Курсовая работа Применение производной к решению задач
жүктеу/скачать 1,9 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.4 Понятие дифференциала функции
| (формула Ньютона-Лейбница).
Запишем формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде , где и назовем соответственно нижним и верхним пределом интегрирования. Теорема 1. (Основная теорема интегрального исчисления). Пусть непрерывна на и является какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке . Тогда . (16) Доказательство: Положим , но тогда , - две первообразные одной и той же функции , то есть , , то есть . При следует, что . Таким образом . Полагая здесь , получим (16). [5, c. 384] Теорема доказана. 1.4 Понятие дифференциала функции Пусть функция f дифференцируема в точке x, т.е. пусть ее приращение может быть записано в виде , где . Это приращение состоит из двух слагаемых: , пропорционального , и , зависимость которого от сложнее, так как тоже зависит от . Слагаемое называют дифференциалом функции f и обозначают df, . (19) Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента. Дифференциал- от латинского слова differentio- разность. Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке x, причем производная от f не обращается в нуль в этой точке, то дифференциал функции f и ее приращение являются при эквивалентными бесконечно малыми, т.е. . Доказательство. Мы имеем и . Так как , то . Поскольку дифференциал эквивалентен при приращению функции, причем он в отличие от приращения пропорционален (а не только «почти пропорционален») приращению аргумента, то дифференциал функции является главной линейной частью приращения. Заметим, что , то дифференциал функции f в точке равен нулю. В этом случае и поэтому приращение является бесконечно малой более высокого порядка, чем : . Заметим, что дифференциал может быть и больше, чем приращение функции (это будет иметь место, если ). [2, c. 14] Пример 5. Найдем приращение и дифференциал функции при x=1, . Решение. Так как , то . При , имеем . Приращение же функции при x=1, равно . Найдем дифференциал для функции f, где f(x)=x. Так как , то . Поскольку для этой функции f(x)=x, то пишут . Таким образом , считают дифференциал независимой переменной равным приращению этой переменной. В соответствии с этим формулу (17) обычно записывают в следующем виде: . В приложениях функции обычно записывают в виде , обозначая буквой x аргумент, а буквой y- значение функции. При такой записи производную от функции f обозначают или . Соответственно дифференциал функции y=f(x) обозначают , причем употребляют как запись , так и запись . Из формулы следует, что . Запись (или ) используется для обозначения производной функции f . жүктеу/скачать 1,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|