Жоғары математикадан типтік есептер жинағЫ 2-бөлім

жүктеу/скачать 3,79 Mb.

бет	16/17
Дата	19.01.2023
өлшемі	3,79 Mb.
	#62022

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Байланысты:
Математика 2 (1-бөлім)

Толық дифференциалды теңдеулер.
Бақылау сұрақтары
3.1.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер тақырыбына арналған типтік есептер

Бернулли теңдеуі

түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы - берілген үзіліссіз функциялар, n≠0, n≠1. Бернулли теңдеуінің сызықтық теңдеуден айырмашылығы оң жақ бөлігінде у-тің белгілі бір дəрежесі бар, шешілуі сызықтық теңдеулер сияқты жүргізіледі. Шешімін табу үшін теңдеудің екі жағын да -ге бөлеміз:

,

теңдеуге алмастыруын енгізу арқылы

бірінші ретті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеуіне келтіреміз. Кейде осы әдісті қолданбай бірден Лагранж немесе Бернулли әдістерімен шешуге болады.

Толық дифференциалды теңдеулер. Егер

теңдеуі шартын қанағаттандырса, яғни теңдеудің сол жағы қайсыбір функциясының дифференциалы болса, онда ол толық дифференциалды теңдеу деп аталады. Оның жалпы шешімі (интегралы)

түрінде жазылады, мұндағы - кез келген нақты сандар.

Бақылау сұрақтары

Дифференциалдық теңдеулер дегеніміз не?
Дифференциалдық теңдеудің реті қалай анықталады?
Дифференциалдық теңдеудің шешімі деген не?
Коши есебі дегеніміз не?
Айнымалылары ажыратылатын теңдеу және оның шешу жолы.
Біртекті теңдеу және оны шешу жолы.
Сызықтық теңдеу және оның шешу жолдары.
Бернулли теңдеуі және оны шешу жолы.
Толық дифференциалды теңдеу және оны шешу жолы.

3.1.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер тақырыбына арналған типтік есептер

функциясы дифференциалдық теңдеуінің шешімі болуын тексеру керек, мұндағы С - кез келген тұрақты.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуінің шешімін табу керек.

№	а)	ә)	б)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

3. Біртекті дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

4. алғашқы шартын қанағаттандыратын бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

5. Бернулли теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

6. Толық дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Тапсырмаларды шығару жолы

1. функциясы дифференциалдық теңдеуінің шешімі болуын тексеру керек, мұндағы С - кез келген тұрақты.
Шешуі: Алдымен берілген функцияның туындысын табамыз.

Енді - ті теңдеуге қойсақ, онда

,
,

яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі болады.

2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуінің шешімін табу керек.
а) дифференциалдық теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі:

Бұдан

Осыдан берілген теңдеудің жалпы шешімі

ә) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі:
немесе

Екі жағын интегралдасақ

Осыдан берілген теңдеудің жалпы шешімі

б1) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Бұл теңдеуді шешу үшін оның екі жағын да көбейтіндісіне бөлеміз. Сонда айнымалысы ажыратылатын теңдеу аламыз
.

Екі жағын интегралдасақ

.

Осыдан берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы

.

б2) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Бұл теңдеуді шешу үшін оның екі жағын да өрнегіне бөлеміз. Сонда айнымалысы ажыратылатын теңдеу аламыз

Екі жағын интегралдасақ

Осыдан берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы

3. дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Дифференциалдық теңдеудің оң жағы нөл көрсеткішті біртекті функция.
ауыстыруын қолданамыз.

мұндағы

Осыдан

Енді бастапқы ізделінді функциясына көшсек, онда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы

жүктеу/скачать 3,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 17