2.2.1.2 По дифференциальной геометрии Пример 12. Найти геодезическую кривизну винтовой линии , лежащей на прямом геликоиде , , . Решение. Запишем формулу для вычисления :
. , , .
Положим , тогда , . Применяя формулу для вычисления , получим
.
Пример 13. Для кривой , , составить уравнение касательной, главной нормали, бинормали в точке . Решение. Проверим, лежит ли точка на кривой:
.
Точка лежит на кривой и соответствует значению параметра .
Напишем уравнение кривой в векторном виде: . Тогда , . В точке : , . Уравнение касательной в точке имеет вид:
. Найдем уравнение бинормали, ее направляющий вектор коллинеарен вектору .
,
уравнение бинормали. Найдем направляющий вектор главной нормали:
.
Главная нормаль задается уравнением . Пример 14. Найти длину дуги одного витка кривой:
, , (где ) между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью . Решение. Данная кривая пересекает плоскость , если . Отсюда следует, что ; и - значения параметра между двумя соседними точками пересечения с плоскостью . Тогда
, , , , .
В промежутке , поэтому . Следовательно , длина дуги
.
2.2.2 Задачи по физике
Пусть точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на прямой начало отсчета, положительное направление и единицу измерения. Тогда положение точки на прямой будет определяться ее координатой. Зависимость называется законом движения точки. Средней скоростью движения называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Если, скажем, точка за промежуток времени от t1 доt2 прошла путь от А до В и вернулась обратно в А, то перемещение равно 0 и средняя скорость vср равна 0. В общем случае имеем
vср = ,
или
vср = .
Если положить , то средняя скорость за промежуток времени окажется равной:
vср = .
Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скоростью движения за промежуток , когда . Значит,
vмгн = .
Так как , то мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная координаты (пути) x по времени t. в этом состоит механический смысл производной. Дифференциал координаты равен , т.е. vмгн . Это путь, который прошло бы тело за промежуток времени , если бы его скорость была постоянной и равнялась мгновенной скорости в момент времени t. Пример 15. Найти мгновенную скорость при свободном падении. Решение. Закон свободного падения имеет вид . Согласно сказанному выше vмгн = . Значит нужно найти производную функции . Дадим аргументу приращение . Тогда
.
Главная линейная часть приращения имеет вид , а потому . Итак, vмгн = . Пример 16. Пусть - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени . Решение. Если - промежуток времени, а - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время , то - средняя сила тока за промежуток времени :
Iср= .
За силу тока Iв момент времени принимается Iср. Таким образом,
,
т.е. сила тока есть производная от количества электричества, как функции от времени. Пример 17. Пусть дан неоднородный стержень длины , - масса части стержня длины (один из концов стержня принимается за начало отсчета). Найдем линейную плотность стержня в данной точке . Решение. Если - масса части стержня между точками, расположенными соответственно на расстоянии и от начала отсчета, то - средняя линейная плотность стержня на рассматриваемом участке, а -искомая линейная плотность . Таким образом,
,
т.е. линейная плотность стержня в данной точке есть производная массы стержня как функции от его длины. Рассмотренные примеры показывают, как используются производная для изучения скорости протекания неравномерных процессов. При этом само понятие скорости понимается в широком смысле. Например, плотность стержня есть скорость изменения массы части стержня как функции его длины. В общем случае можно сказать так: - средняя скорость изменения функции на отрезке , а - скорость изменения в данной точке.
2.3 Вычисление интегралов
Интегрирование по частям. Пусть и - дифференцируемые функции от . Тогда . Интегрируя обе части тождества в пределах от до , получим:
. (20)
Так как , то ; поэтому равенство (20) может быть записано в виде
