Курсовая работа Применение производной к решению задач
жүктеу/скачать 1,9 Mb.
|
| Геометрический смысл производной.
Теперь дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке. Рис. 1. Рис. 2. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т. д. Если при неограниченном приближении точки , по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то эта прямая называется касательной к кривой в точке . Определение 2. Прямая заданная уравнением называется касательной к графику функции в точке . [6, c. 134] Рассмотрим функцию и соответствующую этой функции кривую В прямоугольной системе координат (рис. 2). При некотором значении функция имеет значение . Этим значениям и на кривой соответствует точка . Дадим аргументу приращение . Новому значению аргумента соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Составим отношение . Из рисунка 1 непосредственно усматриваем, что . (5) Если теперь будет стремиться к нулю, то точка перемещаться вдоль кривой, приближаясь к . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . Если при угол стремиться к некоторому пределу , то прямая, проходящая через и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент: . Следовательно, , (6) т.е. значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке . жүктеу/скачать 1,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|