Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения. Возрастание и убывание функций. Как известно функция, заданная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если для любых , таких, что , имеем :
. Если ,
то функция называется неубывающей на множестве . Аналогично определяются понятия убывающей и невозрастающей функций. Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная положительна на интервале , то возрастает на . Доказательство. Рассмотрим две любые точки , такие, что . Так как для функции на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа, то
, (18)
где точка лежит между и . Поскольку оба множителя правой части равенства (18) положительны ( по условию, в силу выбора точек), то
, (19)
а значит, и
.
Итак, и, следовательно, функция возрастает на , что и требовалось доказать. [2, c. 99] Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна на интервале , то убываетна . Доказательство этой теоремы аналогично. Пример 6. Докажем, что функция убывает на всей числовой прямой. Решение. Имеем
. Так как при любом выполняется неравенство и, кроме того, равенство выполняется только в одной точке , то на всей числовой прямой , причем в одной точке. Значит, функция убывает на всей числовой прямой. Экстремумы функции. Определение 7. Пусть функция , заданная на множестве , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Если существует такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство , то называется точкой максимума (минимума) функции . Точки максимума называют точками экстремума. [2, c. 85] Определение 8. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими (иногда точки, где производная равна нулю, называют стационарными). [2, c. 86] Теорема 5. пусть функция определена в точке ипусть существует , такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервалах , причем производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов. Если на знаки производной различны, то - точка экстремума, а если совпадают, то не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», то точка - точка максимума, если же производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума. Доказательство. Пусть производная положительна на интервале и отрицательна на . Докажем, что - точка максимума функции. По условию функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на этом интервале имеем . Значит по теореме 1 функция возрастает на отрезке . Поэтому из неравенства , где , следует . Аналогично устанавливаем, что функция убывает на отрезке , а поэтому из неравенства , где , следует . Таким образом, в - окрестности точки для точек , отличных от , выполняется неравенство
.
Это означает, что - точка максимума функции . Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку ; пусть она отрицательна как слева, так и справа от . Тогда функция убывает как на отрезке , так и на отрезке . В таком случае не является точкой экстремума. Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана. [2, c. 101] Таким образом, чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из критических точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на данную теорему сделать выводы. Пример 7. Исследуем на экстремум функцию . Решение. Имеем
.
Приравняв производную к нулю, находим . При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Имеем .
2.2 Применение производной при решении задач в разных науках
2.2.1 Задачи по геометрии
2.2.1.1 По аналитической геометрии
Пример 8. Найти угол между касательной к графику функции в точке и осью . Решение. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке , т.е. значение производной этой функции при . Производная функции равна . По формуле находим , откуда . Пример 9. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Решение. Значение функции и ее производной в точке равны: . Используя формулу , найдем искомое уравнение касательной: или . Пример 10. Доказать, что касательная к параболе в точке с абсциссой пересекает ось в точке . Решение. Пусть , тогда и .По формулу находим уравнение касательной: . Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства находим . Пример 11. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках Решение. Имеем ; следовательно,
