Жоғары математикадан типтік есептер жинағЫ 2-бөлім

Үш еселі интегралдың механикада қолдануы

жүктеу/скачать 3,79 Mb.

бет	11/17
Дата	19.01.2023
өлшемі	3,79 Mb.
	#62022

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 17

Байланысты:
Математика 2 (1-бөлім)

Үш еселі интегралдың механикада қолдануы. V денесінің көлемі

тығыздығы болатын V денесінің массасы

ал жазықтықтарына қарағандағы статикалық сәттері сәйкесінше

формулаларымен есептелінеді.

Дененің ауырлық центрінің координаттары

формулаларымен анықталады.

өстеріне және О нүктесіне қарағандағы инерция моменттері (екпіндік сәттері) сәйкес

формулаларымен есептеледі.

Бақылау сұрақтары

Екі еселі интегралдың анықтамасы.
Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері.
Екі еселі интеграл қалай есептеледі?
Екі еселі интегралда айнамалыларды алмастыру.
Екі еселі интегралда тік бұрышты координаталар жүйесінен полярлық координаталар жүйесіне көшу.
Жазық фигуралардың аудандарын екі еселі интеграл көмегімен есептеу.
Денелердің көлемдерін екі еселі интеграл көмегімен есептеу.
Беттің ауданын екі еселі интеграл көмегімен есептеу.
Екі еселі интегралдың механикада қолдануы.
Үш еселі интегралдың анықтамасы.
Үш еселі интеграл қалай есептеледі?
Үш еселі интегралда айнамалыларды алмастыру.
Үш еселі интегралда тік бұрышты координаталар жүйесінен цилиндрлік координаталар жүйесіне көшу.
Үш еселі интегралда тік бұрышты координаталар жүйесінен сфералық координаталар жүйесіне көшу.
Денелердің көлемдерін үш еселі интеграл көмегімен есептеу.
Үш еселі интегралдың механикада қолдануы.

2.1.1 Екі және үш еселі интегралдар тақырыбына арналған типтік есептер

1. Төмендегі берілген екі еселі интегралды есептеу керек.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

2. Төмендегі берілген екі еселі интегралды есептеу керек.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

3. Төмендегі берілген үш еселі интегралды есептеу керек.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

4. Төмендегі сызықтармен шектелген D облысының ауданын есептеуді
екі еселі интеграл көмегімен есептеу керек.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Тапсырмаларды шығару жолы

1. интегралын есептеу керек.
Шешуі: Интегралдау облысы ретінде жақтары координаталық өстеріне параллель болатын тік төртбұрыш болады, сондықтан қайталама интегралдағы интегралдау шектері тұрақты болады, яғни

болады, олай болса

2. интегралын есептеу керек.
Шешуі: XOY жазықтығында D облысын сызайық. және параболаларының қиылысу нүктелері және болады.

Интегралдау облысы болғандықтан

3. интегралын есептеу керек.
Шешуі: Интегралдау облысы ретінде жақтары координаталық жазықтықтарына параллель болатын тікбұрышты параллелелипипед болады, сондықтан қайталама интегралдағы интегралдау шектері тұрақты болады, яғни .
Сонымен

4. сызықтармен шектелген D облысының ауданын есептеу керек.
Шешуі: Берілген сызықтардың қиылысу нүктелерін теңдеуінен табамыз Олар және нүктелері. Сонымен болғандықтан

2.2 Қисық сызықты және беттік интегралдар

І текті қисық сызықты интегралдар. функциясы АВ доғасының нүктелерінде анықталған және үзіліссіз болсын. АВ доғасын нүктелерімен кез келген жолмен n элементар доғаларға бөлейік. доғасының ұзындығы болсын. Әр элементар доғадан кез келген бір нүктеден таңдап алып, функциясының мәндерін сәйкес , аудандарына көбейтейік. функциясы үшін АВ доға ұзындығы бойынша интегралдық қосынды

деп аталады.

І текті қисық сызықты интеграл деп интегралдық қосындының -дағы шегін айтады:

,

мұндағы dS – доға дифференциалы.

а) Егер АВ қисығы формуласымен берілсе, онда І текті қисық сызықты интеграл

формуласымен есептеледі.

ә) Егер АВ қисығы параметрлік теңдеумен берілсе, онда

Кеңістікте үш айнымалы функциясының І текті қисық сызықты интегралы берілсін. Егер кеңістіктегі қисық

теңдеуімен берілсе, онда

Егер болса, онда - І текті қисық сызықты интегралы тығыздығы болатын АВ қисығының массасына тең болады (физикалық мағынасы).
Егер болса, онда - І текті қисық сызықты интегралы жасаушылары Oz өсіне параллель болатын, жоғарыдан қисығымен, төменнен Оху жазықтығымен шектелген цилиндрлік беттің ауданына тең болады (геометриялық мағынасы).

жүктеу/скачать 3,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 17