Курсовая работа Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании Исполнитель
Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа
жүктеу/скачать 1,27 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Линейные сплайны
- Пример
Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа
Линейные сплайны Пусть заданы --- точки смены формул. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , , , ...,, т. е. где обозначено , . Если к тому же выполнены условия согласования то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном. Подобный график изображен на рисунке (??): pics/ex1.eps Функцию с графиком, показанным на этом рисунке, можно задать и одной и тремя формулами: Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой вида (??) где числа , , , ..., легко найти по графику данной функции. Заметим, что две ломанные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , , ..., совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех ``одноименных'' звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка берется за исходную, см. рисунок (??). pics/ex2.eps Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая формулой ((??)), будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при после раскрытия всех модулей в выражении ((??)) на соответствующих этим звеньям промежутках, находим: (??) Вычитая из второго равенства первое, получаем вычитая из третьего второе, получаем и т. д. Мы приходим в итоге к соотношениям Складывая первое равенство с последним, получаем откуда (??) Обратно, нетрудно проверить, что из равенств (3) и ((??)) вытекают соотношения ((??)). Итак, если коэффициенты определяются формулами (3) и ((??)), то угловые коэффициенты всех звеньев графика функции ((??)) совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения. Этого всегда можно добиться выбором подходящего значения оставшегося пока не определенным коэффициента . С этой целью достаточно подставить в формулу ((??)), коэффициенты которой уже вычислены из соотношений (3) и ((??)), координаты какой-либо одной точки данной ломаной и найти из полученного равенства. Пример Найдем уравнение ломаной, изображенной на рисунке (??) (треугольный импульс). pics/ex3.eps Решение. Угловые коэффициенты звеньев таковы: , , , . Поэтому . Значит, уравнение данной ломаной имеет вид Найдем значение коэффициента из условия , подставляя координаты вершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим , откуда находим, , и уравнение окончательно запишем в виде жүктеу/скачать 1,27 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|