1.4. Трапецияның үшінші орта сызығы
Трапецияның үшінші орта сызығы деп оның диагональдарының орталарын қосатын кесіндіні айтады.
Трапецияның үшінші орташа сызығы оның табандарына параллель және олардың айырмасының жартысына тең:
9 – сурет
, RS – үшінші орта сызық.
1.5. Трапецияның орта сызықтарының қасиеттері
1.Трапецияның бірінші және екінші орта сызықтары қиылысу нүктесінде екіге бөлінеді.
10 – сурет
Дәлелдеуі. BCD және ABD үшбұрыштарын қарастырайық (10 – сурет): KN- BCD үшбұрышының орта сызығы, KN || BD және KN = . MS – ABD үшбұрышының орта сызығы, MS ||BD , MS = . Бұдан, МК || АС, , NS || AC, . Осылайша, , MKNS – параллелограмм, MN және KS – оның диагональдары ,сондықтан, KO = OS, MO = ON.
2.Трапецияның екінші орта сызығы оның диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтеді.
11 – сурет
Берілгені: ВК = КС
Д/к: AS = SD
Дәлелдеуі. BD - BC|| AD екі түзудің қиюшы түзу болғандықтан CBD=BDA. BOK = SOD - вертикаль бұрыштар. ΔBOK және ΔSOD, ΔKOC және ΔAOS үшбұрыштары ұқсас үшбұрыштар.
. Бұл теңдіктерден , ал одан BK = KC (шарт бойынша ), онда AS = SD .
3.Трапецияның екінші орта сызығынан тұратын түзу бүйір қабырғаларынан тұратын түзулердің қиылысу нүктесі арқылы өтеді.
12 – сурет
Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін ΔВОС және ΔAOD қарастырайық. Олар екі бұрышы бойынша ұқсас,
Кесіндінің ортасын табу формуласы бойынша
және коллинеар, O .
Кері жору: Түзу бүйір қабырғаларынан тұратын түзулердің қиылысу нүктесі және бір табанының ортасы арқылы өтетін болса, онда ол екінші табанының ортасы арқылы да өтеді ( трапецияның екінші орта сызығы болып табылады).
Берілгені: OS түзуі ABCD трапециясының AD табанының ортасы арқылы өтеді.
Д/к: ВК = КС
Дәлелдеуі:
11- сурет бойынша
∆KOC ~ ∆SOD ∆ВОК ~ ∆AOS
, т.к. АS = SD( шарт бойынша), онда КС = ВК.
4.Теңбүйірлі трапецияның барлық орта сызықтары перпендикуляр.
13 – сурет
Берілгені: ABCD - трапеция, AB=CD, MN,KS - орта сызықтары (13- сурет)
Д/к: MNKS
Дәлелдеуі:
MK – орта сызық ∆АВС, МК||АС, МК=АС
NS – орта сызық ∆ADC, NS||AC, NS =АС
Егер MKNS төртбұрышының қарама – қарсы қабырғалары тең және параллель болса, онда MKNS - параллелограмм және ABCD - теңбүйірлі трапеция, сондықтан AC= BD.
MK = АС, KN = BD, MK = KN, MKNS – ромб
Ромбының қасиеті бойынша, оның диагональдары перпендикуляр, сондықтан MNKS.
5.Теңбүйірлі трапецияның екінші орта сызығы мен табандары перпендикуляр болады. ( дәлелдеуі алдыңғы дәлелдеу сияқты)
6.Егер трапецияның бірінші және екінші орта сызықтары тең болса,онда оның диагональдары перпендикуляр (14 – сурет).
14 – сурет
Дәлелдеуі: МЕNF – параллелограмм, шарт бойынша MN=EF. Егер параллелограммның диагональдары тең болса, онда бұл параллелограмм – тік төртбұрыш, ENME. Егер EN||BD, ME||AC,онда BDAC.
Кері жору: егер трапецияның диагональдары перпендикуляр болса, онда бұл трапецияның орта сызықтары тең болады.
Дәлелдеуі: ACBD, MEEN, MFFN MENF – тік төртбұрыш EF=MN.
Достарыңызбен бөлісу: |