Определение 3. Пусть функцияy=f(x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности. Функция y=f(x) стремится к пределу b(y b) при x, стремящемся к a , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x, отличных от aи удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .
Рис. 3.
Если b есть предел функции y=f(x) при , то пишут:
или при . Если при , то на графике функцииy=f(x) это иллюстрируется следующим образом (рис. 3); так как из неравенства следует неравенство , то значит, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на , точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и . [5, c. 31] Замечание. Предел функции f(x) при можно определить следующим образом. Пусть переменная величина x принимает значение так (упорядочена так), что если , то есть последующее, а - предыдущее значение; если же и , то есть последующее, а - предыдущее. Другими словами, из двух точек числовой прямой последующей является та точка, которая ближе к точкеa; при равных расстояниях последующая- та, которая правее от точки a. Пусть упорядоченная таким образом переменная величина x стремится к пределу или . Рассмотрим, далее, переменную величину y=f(x). При этом будем считать, что из двух значений функции последующем является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина y при стремится к некоторому пределу b, тобудем писать
и говорить, что функция y=f(x) стремится к пределу b при .
Рис. 4.
Замечание. Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу aтак, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют пределом функции в точке a справа (рис.4). Если xпринимает только значения большие, чем a, то пишут и называют пределом функции в точке a справа (рис.4). Можно доказать, что если предел справа и предел слева существуют и равны, т.е. , то и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке a. И обратно, если существует предел функции b в точке a, то существуют пределы функции в точке aсправа и слева и они равны. Пример 3. Докажем, что . Действительно, пусть задано произвольное ; для того чтобы выполнялось неравенство , Необходимо выполнение следующих неравенств: , , . Таким образом, при любом для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , значение функции будет отличаться от 7 меньше чем на . А это и значит, что 7 есть предел функции при . Замечание. Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки a, отличные от a;это положение наглядно иллюстрируется следующим примером. Пример 4. Докажем, что . Здесь функция не определена при . Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что выполняться неравенство
, (7)
если . Но при неравенство (7) эквивалентно неравенству
или
. (8)
Таким образом, при произвольном неравенство (7) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (8) (здесь ). А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4. Определение 4. Функция стремится к пределу b при , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положительное число N , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство . [5, c. 34] Зная смысл символов , , очевидным является и смысл выражений: « стремится к b при » и « стремится к b при », Которые символически записываются так:
, .
1.3 Понятие интеграла
Пусть - функция, непрерывная на данном отрезке , где , и - некоторая первообразная при . Разобьем отрезок на частей . (9) Обозначим длину отрезка , через . Тогда величина
(10)
называется мелкостью разбиения. Зафиксируем произвольным образом точки , и составим сумму
(11)
Суммы вида (11) называются интегральными суммами Римана. Определение 5. Функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , если существует такое число , что любой последовательности разбиений отрезка , у которой и для любого выбора точки xiÎ , выполняется равенство
, (12) где . [8, c. 54]
Если выполнены все условия определения 3, то число назовем (Римановым) определенным интегралом функции на отрезке и будем обозначать
. (13)
Таким образом,
, где , или подробно (14)
Определение 6. Число называется определенным интегралом функции на отрезке , если для : для любого разбиения , мелкость которого меньше , каковы бы ни были точки , то будет выполнено неравенство
где , . [8, c. 56] Если - первообразная, то под определенным интегралом понимается соответствующее приращение первообразной на , то есть
