Курсовая работа Применение производной к решению задач
Доказательство неравенств
жүктеу/скачать 1,9 Mb.
|
| 2.4 Доказательство неравенств
При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций. Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство . Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную . Так как при выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае , то функция возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но . Значит, , т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать. Пример 19. Докажем, что при выполняется неравенство . Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную . Из предыдущего примера следует, что , значит, функция возрастает на луче . Но тогда из неравенства вытекает неравенство , а так как , то получаем , т.е. и, следовательно, , Что и требовалось доказать. Пример 20. Докажем, что если , то . Решение. Исследуем на монотонность функцию . Имеем . если , то, как известно, и тем более . Значит, в интервале выполняется неравенство , а потому функция возрастает на этом интервале. Тогда из следует , т.е. , что и требовалось доказать. жүктеу/скачать 1,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|