определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента xиз этого промежутка функцияy=f(x) имеет определенное значение. Пусть аргумент x получил некоторое (положительное или отрицательное- безразлично) приращение Δx. Тогда функция yполучит некоторое приращение Δy. Таким образом: при значении аргумента x будем иметь y=f(x), при значении аргумента x+ Δxбудем иметь y+Δy=f(x+Δx). Найдем приращение функции Δy:
Δy=f(x+Δx)- f(x) (2)
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
. (3)
Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению,
или . (4)
Определение 1. Производной данной функции y=f(x) по аргументу xназывается предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. [5, с. 65] Заметим, что в общем случае для каждого значения xпроизводная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от x. Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например
, .
Конкретное значение производной при обозначается или . Операция нахождения производной от функцииf(x) называется дифференцированием этой функции. Пример 1. Дана функция ; найти ее производную : 1) в произвольной точке x, 2) при . Решение. 1) При значении аргумента, равном x, имеем . При значении аргумента равном x+ Δx, имеем y+Δy= . Находим приращение функции :
.
Составляем отношение :
.
Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:
.
Итак, производная от функции в произвольной точке равна . ) При получим: . Пример 2. ; найти . Решение. Рассуждая так же как в предыдущем примере, получаем:
