§3.4. Ерекшелігі әлсіз ядролы  интегралдық теңдеулер

„ г ,  
лі!  , 
c 2|S,|A-!"
J  л  (x,.v)  t/.V = ---1-- 1------ < 
00.
d
 
m -  2 a
Мұндағы,  S ]  болса  R m  кеңістігіндегі  радиусы бірге тең сфера бетінің ауданы, 
ал һ болса D облысының диаметрі.  |Н (х,л )| < с < оо  болғандыктан,
\ \ K { x ^ d s < c ^ - ^ < e   (
D  
D \ X   —   S \
 
| . r - . v | X   — 5
орынды.  Бұл  соңғы  интегралда  центрі  х  нүктесінде  болатын  сфералық  координа- 
таларға көшсек жэне  ds — r m+'drdSi  екенін ескерсек,
\\K { x ,s)^ d s< c 2  j
D
 
|
jc
-
s
|ds
х -  s\
1
2 a
drdSt  = c
2
iS, |/?m 20
m - 2 a
1-лемма.  Ерекшелігі  элсіз  ядролы  К  интегралдық операторы  C(D)  кеңістігін 
тағы да C(D)-ra , ал  L2(D)  кеңістігін тағы да сол  L2(D )  кеңістігіне бейнелейді:
ІКД
£ ^ | / 1 > N  = "іа5Х
D
ЦК/'ll  < V
a
W* I /I   ,  N* = m ax||АГ(
х
,5)^4
II 
N
 ^2 
^2 
.SeD 
1
Дәлелдеуі. Алдымен
dK
j 
а  <са8 па,  \ / x e R m 
(40)
a>
g  |Х-Л’|“
теңсіздігін  долелдейік.  Бұл  теңсіздіктегі  cos  радиусы  S  болтан  шар.  Расында,  егер 
\х\>28  болса,  онда  \ x - s \ > |x |- |s |> S  теңсіздігі  барлық  \s\<8  мэндерінде  орынды,
сондықтан
\
ds
I 
\а
X -  s\
J ds
Егер де  |x| < 28  болса, онда  |х -  у\ < |х| + |у| < 38  жоне
<°$ 
<038
d%  _(3д ) п  а
|£|а 
п - а
демек, (40) теңсіздігі долелденді.
51

f  e C(D)  болсын.  Ол  кезде
(К f ) ( x )  = J 
K ( x , s ) f ( s ) d s  = J ~ ^ - f ( s ) d s
D  
D
 
X - S |
D  облысында үзіліссіз  функция  болады. Vx0  е D  нүктесін  бекітіп  жэне  \ / £ > 0 
деп алайық.  Сонда
|( К /) ( х ) - ( К /) ( х 0) |< с   j
Ш
6(Хо> X -  5
+
х(, - 5
ds + с 
j
+
ds.
D   шо ( х 0 )
Бүл  өрнектің  оң  жағындағы  бірінші  интеграл  (40)  теңсіздігіне  байланысты 
2CCaS n  a  шамасынан  үлкен  бола  алмайды,  ендеше  S  -ны  жеткілікті  дорежеде
£  
.
кішірейтіп,  бірінші  интегралды  — -ден  кіші  етуте  болады.  Ал  екінші  интеграл
астындағы  өрнектер  |х -  х0| < —  мен  |х0 -  s| > 8  облыстарында (x,s) аргумент-тері 
бойынша  бірқалыпты  үзіліссіз,  сондықтан  барлық, 
үшін  ол  инте­
гралды  орқашан  ^   -ден  кіші  етуте  болады.  Демек,  барлық  |jt-jc 0| < y  
үшін 
|(К /)(х )-(К /)(д О |< * .
Бұл  Vx0 
g
 
D  нүктесінде  (Қ /)(х)  -тің  үзіліссіз  екенін  көрсетеді,  яғни 
K /(x )e C (D ).  Олай болса,
= max j |^ ( x ,5 ) / ( 5 ) ^  < ||/||с max J|AT(
jc
, s)\ds = W||/||
r 
D  
'  
D
теңсіздігі орынды.
Енді  f  e L 2 (D ) болсын.  Коши-Буняковский теңсіздігін пайдалансақ,
||Қ/і;  = J|K /|2*  = J ! K ( x , s ) f ( s ) d s  
d
x< Я / М Щ
 ■
 Ш
Щ
 • I /(5)1 
<
2 
о  
D   D  
D D
< J 
j 
JI K{x, s)|afs JI K(x, 
j
)| 
• | / | 2 ds Wx < N J f | / | 2 J \K\dx\ k  < N N * П f \2 ds = N N ’
O  I
d
 
