j
j
h
h
h
u
t
u
t
h
u
t
u
t
j
j
 
Бұдан:  
                
1
1
0
( 2)
(1)
1
1
0
( ) max 1,
1
!
!
!
j
j
j
j
h
h
h
u
u
h
h
h
u
u
j
j
 
Демек,  негізгі  теңсіздік  мынадай:  

61 
 
    
 
              АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
(2)
(1)
(1)
(0)
1
1
( )
u
u
q h u
u
.                        (21) 
Осы  итерациялық  процесті  жалғастыра  отырып   
( )
( )
(
,
[ ]),
k
k
u
t
k
N
 
жұптар тізбегін табамыз.  Негізгі теңсіздіктерден  
 
(
1)
( )
( )
(
1)
1
1
( )
k
k
k
k
u
u
q h u
u
,       
k
N
        (22) 
(
1)
( )
( )
(
1)
1
( )
k
k
k
k
h u
u
       
k
N
          (23) 
екендігі белгілі. Ендеше осы теңсіздіктерден шығатыны   
(
)
( )
( )
(
1)
( )
1
( )
k p
k
k
k
q h
u
u
u
u
q h
                         (26) 
(
)
( )
( )
(
1)
( )
1
( )
k p
k
k
k
h
u
u
q h
                     (27) 
Теорема  шарты  бойынша   
( )
1
q h
  болғандықтан   
( )
( )
(
,
[ ]),
k
k
u
t
k
N
 
жұптар  тізбегі  (24),  (25)    теңсіздіктерінің  негізінде     
(
,
[ ])
u t
  жұбына 
жинақталатындығы шығады. 
(26),  (27)  теңсіздіктерінде 
p
  ұмтылдырып  шекке  көшсек    (13),  (14) 
теңсіздіктері алынады.  
Енді (6)-(8) есебінің жалғыз шешімі бар болатындығын көрсетеміз.
( )
x t
 
және   
( )
x t
  функциялары (1), (2)  есебінің екі түрлі шешімі болсын.  Онда  
 
,
[ ]
u t
 және 
, [ ]
u t
, мұндағы
0
2
3
,
,
,...,
,
N
  
1
2
3
[ ]
( ),
( ),
( ),...,
( ) ,
N
u t
u t u t u t
u t
 
1
,
r
x
r
h
    
( )
( )
1
,
r
u t
x t
x
r
h
      
0
2
3
,
,
, ...,
,
N
     
1
2
3
[ ]
( ),
( ),
( ),...,
( )
N
u t
u t u t u t
u t
, 
1
,
r
x r
h
   
( )
( )
1
r
u
t
x t
x
r
h
,   
(
1) ,
,
1,
t
r
h rh
r
N
 
жұптары  (6)-(8)  параметрлі  шеттік  есептің  шешімі  болады.     
( )
( )
r
r
u t
u t
 
айырымының нормасын анықтаймыз: 
0
0
2,
( )
( )
max max
,
r
r
r
r
r
N
u t
u t
 
1
1
1
(
)
!
!
j
j
j
j
h
h
h
j
j
+
[(
1) ,
)
sup
( )
( )
!
r
r
t
r
h rh
h
u t
u t
,    

62 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
[(
1) ,
),
1,
.
t
r
h rh
r
N
 
Бұдан   
1
1
1
1
1
(
)
.
!
!
!
j
j
j
j
h
h
h
u
u
h
u
u
j
j
 
1
( ) max
,1
!
h
h
h
u
u
    бағалауын  пайдаланып  келесі 
теңсіздікті аламыз: 
1
1
( )
u
u
q h u
u
. 
Демек,  теореманың екінші шарты 
( )
1
q h
 болғандықтан, осының негізінде  
келесі теңдіктер орындалады:  
 
( )
( ),
(
1) ,
,
,
1,
r
r
r
r
u t
u t
t
r
h rh
r
N
. 
 
Теорема дәлелденді. 
Теорема  2:    Теорема  1  шарттары  орындалатын  болсын.    Онда    (1),  (2) 
есебінің 
,
( )
x t
      жалғыз  шешімі  бар  болады  да  келесі  теңсіздік 
орындалады. 
( )
( )
(
1)
( )
max 1,
1
( )
!
k
k
k
h
h
h
u
u
q h
,              (28) 
( )
( )
(
1)
1
( )
( )
( ) max 1,
( )
1
( )
!
k
k
k
h
x t
x
t
h
h
q h
u
u
q h
,  (29) 
мұндағы   
( )
( )
k
x
t
  -  функциясы   
[0, ]
T
    кесіндісінде  бөлікте-үзіліссіз 
дифференциалданатын,   
( )
( )
( )
k
k
r
r
u
t
          функциясының   
(
1) ,
r
h rh
, 
1,
r
N
 аралығындағы сығылуы  болып табылады.          
Дәлелдеуі. 
,
[ ] ,
u t
 
мұндағы 
0
2
3
,
,
,...,
,
N
  
1
2
[ ]
( ),
( ),...,
( )
N
u t
u t u t
u t
,  жұбы   (6)-(8) есебінің шешімі  болғандықтан,  
( )
( ),
r
r
x t
u t
 
(
1) ,
,
1,
t
r
h rh
r
N
, 
0
( )
lim
( )
N
N
t
T
x T
u
t
 
теңдіктері  арқылы  анықталатын   
,
( )
x t
  жұбы,    (1),(2)    есебінің  шешімі 
болады. 
( )
( )
k
k
, 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
k
k
k
r
r
x t
x
t
u t
u
t
   
теңсіздіктерінен  және  (14),  (15)  қатынастарын  пайдалана  отырып    (28),  (29)  
формуласын аламыз.   

63 
 
    
 
              АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
ӘДЕБИЕТТЕР 
 
1.
 
Кибенко  А.В.,  Перов  А.И.  О  двухточечной  краевой  задаче  с  параметром 
//Ученые  записки АГУ им. С.М.Кирова. –Сер. физ.-мат. и хим. наук.  -1961. –№3. –
21-30 с. 
2.
 
Самойленко  А.М.,  Ронто  М.И.,  Ронто  В.А.  Двухточечная  краевая  задача  с 
параметром  в  граничных  условиях.  //Докл.  АН  УССР.  –Сер.  А  физ.-мат.  и  техн.  
науки. -1985. –№7. –22-26 с. 
3.
 
Ронто  Н.И.,  Король  И.И.  Исследование  и  решение  краевых  задач  с 
параметрами    численно-аналитическим  методом  //Укр.матем.журн.  -1994.  –Т.46.  –
№8. –1031- 1042 с. 
4.
 
Хосабеков  О.  Достаточные  условия  сходимости  метода  Ньютона-
Канторовича  для краевой задачи с параметром //Докл. АН Тадж.ССР. –1973. –Т.16. – 
№8. –С.14-17. 
5.
 
Джумабаев  Д.С.  Признаки  однозначной    разрешимости    линейной  краевой 
задачи    для  обыкновенного  дифференциального  уравнения  //Журнал  выч.матем.  и   
матем.физики. –1989. –Т.29. – №1. –50-66 с. 
6.
 
Минглибаева  Б.Б.  Коэффициентные  признаки  однозначной  разрешимости 
линейных  двухточечных  краевых  задач  с  параметром  //Математический    журнал.  – 
2004. –Т.4. – №1. – 41-51 с. 
 
РЕЗЮМЕ 
Предлагается  конструктивный  алгоритм  нахождения  решения  двухточечной  краевой 
задачи  с  параметром  для  обыкновенных  дифференциальных  уравнений.  Установлены 
достаточные  условия  сходимости  алгоритма  и  однозначной  разрешимости  исследуемой 
задачи. 
(Назарова  К.Ж.,  Кулметова  Г.Б.
 
Об  одном  решений  линейной  двухточечной  краевой 
задачи с параметром для обыкновенных дифференциальных уравнений)
 
 
SUMMARY 
An efficient algorithm for finding the solution of the boundary-value problem with a parameter 
for  ordinary  differential  equations.    Establish  sufficient  conditions  for  the  convergence  of  the 
algorithm and the unique solvability of the problem. 
(Nazarova K.Zh., Kulmetova G.B.  On a Solution of the linear boundary-value  problem with a 
parameter for ordinary differential equations) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

64 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
УДК 675:75 
К.АЙТБАЕВ  
кандидат технических наук, доцент 
МКТУ им. Х.А.Ясави 
 
А.НАДЫРОВ  
магистрант МКТУ им. Х.А.Ясави 
 
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ ЯКОБИ ДЛЯ 
ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ  И СУБПАРАМЕТРИЧЕСКИХ 
ЭЛЕМЕНТОВ 
 
При решении задач математической физики методом конечных элементов, 
в  зависимости  от  необходимой  точности,  применяются  комплекс  элементы, 
или 
четырехугольные 
линейного 
квадратичных 
или 
кубичные 
изопараметрические и субпараметрические элементы. 
В  статье  приведен  алгоритм  вычисления  матрицы  Якоби  для 
изопараметрических субпараметрических элементов 
 
Ключевые  слова:  изопараметрические  и  субпараметрические  элементы, 
матрица Якоби, метод конечных элементов, естественные координаты. 
 
Многие 
задачи 
математической 
физики 
благодаря 
применению 
вариационных  принципов  сводятся  к  минимизации некоторого  функционала  [1, 
2].  Задача минимизации функционала  лучше  всего  решается методом  конечных 
элементов [3]. 
Для  составления  определяющих  матриц  в  методе  конечных  элементов 
приходится вычислять обьемные и поверхностные интегралы вида [3]: 
T
V
B
D
B dV
,                   (1) 
T
S
N
N dS ,                            (2) 
T
S
N
dS
.                                     (3) 
При  использовании  треугольных  симплекс  элементов  вычисление 
интегралов  (1)-(3)  не  вызывает  особых  затруднений,  так  как  в  этом  случае 
элементы  матрицы 
T
B
D B
  являются  постоянными  величинами,  а 
интегралы (2) и (3) легко вычисляются с помощью метода L – координат. 
Если  по  условиям  решаемой  задачи  требуется  более  высокая  точность,  то 
применяют  четырехугольные  линейные,  квадратичные или  кубичные  элементы, 
для  которых  интерполяционные  полиномы  относительно  координат 
x
  и 
y
 
будут  нелинейными.  В  этом  случае  для  вычисления  интегралов  (1)-(3)  нужно 
будет решать самостоятельные задачи. 
На практике, путем  перехода  к  естественной системе координат интегралы  

65 
 

жүктеу/скачать 6,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: