ПримерДаны три квадратных трехчлена: , и . Докажите, что уравнение имеет не более восьми корней. Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов , , с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при имеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.
Пример Шабат Г.Б.Бесконечная последовательность чисел определяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если рационально. Решение. Если , то . Действительно, . Если рациональное, то рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть --- несократимая дробь. Тогда
Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.
Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.