n
 
J 
D \  
D  
J
 
D
Бұл  К  операторының  L2(D)  кеңістігін  L,(D) -ға бейнелейтінін көрсетеді. 
Осы  долелдеген  лемманы  жоне  өткен  параграфтағы  тұжырымдарды  пай- 
далансақ,  ерекшелігі  элсіз  ядролы  (38)  интегралдық  теңдеуінің  шектелген  D x D
облысында  кез  келген  f  e C (D )  жоне  |А |<—  болғанда  Нейман  қатары  түріндегі
жалгыз  шешімі  бар  болады,  ол  қатар  D  облысында  бірқалыпты  жинақты.  Соны- 
мен  бірге  жоғарыдағы  ерекшелігі  олсіз  (39)  ядролы  (38)  интегралдық  теңдеуін
52

ядросы  шектелген  эквивалентті  интегралдык  теңдеумен  ауыстырып  шсшуге 
болады.
Алдымеи  мына лемманы дэлелдейік.
2-лемма.  Егер 
K i(x,s) = -—4 — , а < т , і  = 1,2  болып  жоне  D a   R'"  шек-
\ x - s \ a'
телген облыс болса, онда
Ki(x,s) = \ K 2{x,t)K](t,s)dt 
(41)
полярлык ядро, оның үстіне
_ А ____
I а .   + а
7
  т  
5
JC -  .V
« , + « , >  т,
K^(x,s)  < А4 
1
п
|
х
 
-  s\ +  As,  а ]  + 
o r, 
= т,
D 
х  
D  облысында  узіліссіз, а ]  + а,  <  т
(42)
болады.
Дәлелдеуі.  Егер  а х+ а 2<т  болса,  \ K 2(x ,t)K t(t,s)dt  интегралының  кез
D
келген  \/
x
,
s g
D  үшін  бірқалыпты  жинақты  екені  түсінікті,  сондықтан  K 2(x,s) 
ядросы  D x D   облысында  үзіліссіз.  Лемманы  толық  дәлелдеу  үшін  a t + а 2 > т 
болғанда (42) теңсіздігін долелдейік.(41) ядросын бағалау нотижесінде
А',(.с,/)| = А,А,
S
dt
(.x - t r ( i - s )a1
\/x,S G D
екенін  аламыз.  Бүл  теңсіздікке  rj = x - t   ауыстыруын  енгізіп,  D  облысын  диаметрі 
һ болған  соһ{х)  шарына ауыстырсақ,
K 2(x,s)\< А{А2  \  —
dij
7]  \Х — S — 7)
Енді  |x - x | = r   ( x - s  = r-6 ,  |0| = 1)  белгілеулерін  енгізіп  және  интегралдағы 
айнымалыларды 
r = r£, drj = r"d%  етіп  ауыстырсақ,
K ,( x ,s )  |< Д А /- " '" Г"!  J
d4
= А,А2г"~а'"'2
\4 Г -\ө -? \'
53

Бұл  теңсіздіктің  оң  жағындағы  бірінші  интеграл  \Ө\ - 1   болғандықтан  шек 
телген шама, яғни
1
< А ,
ah
и  
.
ал  |£ |> 2   болған  кезде 
= 
екенін  ескеріп,  екінші  интегралды
бағаласақ,
f
— < 2а'  f  , ^ —  = Т '  |5,| \ p m
......  dp <
2<|,1
2“' \S,
h
— 1
2“'|5 1|ln
v2y
,  «,  + a 2  > m
,  a ]+ a 2 =m.
Міне, осы соңғы теңсіздіктерден (42) өрнегінің орынды екені шығады.
>  Салдар.  Егер  ядро  элсіз  ерекшелікті  болса,оның  қайталанған  ядролары 
қайсыбір (екінші) нөмерінен бастап шектелген болады.
Расында,  K (x,s)=  
,  0 < а < т   ядросының  п  қайталанушы  ядросы,  2
Іх-яГ
лемма бойынша
С
,  п а  - { п - \ ) т  > 0,
I 
\па-(п-\)п
<
Ст, 
п а - ( п - \ ) т  <0
түрінде бағаланады, мұндағы,  Сп  шектелген тұрақты шама. Әрине, бұл өрнек шек-
Ү Ү І
телген  (егер  п >
т - а
) болса.  Барлық уақытта жоғарғы  (39) түріндегі  ерекшелігі
әлсіз  ядролы  (38)  интегралдық  тендеуінің  ядросы  қайталанған  AA(x,s)  немесе 
A^3(x,s), 
K
a
{
x
,
s
)
 
