Курсы оқу құралы

/Д х,я;Я ) = K ( x , s )  + А \ K (x ,t)R ( t,s ,A ) d t  =
a
= K ( x , s )  + A j K ( x , t ) R ( t , s ; A ) d t  + ( A -  A0)]K (x,t)R (t,s;A )d t
интегралдық теңдеуді қанағаттандырады.
R(x,s,A)  орнына  (74)  тендігінің  оң  жағын  қойып,  одан  кейін  алынған  өрнек-
тің  екі  жағындағы  көпмүшеліктердегі  А - А ()  айырымы  коэффициенттерін  теңес- 
тіріп,
(pr{x,s) = А\ K(x,t)(pr(t,s)dt,
a
(prA (х, s) = А0 \ К 
{x,t)(pr_,
 
(t,s)dt + ( К  (x,t)(pr (t,s)dt
(75)
тендіктерін  аламыз.  Бұл теңдіктердің біріншісін  (рг  ,(х,я)-ке,  ал  екіншісін  (pr{x,s)- 
ке көбейтіп, одан кейін алынған нәтижелерді қоссақ,
b 
Ь
0 = К<Рг-1 
к  (*, Офг (t,s)dt -  A0(pr (х, s) J К  (x, i)(pr_x (t , s)dt +
и 
a
b
+ (pr (x, s)\ К  (x, t)(pr (t, s)dt
a
теңдігі  шығады.  М ұных  бойынша  а -дан  b -га дейін  интегралдасақ жэне  ядроньщ 
симметриялығын пайдалансақ, онда
һ
 
( 
һ
 
\
\(pr {x,s)  \K(x,t)(pr(t,s)dt  dx = О,
одан кейін бұл өрнекке (75) теңдігін қолдансақ,
J - J p r2(x ,s)c ft = 0
А>  -
немесе  барлық  жерде  дерлік  (pr(x,s) = 0  екені  шығады.  Демек,  0>r(x ,s )* O   деген
шартқа  кері  қорытынды  алдық.  Міне,  бұл  қайшылық  теореманың  орынды  екенін 
дэлелдейді.
5-теорема.  Әрбір  шектелген  интервалда  D(A) = 0  теңдеуінің  ақырлы  санды 
түбірлері бар болады.
Дәлелдеуі.  Қарсы  жориық,  яғни  Ц , Л 2]  кесіндісінде  D(A) = 0  теңдеуінің
ақырсыз  көп  түбірлері  жиыны  {Ак}  бар  деп  ұйғарайық.  Әрбір  Я^түбіріне  ^ м е н -  
шікті функциясы сэйкес келетіні, олардың
84

[О,  к  
^  
~ Һ
(<Рк*<Рт) - \ .  
(pK(x) = k \ K ( x , s ) ( p k{s)ds
[Ь  А
С  Yfl, 
u
шарттарын  қанағаттандыратыны  белгілі.  Соңғы  тендіктен  %-  өрнегі  K(x,s)  ядро-
А
сының  tyk{s)  ортонормаланған  жүйесі  бойынша  Фурье  коэффициенттері  екенін 
көреміз. Бессель теңсіздігін пайдаланып,
Z 
(*) 
^
 J К 2 (х, s)ds
к
=1 
Л к
теңсіздігін аламыз.  Бұдан  х  бойынша  а -дан  b -ға дейін интегралдасақ,
X 
^ Я К 2 (х, s)dsdx
* = |  
Л к  
a   a
Ал  Лк  < А гк  болғандықтан, соңғы теңсіздіктер
z
*=1
(
1 
>
р
(
 
1 
)
< ү
U
j
к=\
Ы )
< \ \ K 2{x,s)dxds = ||^||2  <°°.
Егер  p —> oo  болса,  соңғы  теңсіздіктің  сол  жағы  кез  келген  шамадан  үлкен 
бола  алады,  сондықтан  бұл  теңсіздік  орындалмайды.  Міне,  бұл  қайшылық теоре- 
маны дәлелдейді.

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: