Курсовая работа Применение производной к решению задач
Вычисление пределов (Правило Лопиталя)
жүктеу/скачать 1,9 Mb.
|
2.5 Вычисление пределов (Правило Лопиталя)Рассмотрим вычисление пределов дроби , когда x a или x , причем f(x) и g(x) либо одновременно стремятся к нулю, либо одновременно стремятся к бесконечности. Теорема 6. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), g’(x) отлично от нуля в U, и пусть . Тогда если существует , то существует и , причем эти пределы равны: = . в случае, когда и , геометрический смысл этой теоремы состоит в следующем. Графики функций и пересекают ось абсцисс в точке М(a;0), и поэтому уравнения их касательных к этим графикам в точке М имеют вид и Но предел отношения функций и при равен пределу отношения ординат касательных при , а этот предел и равен . Доказательство. Доопределим функции f и g, положив их значение в точке a равным нулю, f(a)=g(a)=0, то = , где точка c лежит между a и x. При имеем и поэтому = что и требовалось доказать. [2, c. 135] Замечание. Условие теоремы 1 выполнены, если функции f и g дифференцируемы в проколотой окрестности точки a, непрерывны в этой точке, причем f(a)=g(a)=0. Теорема 7. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Если существует , то существует и : = . Доказательство. Положим х= . Тогда , , , . Имеем . Для вычисления предела воспользуемся теоремой 1. Получим = . Теорема доказана. [2, c. 135] В этих теоремах мы рассмотрели случаи раскрытия неопределенности вида , когда и когда x + . Аналогично обстоит дело и в случае, когда x - или x . Заметим, что проведенные доказательства сохраняют свою силу и в том случае, когда равен или , где a- число или один из символов или . Теперь мы рассмотрим вопрос о раскрытие неопределенности вида . Начнем со случая, когда x + (случаи, когда x - или x , рассматриваются аналогично). Теорема 8. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть .Тогда если существует , то существует и , причем = . Доказательство. Возьмем произвольное положительное число ε>0. по условию существует ; положим =А. Тогда по определению предела найдется такое число N, что для выполняется неравенство . (21) Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что . Применив к отрезку теорему Коши, получим где . Так как , то, воспользовавшись неравенством (21), получим , откуда . (22) Перепишем это неравенство в виде , (22’) где для краткости через обозначена дробь . Так как , то и поэтому . Разделим обе части неравенства (22’) на . Так как , то при достаточно больших значениях x имеем и , а поэтому . (23) Итак, для любого ε>0 существует число М, такое, что для выполняется неравенство (23), а это означает, что =A. [2, c.137] Замечание. Теорема сохраняет свою силу и в случае, когда . В этом случае , а тогда и . Отсюда следует, что , т. е. . Замечание. Теорема справедлива и в случае , где a- число. Для доказательства достаточно положить . Если , то и теорема сводится к уже доказанной. Теоремы 6, 7, 8 называются правилом Лопиталя. Рассмотрим примеры применения правила Лопиталя для вычисления пределов функций. Пример 21. Вычислим . Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать: Разумеется, используя и в дальнейшем подобную краткую запись, мы предполагаем, что все условия соответствующей данному случаю теоремы выполнены и, в частности, что предел отношения производных существует. Пример 22. Вычислим , а при знаменатель , в нуль. Поэтому поступим иначе. Сначала с помощью правила Лопиталя найдем предел . Но тогда, в силу того, что функция ограничена и потому , получаем . Иногда при вычисление пределов с помощью правила Лопиталя получается, что снова представляет собой неопределенность вида или . В таком случае, если выполняются условия соответствующих теорем, можно еще раз применить правило Лопиталя, заменив отношение функций и отношением их производных, т. е. выражением . Пример 23. Вычислим . Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя: . Снова получилась неопределенность вида . Условие теоремы 7 выполняются. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопиталя: . Итак, =0. Во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения. Пример 24. Вычислим . Решение. Так как ~ при , то ~ и, следовательно, . Имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя, получим . Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило Лопиталя. Но, прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что . Получим жүктеу/скачать 1,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|