Лабораторная работа №1 Основы работы в системе Mathcad арифметические вычисления 2 Символьные вычисления 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели основные численные методы решения инженерных задач на ЭВМ с целью моделирования физических, технических, социально-экономических и других реальных процессов. Следует иметь в виду, что в данном пособии изложены только основы численных методов, и в реальной практике придется встретиться с более сложными задачами, которые потребуют углубленного изучения тех или иных алгоритмов и их реализации на ЭВМ. Впрочем, большинству инженеров не придется столкнуться с программированием на ЭВМ, современное состояние программного обеспечения позволяет, как правило, обходиться пакетами прикладных программ и системами решения научных и инженерных задач, подобными системе MATHCAD. Эта система является одной из наиболее развитых применительно к решению широкого круга задач. В этом ее сила и слабость, так как специализированные системы типа MATLAB, COSMOS и другие дадут более сильные результаты, но и потребуют от пользователя существенно больших усилий. Тем не менее большинству будущих инженеров пригодятся полученные знания и навыки, и им совершенно необходимо представлять, что реально происходит в подобных системах, чтобы не быть обманутыми при получении и интерпретации результатов численного счета.

Даже если в используемой вами программе будут исключены ошибки в модели, алгоритмах, программах и при вводе исходных данных, это не может гарантировать правильности результатов. Основные причины возможного возникновения ошибок состоят в следующем.

При решении систем алгебраических уравнений часто приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей системы. Это может привести к значительным ошибкам даже при точных исходных данных. Поэтому желательно контролировать число обусловленности матрицы и при необходимости принимать, если возможно, меры для его снижения. При итерационном решении систем алгебраических уравнений трудности счета могут быть вызваны слишком большим или слишком малым значением итерационного параметра. В первом случае счет будет неустойчивым, во втором наблюдается слишком медленная сходимость к решению. Часто решающее значение имеет выбор начального приближения в итерационных методах, особенно в методе Ньютона. Кроме того, в ньютоновских методах можно столкнуться с вырожденностью матрицы производных, что приводит к остановке счета.

При решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений ошибка решения определяется выбором разностной схемы и шага интегрирования, который всегда должен удовлетворять требованиям устойчивости. Всегда полезно решить задачу с вдвое меньшим шагом, чтобы по разнице решений оценить ошибку интегрирования. Для жестких систем с большим разбросом собственных чисел матрицы линейного приближения желательно применять специальные методы интегрирования, имеющиеся в вычислительных средах.

Решение задач математической физики основано на сведении к решению систем алгебраических уравнений путем замены производных конечными разностями, поэтому источники ошибок, описанные для алгебраических систем, присутствуют и здесь. Однако решающее значение имеют шаги по пространственным и временным координатам из соображений точности счета и их соотношение из требований устойчивости.

Автор выражает надежду, что рассмотренный материал и полученные на его основе навыки работы в системе MATHCAD окажутся полезными не только для обучения студентов, но и для профессиональной деятельности специалиста.