Лабораторная работа №1 Основы работы в системе Mathcad арифметические вычисления 2 Символьные вычисления 4
Лабораторная работа 8. Принцип максимума
жүктеу/скачать 5,09 Mb.
|
Лабораторная работа 8. Принцип максимума.. Формулировка принципа максимума ПонтрягинаРассматривается управляемая система с ОДУ , (17) с начальными и конечными условиями (18) и критерием эффективности . (19) Введем дополнительную переменную , подчиняющуюся дифференциальному уравнению , . (20) Эта переменная представляет собой значение критерия в текущий момент времени . (21) Теперь будем рассматривать расширенную систему ОДУ (22) с начальными условиями . Введем гамильтониан H и вектор сопряженных переменных р: (23) или, в скалярной форме, . Так как все функции правых частей не зависят от переменной, то уравнение для тривиально, и принимают обычно . Принцип Понтрягина (формулировка): Пусть u(t), такое допустимое управление, то есть удовлетворяющее ограничению что соответствующая ему траектория x(t) , выходящая из точки x(0) , проходит в момент времени T через точку x(T). Для оптимальности управления u(t) и траектории x(t) необходимо существование такой непрерывной, ненулевой вектор-функции , что: а) для любого гамильтониан достигает максимума, то есть ; б) в конечный момент времени t=T должно выполняться соотношение . Таким образом, принцип максимума требует решения краевой двухточечной задачи , (24) (25) , (26) для решения которой необходимо задать 2m начальных условий. Если рассматривается задача с фиксированным временем и закрепленными концами , то в такой задаче содержится необходимое число констант для определения решения краевой задачи. Исключая управление из дифференциальных уравнений, получим замкнутую систему для неизвестных вектор-функций и . Принцип максимума дает необходимые условия минимума интеграла (21) и основан на игольчатой вариации функционала. Достаточность принципа требует анализа второй вариации, отметим только, что для линейных дифференциальных уравнений условия принципа максимума необходимы и достаточны. Наибольшую трудность при применении принципа максимума вызывает решение двухточечной краевой задачи. Кроме того, решение ищется в виде программного управления, то есть функция является функцией времени. Динамическое программирование дает решение задачи в виде синтеза, управление является функцией координат динамической системы, однако в непрерывной постановке приводит к решению задачи Коши, но для нелинейных уравнений в частных производных. Эта задача более сложная, чем решение обыкновенных дифференциальных уравнений, ее, как правило, решают на некоторой сетке, заменяя непрерывное время дискретными значениями. жүктеу/скачать 5,09 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|