Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| - я к п
... - л к ]п - л к 2{ \ - ж п ... - л к 2п - ж я1 - ж пг .•• 1-ЛК" анықтауышын қарастырайық. Әрине Dn(A) анықтауыш Л-га байланысты n-дәре- желі көпмүшелік жэне Dn( A ) ^ 0 , себебі Dr(0) = 1. Демек, ДДЯ) көп-мүшелігі түбірлерінің саны п-нан артық болмайды. Ол түбірлерін Я,, Л2 Лп деп белгілейік. Dn(A) көпмүшелігі (46) теңдеуі үшін Ф редгольм ан ы қ тау ы ш ы , ал ол көп- мүшеліктің түбірлері Я,,Я2,...,Я„ K n(x,s) ядросының немесе (46) интегралдык теңдеуінің меншікті мондері (сандары) деп аталады. Сызықтық алгебралық жүйе теориясы ( Ц,(Я) анықтауыш үшін) мына тұжырымдарға экеледі. 1°. Егер Я саны Dn(A) көпмүшелігі түбірлерінің бірде біреуіне тең болмаса, онда кез келген / , ( / = 1,2,...,«) функциялары үшін (48) жүйенің жалғыз ғана ше- шімі бар болады. Демек, (45) интегралдық теңдеуі үшін мына тұжырым орын- далады. 1-теорема. Егер Я саны K ( x , s ) ядросының меншікті мэні болмаса, онда (46) интегралдық тендеуінің кез келген / (х) үшін (47) өрнегімен аныкталған жалгыз ғана (р{х) шешімі бар болады. Әдетте, бұл тұжырымды “Фредгольмнің бірінші теоремасы” дейді. £)„(Я )*0 болса, біртекті алгебралық жүйенің шешімдері С, = С , = ... = СЯ = 0 бо лады. Сондықтан Dn(A) ^ 0 жағдайында біртекті интегралдық теңдеудің ( f ( x ) = 0 тек қана нөлдік шешімі бар болады. Егер (48) жүйесін Крамер эдісі бойынша шешетін болсақ, онда алымындағы анықтауыштарды бос мүшесі орналасқан баған элементтері бойынша жіктеп. 58 С' Ъ \ л ) % ° * {Х)' = К 2 , . . . , Л 7 ) жазуға болады. Мұндағы, DДА) алгебралық толықтауыш, ол керсеткіші п-1-ден аспайтын А-ға байланысты көпмүшелік. Белгісіз С, (/ = 1,2,..., п) сандарының осы мэндерін (47) формуласына қойып, (46) теңдеуінің шешімін чіх) = f(x)+ Л І — L - ІЦ, (Д) (* )} /№ (.v )ds 1 ч түрінде немесе <р(х)= f(x)+ X\R(x,y,A)f(s)d a формуласымен анықтаймыз, мұнда r ( x , s ;A)= d (л )а,(x )b,(s ) жоғарыдағы (46) интегралдық теңдеуінің резольвентасы (шешуші ядросы) делі- неді. 2°. Енді X саны Dn(A) = 0 теңдеуі түбірлерінің біреуіне тең, яғни К ядросы- ның меншікті мэні болсын. Онда (48) жүйенің анықтауышы нөлге тең. Бұндай жағдайда сэйкес біртекті С , - А ± К ЧС] = 0, / = 1,2,...,« жүйенің р = п - г тендеуі (мұнда г саны Dn(X) матрицасының рангі) сызықты тәуелсіз жэне нөлге тең емес (С7<'>, С*'».... С<'>і / = 1,2 вектор оның шешімі болады. Ал сонда (рІ{ х ) = ± С (і,)аі(х) і—\ функциялары біртекті интегралдық тендеуінің (р{х) = A j ^ a ^ b ^ ^ d s нөлге тең емес шешімдері болады. Бұл теңдеудің жалпы шешімі болып 59 (p (x )= fJa l(p{x) /=1 мұндағы, a, кез келген тұрақты шамалар. Біртекті интегралдық тендеудің нөлг» тең емес шешімдерін сол теңдеудің меншікті мэндеріне сэйкес келетін меншікт функциялары деп атайды. Енді (45) теңдеуімен қатар і//(х) = Л\ K'(x,s)i//(s)ds + g ( x ) a интегралдық теңдеуді қарастырайық, мұнда, K"{x,s)~ K {s,x\ Осы теңдеуді (45 интегралдық теңдеуіне түйіндес теңдеу деп атайды. Ерекшеленген ядролы (46 интегралдық теңдеуіне түйіндес у/{х) = Л Х I a, (s ) ^ (x)y/(s)ds + g (x ) і = 1 a теңдеуді қарастырайық. Бұл теңдеу үшін, (46) тендеуіне айтылған тұжырымдарды сөзбе-сөз қайталауға болады. Оның шешімі i//(x) = g(x) + A f JC;b,(x) түрінде жазылады, мұнда, С* = \у/ ( s ) a , ( s ) d s . и Егер g(jt) = 0, яғни теңдеу біртекті болса, онда С* тұракты коффициенттерін сәйкес біртекті жүйеге түйіндес с;-х±кцс-= о, (/ = 1,2,...,») І 1 тендеулері жүйесінен анықтаймыз. Д,(Я) анықгауышы аталған жүйелерге ортак болғандыктан соңғы жүйенің р = п - г сызықты байланыссыз вектор-шешімі бар болады: (c;l'>,c;w,...,c;<'>), /=1,2...Р. Сондықтан у/,(х ) = £ с ; {І)Ьі(х) функциялары түйіндес біртекті интегралдыі тендеуінің 60 И * ) = ^i bXx) \aX s)i// {s)ds шешімдері болады. Осыдан мынандай қорытынды шығады. 2- жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|