Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений
Пример Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения
Решение. Рассмотрим выражение
и преобразуем его к виду
Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:
Ответ. .
ПримерРешить уравнение
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем
Ответ. .
Пример Решить уравнение:
Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим