Жиын ұғымы. Жиындарға қолданатын амалдар. Сандық жиындар
Функцияның қасиеттерін зерттеу
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
Матем анализ-1 лекция қаз (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Функцияның максимумы мен минимумы.
- Функцияның дөңестігі мен ойыстығы.
- Қисықтық асимптоталары.
| Функцияның қасиеттерін зерттеу.
Егер x1 < x2 теңсіздігінен y = f(x) функциясы үшін а) f(x1) < f(x2) теңсіздігі орындалатын болса, онда функция өсетін, ал б) f(x1) > f(x2) теңсіздігі орындалатын болса, онда ол кемімелі болады. Теорема. Егер кейбір арлықтың барлық нүктелерінде f’(x) = 0 болса, онда f(x) функциясы осы аралықта тұрақты мәнін сақтайды. Салдар. Егер екі функцияның кейбір аралықта туындылары тең болса, онда олардың бір – бірінен айырмашылығы тұрақты қосылғышқа байланысты болады. Теорема. Егер (a,b) интервалында дифференциалданатын y = f(x) функциясы өсетін (кемитін) болса, онда оның туындысы осы интервалдың ешбір нүктесінде теріс (оң) болмайды, яғни x (a,b) үшін f’(x) ≥ 0 (f’(x) < 0). Теорема. [a,b] кесіндісінде үздіксіз y = f(x) функциясы оның әрбір ішкі нүктесінде оң (теріс) туындысы бар болатын болса, онда ол функция [a,b] кесіндісінде өспелі (кемімелі) болады. Функцияның максимумы мен минимумы. Анықтама. Егер x = c нүктесінің төңірегіндегі нүктелер үшін f(c) >f(x) теңсіздігі (x ≠ c) орындалатын болса, онда f(x) функциясы x = c нүктесінде өзінің максимум мәнін қабылдайды деп атайды. Анықтама. Егер x = c нүктесінің төңірегіндегі кез келген x нүктесі үшін (x ≠ 0) f(c) < f(x) теңсіздігі орындалатын болса, онда y = f(x) функциясы x = c нүктесінде өзінің минимум мәнін қабылдайды деп атайды. Максимум және минимум мәндерді бір сөзбен функцияның экстремумы деп атайды. Ферма теоремасы. (Функция экстремумының қажетті белгісі) Егер x = c нүктесінде диффренциалданатын функция осы нүктеде максимум немесе минимум мәнін қабылдайтын болса, онда оның туындысы осы нүктеде нөлге тең болады, яғни f’(c) = 0. Анықтама. Аргументтің х = c мәнінде функцияның туындысы нөлге айналса, немесе үзілісті болса, онда функция аргументінің бұл нүктесін күдікті (сындық) нүктесі деп атаймыз. Теорема. (Функция экстремумының жеткілікті белгісі). Егер үздіксіз y= f(x) функциясының күдікті нүктесі жататын аралықтың барлық нүктесінде (күдікті нүктенің өзінен басқасы) туындысы f’(x) бар болсын және ол күдікті нүктеден өткенде таңбасы ”+” (плюстен) “-” (минусқа) өзгерсе, онда функция бъұл нүктеде өзінің максимум мәнін, ол туынды f’(x) таңбасын “-“ - тан “+” – ке ауыстыратын болса, онда функция бұл нүктеде өзінің минимум мәнін қабылдайтын болады. Вейерштрасс теоремасы. Егер [a,b] кесіндісінде f(x) функциясы үздіксіз болса, онда осы кесіндіде функция шектелген және өзінің ең үлкен, ең кіші мәнін қабылдайды. Теорема. Күдікті x = c нүктесінде f’(c) = 0, ал f’’(c) = 0 бар және f’’(c) ≠ 0 болсын деп ұйғарайық. Бұл жағдайда егер f’’(c) < 0 болса, x = c нүктесінде функция өзінің максимум мәнін, ал егер f’’(c) > 0 онда x = c нүктесінде функция өзінігң минимум мәнін қабылдайтын болады. Функцияның дөңестігі мен ойыстығы. Анықтама. Егер (a,b) аралығында қисық нүктелері осы қисыққа (графикке) жүргізілген жанамалар астында жататын болса, онда осы (a,b) аралығында қисық дөңес деп, ал керісінше қисық нүктелері жанама үстінде жататын болса, онда қисық ойыс деп аталады. Анықтама. Қисықтың дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүкте оның иілу нүктесі деп аталады. Теорема. Егер (a,b) аралығыда екінші ретті туындының таңбасы теріс болса, яғни f’’(c) < 0, онда y = f(x) функциясының графигі бұл аралықта дөңес, ал керісінше болса, яғни f’’(c) > 0, онда бұлд аралықта функция графигі ойыс болады. Теорема. y = f(x) функциясы берілген болсын. Егер x = x0 нүктесінде f’’(x0) = 0 немесе f’’(x) = 0 жоқ және осы нүкте арқылы өткенде f’’(x) таңбасын өзгертетін болса, онда x = x0 нүктесі функция графигінің иілу нүктесінің абсциссасы болады. Қисықтық асимптоталары. Анықтама. Егер y = f(x) теңдеуімен берілген қисық сызық x → +∞ - да немесе x → -∞ - да y = kx+b түзуіне шенеусіз жақындай түсетін болса, онда y = kx+b түзу y = f (x) қисықтың асимптотасы деп аталады. Басқаша айтқанда: 1. Горизантальдық асимптоталар. y = b түзуі y = f(x) қисығының горизантальдық асимптотатсы болуы үшін (немесе ) болуы қажетті және жеткілікті. 2. Көлбеу асимптоталар. Егер y = kx + b f(x) қисықтың асимптотасы болып және y = kx + b теңдеуіндегі k ≠ 0 оны көлбеу асимптотасы деп атайды. Теорема. y = kx + b түзуі y = f(x) қисықтың асимптотасы болуы үшін ақырлы шектер пен бар болуы қажетті және жеткілікті шарт. 3. Вертикальдық асимптоталар. Егер y = f(x) қисығы үшін , , болса, x = x0 түзуі берілген қисықтың вертикальдық асимптотасы деп аталады. жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|