При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций. Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство . Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную . Так как при выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае , то функция возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но . Значит, , т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать. Пример 19. Докажем, что при выполняется неравенство