ядроларымен  ауысқан  сол  типтегі  теңдеулерге  келтіруге  болады.
Ол  үшін  (38)  теңдеуіндегі  х -ті  s  -пен,  ал  s  -ті  t  -мен  ауыстырып,  одан  кейін 
тендеуді  A/C(x,s)-Ke көбейтіп, пайда болған өрнекті  s  бойынша интегралдап,
A J К  (х, 5 )cp(s )ds = A J
I
A J К  (s, t)cp{t)dt 
W 
(x, t )ds + A f f ( s ) K  (x, 5 )ds
о  
D   {  
D
 
J 
I )
теңдеуін аламыз.  Бұл теңдеуден жоне (38) теңдігінен
(р(х) - Л 2 \ К 2 {x,s)(p(s)ds + / ,  (х)
і)
екені шығады,  мүндағы,
54

Дол  осылай
/  
2 
W  = /  W  ■+ Л J К(х, s )f(s )ds.
D
ср(х) = Я3 J К(х, s yp(s )ds + /з (х),
D
ал  мұнда,
/з W  = / 2 (х)+Л \ К 2 (х, s ) f 2 (s)ds,
D
міне, осылай жалғаса береді.
Бұл  үдерісті  шектелген  санақты  түрде  қайталап,  ядросы  K n(x,s)  шектелген, 
үзіліссіз  болған  Фредгольмнің  2-текті  интегралдық  теңдеуін  аламыз.  Демек, 
ерекшелігі  олсіз  ядролы  интегралдық  теңдеуді  регулиярлы  ядролы  интегралдық 
тендеуге келтірдік.
2.  Вольтерра теңдеуі.  Ерекшелігі олсіз ядролы
(р{х) = Л\ K{x,syp{s)ds + f { x )  
(43)
a
тендеуге келтіруге болады.  Мүнда,
L  W  = /*-. W + A K M L   1 (s)ds,  f  (x )= f(x ).
3-лемма. Егер (43) теңдеуінің ядросы
K ( x , s ) = N (X,SJ ,  0 < а  <1 
\x — s\a
түрінде болса,  онда ол теңдеудің ядросы қайталанушы
к (
у
А - J U
x
X L  
„ _ 2 3
&n\XiS)~ , 
|л(а-1>+1  ’  П
JC-5
түрінде болады, мұнда  Н n{x,s)  кез келген  шектелген функция. 
Дәлелдеуі.  Алдымен  K 2(x,s)  жағдайын қарастырайық:
K 2(x,s) = jK(x,t)K(t,s)dt = l
S 
S
H(x,t)H(t,s)  , 
( x - t ) a( t - s ) a
бүған  t — s + (
jc
—s)z  деп жаңа айнымалы енгізсек,
55

1
k
2(
x
,
s
)=-
\2a-\
H(x,s + (x- s)z)H(s + ( x - s ) z , s ) ^  _  H 2{x,s)
'*(1 
- z f
x —5
|2 a  1
мұнда  H
2
 (x, 51)  шектелген  үзіліссіз  функция,  себебі  бұл  соңғы  өрнектегі  интеграл 
а   < 1  болғанда жинақты. Осы үдерісті қайталап,
K 3(x,s) =
H }(x,s)
x - s
\Ъа 
2
K n{x,s) =
H n(x>s)
I 
п а   п +
X -  s\
қатыстарын  аламыз.  Ал  осы  өрнектерден  белгілі  бір  п  нөмерінен  бастап  K n(x,s)
ядросы  шектелген,  демек,  осындай  ерекшелігі  әлсіз  (43)  интегралдық  тендеуі 
Вольтерраның  шектелген  ядролы  тендеуіне  келеді.  Сонымен  ерекше  ядролы 
Вольтерраның  интегралдық  теңдеуін  ядросы  шектелген  интегралдық  тендеуге 
ауыстырдық.  Соңгы  тендеуді  біртіндеп  жуықтау  эдісімен  шешеді,  ол  шешім  Л - 
ның кез келген мэні үшін табылады.

4.  Ф РЕ Д Г О Л Ь М   ТЕО РИ Я С Ы

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: